Integrace lomené racionální funkce IX.
Úloha číslo: 1494
Určete
\[I=\int\frac{3x^2-2x+1}{x^3-x^2+x-1}dx\]Motivace
Před sebou máme typického zástupce z řad integrálů lomených racionálních funkcí. Jak k těmto integrálůmm přistupovat? Existuje nějaký osvědčený početní postup?
Odpověď je na snadě a osvědčený početní postup naservírovaný přímo na pomysleném zlatém podnosu.
Postup
Integrujeme-li výraz \(\frac{P_s(x)}{Q_r(x)}\), kde \(P_s(x), Q_r(x)\) jsou polynomi stupně \(s,r\) nad reálnými čísly, osvědčil se následující postup
Pro stupně polynomů musí platit \(r>s\)(přijatelná je i rovnost mezi stupni), pokud toto neplatí, pak výraz za pomoci dělení polynomů nebo jiného postupu převádíme do požadovaného tvaru.
Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly
Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I.
Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II.
Výsledek dost často bývá ve tvaru polynom plus zbytek po dělení polynomi (lomená racionální funkce splňující výše uvedenou podmínku pro stupně jednotlivých polynomů v čitateli a jmenovateli).
- Případným dělením vzniklý nebo, případně, původní výraz rozkládáme na parciální zlomky.
Rozklad na parciální zlomky I.
Rozklad na parciální zlomky II.
Rozklad na parciální zlomky III.
Rozklad na parciální zlomky IV.
Pozor na ireducibilní polynomy! Pokud je nepoznáme na první pohled, pomůžeme si diskriminantem.
- Dílčí, rozkladem na parciální zlomky vzniklé, lomené racionální funkce v souladu s pravidly pro integrování integrujeme.
Integrace lomené racionální funkce I.
Integrace lomené racionální funkce II.
Integrace lomené racionální funkce III.
Integrace lomené racionální funkce IV.
Zde často užívámme vhodné substituce, příležitostně i metody integrace Per Partes.
Dělení polynomů
V souladu s motivačním textem úlohy upravte výraz do požadovaného tvaru.
Rozklad na parciální zlomky
Lomený výraz rozložíme na parciální zlomky (viz motivace úlohy).
Integrace
Za pomoci získaného rozkladu na parciální zlomky řešený integrál rozepište na soušet jednodušších integrálů. Následným vhodným užitím substituční metody dílčí integrály řešte.
Řešení
Jelikož je stupeň polynomu ve jmenovateli zlomku 3 a stupeň polynomu v čitateli 2, je zjevně požadovaná podmínka pro stupně splněna, neboť platí
\[3>2\]Krok s dělením tedy pro tento případ přeskakujeme.
Začneme převodem polynomu ze jmenovatele výrazu na součinový tvar
\[x^3-x^2+x-1\]Zkusmým ověřením zjišťujeme, že číslo 1 je kořenem polynomu, neboť 1 dělí 1 a platí
\[1^3-1^2+1-1=1-1+1-1=0\]Z této skutečnosti plyne, že z polynomu \(x^3-x^2+x-1\) můžeme vytknout výraz \((x-1)\).
Dělením polynomů zjistíme, co po vytknutí výrazu \((x-1)\) z polynomu zbude, přičemž můžeme polynomi prostě vydělit, jak jsme zvyklí ze střední školy nebo využít postupů osvojených z úloh Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly, Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I. a Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II..
\[\frac{x^3-x^2+x-1}{x-1}=\frac{x^2(x+1-1)-x^2+x-1}{x-1}=\] \[=\frac{x^2(x-1)+x-1}{x-1}=\frac{{x^2(x-1)+(x-1)}}{x-1}=\] \[=\frac{{x^2(x-1)}}{x-1}+\frac{(x-1)}{x-1}=x^2+1\]Jelikož je polynom \(x^2+1\) ireducibilní \((D>0)\), bude výsledný součinový tvar polynomu ze jmenovatele vypadat následovně
\[x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1)\]Díky námi provedeném rozkladu polynomu ze jmenovatele výrazu, můžeme celý výraz přepsat jako
\[\frac{3x^2-2x+1}{x^3-x^2+x-1}=\frac{3x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+1)}\]Podržíme-li se zásady, že pro navrhovaný parciální zlomek platí, že stupeň polynomu v čitateli musí být o jedna nižší než polynomu v příslušném jmenovateli, bude návrh rozkladu výrazu na parciální zlomky vypadat následovně
\[\frac{3x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{Bx+C}{(x^2+1)}\]Získaný obecný rozklad lehce připravíme pro metodu porovnávání koeficientů.
Obě strany rovnosti přenásobíme výrazem \((x-1)(x^2+1)\) a získáme tak
\[3x^2-2x+1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)\]závorky roznásobíme
\[3x^2-2x+1=Ax^2+A + Bx^2-Bx+Cx-C\] \[3x^2-2x+1=(A+B)x^2+(C-B)x+(A-C)\]aby rovnost platila musí platit následující tři podmínky
\[3=A+B\] \[-2=C-B\] \[1=A-C\]Jedná se o soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých. Řešení získáme buď eliminační nebo dosazovací metodou.
Z první a druhé rovnice získáváme
\[A=3-B\] \[C=B-2\]po dosazení do třetí rovnice obdržíme
\[1=3-B-B+2\] \[-4=-2B\] \[B=2\]a následnou zpětnou substitucí pak i zbývající koeficienty
\[A=1\] \[C=0\]Výsledná podoba příslušného rozkladu bude po dosazení vypadat následovně
\[\frac{3x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{2x}{(x^2+1)}\]Kompletní postup s nápovědami obsahuje úloha Rozklad na parciální zlomky V.
za užití získaného rozkladu na parciální zlomky a linearity integrálu
\[I=\int\frac{1}{(x-1)}dx+\int\frac{2x}{(x^2+1)}dx=\]První integrovaný výraz připomíná \(\frac{1}{w}\), proto v případě prvního výrazu substituujeme \(y=x-1\). Co se druhého výrazu týče, vidíme, že čitatel integrovaného zlomku obsahuje derivaci jmenovatele téhož zlomku, po vhodné substituci tedy i tento výraz převádíme na případ \(\frac{1}{w}\), přičemž substituujeme \(z=x^2+1\)
Jelikož jsou \(y,z\) funkce proměnné \(x\) budou jim příslušné derivace dle proměnné \(x\) vypadat následovně
\[dy=dx\] \[dz=2xdx\]Získané údaje dosadíme do příslušného integrálu, čímž získáme
\[=\int\frac{1}{y}dy+\int\frac{1}{z}dz=\]po integraci obdržíme
\[=\ln{|y|}+\ln{|z|}+c=\]po zpětné substituci pak
\[=\ln{|x-1|}+\ln{|x^2+1|}+c=\]a po konečné kosmetické úpravě nakonec
\[I=\ln{{|(x-1)}{(x^2+1)}|}+c\]Výsledek
\[I=\ln{{|(x-1)}{(x^2+1)}|}+c\]Další úloha v sérii
Poznámka k snazší cestě
Tato úloha šla vyřešit mnohem jednodušeji a to sice přímou substitucí, jak ukazuje úloha Substituce.
