Rozklad na parciální zlomky I.
Úloha číslo: 1480
Proveďte rozklad na parciální zlomky výrazu:
\[\frac{1}{1-x^2}\]Motivace
Co když známe lomený racionální výraz a chceme jej rozložit na součet více jednodušších lomených výrazů?
Pro účel hledání takového rozkladu slouží algoritmus, veřejností známý jako rozklad na parciální zlomky.
Jestliže je vstupem lomený racionální výraz \[\frac{P_s(x)}{Q_n(x)}\] nad \(\mathbb{R}\), kde pro stupně polynomů platí \(s \le n\) a kde polynom \({Q_n(x)}\) lze nad \(\mathbb{R}\) rozložit na součin lineárních faktorů (polynomů stupně jedna) jako \[{Q_n(x)}=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)\]
navzájem různá čísla \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \in \mathbb{R}\) jsou kořeny polynomu \(Q_n(x)\).
Pak výstupem bude rozklad
\[\frac{P_s(x)}{Q_n(x)}=\frac{A_1}{x-\alpha_1}+\frac{A_2}{x-\alpha_2}+\cdots+\frac{A_n}{x-\alpha_n}; A_1,A_2, \cdots , A_n \in \mathbb{R}\]Koeficienty \( A_1,A_2, \cdots , A_n \in \mathbb{R}\) nalezneme za pomoci metody porovnávání koeficientů po kosmetických úpravách rovnosti o krok výše.
Je dobré si uvědomit, že ne každý polynom je možno rozložit na lineární faktory.
Například výraz \(\frac{1}{1+x^2}\) nad reálnými čísly dále nerozložíme, neboť polynom ve jmenovateli výrazu nemá reálné kořeny.
Složitějšími rozklady se budeme dále zabývat v navazující úloze Rozklad na parciální zlomky II..
Nápověda 1.
Polynom ve jmenovateli rozložte na lineární faktory (součin polynomů stupně jedna)
Nápověda 2.
Nalezněte obecný tvar rozkladu na parciální zlomky původního výrazu v souladu s motivačním textem úlohy (za užití obecných koeficientů).
Nápověda 3.
Za pomoci metody porovnávání koeficientů určete konstanty \(A,\,B\) tak, aby platila rovnost výše.
Řešení
V tomto případě využijeme vzorec \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\)
Polynom ve jmenovateli tedy můžeme rozložit jako
\[1-x^2=(1-x)(1+x)\]S využitím provedeného rozkladu výrazu ve jmenovateli zlomku vyjádříme obecný rozklad na parciální zlomky zadaného výrazu jako
\[\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{(1-x)(1+x)}\] \[\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x}\]Takto získaný rozklad upravíme přenásobením obou stran rovnosti výrazem \((1-x)(1+x)\)
\[\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x}\]získáme tak
\[1=A(1-x)+B(1+x)\]závorky roznásobíme
\[1=A-Ax+B+Bx\]a rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů (dva polynomi se sobě rovnají, rovnajíli-se sobě navzájem si korespondující koeficienty)
\[1=(B-A)x+(A+B)\] \[\color{red}{0}x+\color{blue}{1}x^0=\color{red}{(B-A)}x+\color{blue}{(A+B)}x^0\](koeficienty u lineárních a absolutních členů se musejí sobě rovnat)
Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila pro všechna \(x \ne \pm 1\), musí platit následující dvě podmínky
\[0=B-A\] \[1=A+B\]Je zřejmé, že tuto soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých řeší uspořádaná dvojice \(A=B=\frac{1}{2}\)
Výsledek
\[\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{1}{2}\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-x}\]Další úloha v sérii
