Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Rozklad na parciální zlomky I.

Úloha číslo: 1480

Proveďte rozklad na parciální zlomky výrazu:

\[\frac{1}{1-x^2}\]
  • Motivace

    Co když známe lomený racionální výraz a chceme jej rozložit na součet více jednodušších lomených výrazů?

    Pro účel hledání takového rozkladu slouží algoritmus, veřejností známý jako rozklad na parciální zlomky.

    Jestliže je vstupem lomený racionální výraz \[\frac{P_s(x)}{Q_n(x)}\] nad \(\mathbb{R}\), kde pro stupně polynomů platí \(s \le n\) a kde polynom \({Q_n(x)}\) lze nad \(\mathbb{R}\) rozložit na součin lineárních faktorů (polynomů stupně jedna) jako \[{Q_n(x)}=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)\]

    navzájem různá čísla \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \in \mathbb{R}\) jsou kořeny polynomu \(Q_n(x)\).

    Pak výstupem bude rozklad

    \[\frac{P_s(x)}{Q_n(x)}=\frac{A_1}{x-\alpha_1}+\frac{A_2}{x-\alpha_2}+\cdots+\frac{A_n}{x-\alpha_n}; A_1,A_2, \cdots , A_n \in \mathbb{R}\]

    Koeficienty \( A_1,A_2, \cdots , A_n \in \mathbb{R}\) nalezneme za pomoci metody porovnávání koeficientů po kosmetických  úpravách rovnosti o krok výše.

    Je dobré si uvědomit, že ne každý polynom je možno rozložit na lineární faktory.

    Například výraz \(\frac{1}{1+x^2}\) nad reálnými čísly dále nerozložíme, neboť polynom ve jmenovateli výrazu nemá reálné kořeny.

    Složitějšími rozklady se budeme dále zabývat v navazující úloze Rozklad na parciální zlomky II..

  • Nápověda 1.

    Polynom ve jmenovateli rozložte na lineární faktory (součin polynomů stupně jedna)

  • Nápověda 2.

    Nalezněte obecný tvar rozkladu na parciální zlomky původního výrazu v souladu s motivačním textem úlohy (za užití obecných koeficientů).

  • Nápověda 3.

    Za pomoci metody porovnávání koeficientů určete konstanty \(A,\,B\) tak, aby platila rovnost výše.

  • Řešení

    V tomto případě využijeme vzorec \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\)

    Polynom ve jmenovateli tedy můžeme rozložit jako

    \[1-x^2=(1-x)(1+x)\]

    S využitím provedeného rozkladu výrazu ve jmenovateli zlomku vyjádříme obecný rozklad na parciální zlomky zadaného výrazu jako

    \[\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{(1-x)(1+x)}\] \[\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x}\]

    Takto získaný rozklad upravíme přenásobením obou stran rovnosti výrazem \((1-x)(1+x)\)

    \[\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x}\]

    získáme tak

    \[1=A(1-x)+B(1+x)\]

    závorky roznásobíme

    \[1=A-Ax+B+Bx\]

    a rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů (dva polynomi se sobě rovnají, rovnajíli-se sobě navzájem si korespondující koeficienty)

    \[1=(B-A)x+(A+B)\] \[\color{red}{0}x+\color{blue}{1}x^0=\color{red}{(B-A)}x+\color{blue}{(A+B)}x^0\]

    (koeficienty u lineárních a absolutních členů se musejí sobě rovnat)

    Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila pro všechna \(x \ne \pm 1\), musí platit následující dvě podmínky

    \[0=B-A\] \[1=A+B\]

    Je zřejmé, že tuto soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých řeší uspořádaná dvojice \(A=B=\frac{1}{2}\)

  • Výsledek

    \[\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{1}{2}\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-x}\]
  • Další úloha v sérii

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze