Limita cyklometrické funkce I.
Úloha číslo: 1189
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{n\to\infty} n^{5/2}\arcsin\left(\sqrt{n^5+1}-\sqrt{n^5-1}\right).\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{n\to\infty} n^{5/2}\arcsin\left(\sqrt{n^5+1}-\sqrt{n^5-1}\right).\]Dle Heineho věty platí, že pokud existuje limita funkce
\[\lim_{x\to +\infty} x^{5/2}\arcsin\left(\sqrt{x^5+1}-\sqrt{x^5-1}\right),\]pak existuje též hledaná limita posloupnosti a je jí rovna.
Počítejme tedy onu limitu funkce. Nejprve rozšíříme odmocninu v argumentu funkce arcsin
\[\lim_{x\to +\infty} x^{5/2}\arcsin\left(\sqrt{x^5+1}-\sqrt{x^5-1}\right) = \] \[ = \lim_{x\to +\infty} x^{5/2}\arcsin\left[\left(\sqrt{x^5+1}-\sqrt{x^5-1}\right)\cdot\frac{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}\right]= \] \[ = \lim_{x\to +\infty} x^{5/2}\arcsin\left[\frac{(x^5+1)-(x^5-1)}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}\right]= \] \[ = \lim_{x\to +\infty} x^{5/2}\arcsin\left[\frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}\right].\]Nyní si všimneme, že zlomek v argumentu funkce arcsin konverguje k nule. To nám napovídá, že využijeme limity
\[\lim_{y\to 0}\frac{\arcsin y}{y} = 1\]a větu o limitě složené funkce, abychom ukázali, že
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{\arcsin\left[\frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}\right]}{\frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}} = 1.\]Věta o limitě složené funkce vyžaduje za tím účelem ověřit ještě další dva předpoklady. První, že vnitřní funkce opravdu konverguje k nule, což je dle výpočtu
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{2}{x^{5/2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+1/x^5}+\sqrt{1-1/x^5}} = \] \[ = 0\cdot\frac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}} = 0\cdot \frac{1}{2} = 0.\]Při tomto výpočtu jsme využili větu o aritmetice limit a faktu, že odmocnina je spojitou funkcí.
Za druhé je potřeba ověřit, že funkce
\[\frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}\]nenabývá na nějakém prstencovém okolí limitního bodu (+∞) své limitní hodnoty (nuly). To je zde zřejmé, neboť např. pro všechna \(x\in (1,+\infty)\) nabývá zmíněný výraz kladných hodnot.
Shrneme to: ze tří známých nebo ověřených faktů
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}} = 0,\] \[\lim_{y\to 0}\frac{\arcsin y}{y} = 1,\] \[\frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}} \neq 0 \qquad \textrm{na} \quad (1,+\infty)\]vyplývá podle věty o limitě složené funkce, že
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{\arcsin\left[\frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}\right]}{\frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}} = 1.\]Vraťme se nyní k počítané limitě
\[ = \lim_{x\to +\infty} x^{5/2}\arcsin\left[\frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}\right].\]Odvozená limita a věta o aritmetice limit nám umožňuje psát
\[ = \lim_{x\to +\infty} x^{5/2}\arcsin\left[\frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}\right] = \] \[ = \lim_{x\to +\infty} x^{5/2} \cdot \frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}} \cdot\frac{\arcsin\left[\frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}\right]}{\frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}}} = \] \[ = \lim_{x\to +\infty} x^{5/2}\cdot \frac{2}{\sqrt{x^5+1}+\sqrt{x^5-1}} \cdot 1 = \]a nyní již po vytknutí z odmocnin dostaneme
\[ = \lim_{x\to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1+1/x^5}+\sqrt{1-1/x^5}} = \frac{2}{2} = 1.\]
