Integrace lomené racionální funkce I.
Úloha číslo: 1486
Najděte primitivní funkci k
\[f(x)=\frac{8}{(3-2x)^4}\]Motivace
Výrazy typu \(\frac{1}{w^n}; n\ge 2\) itegrujeme následovným způsobem
\[\int\frac{1}{w^n}dw=-\frac{1}{n-1}\frac{1}{w^{n-1}} + c ;c \in \mathbb{R}\]přičemž vycházíme ze známého integrálu
\[\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1};a,c \in \mathbb{R}+c; a \ne -1\]Pokud tedy v zadané funkci vidíme náznak výrazu \(\frac{1}{w^n};n\ge 2\), za využití vhodné substituce či série vhodných substitucí, výraz převedeme do kýžené podoby, zintegrujeme a následně nalezneme vhodnou primitivní funkci zpětnou substitucí.
Více o substituční metodě nalezneme v úloze Substituce.
Substituce
Vhodnou substitucí převeďte zadaný výraz na výraz typu konstanta krát \(\frac{1}{w^n};n \ge 2\).
Integrace
Za pomoci známých používaných primitivních funkcí (ta konkrétní je uvedena v motivaci úlohy) substituovaný výraz zintegrujte.
Řešení
Řešený integrál vypadá následovně
\[F(x)=\int\frac{8}{(3-2x)^4}dx\]Výraz \(\frac{8}{(3-2x)^4}\) už se sám o sobě chová jako výraz \(\frac{1}{w^4}\), substitujeme proto
\[w=3-2x\]jelikož je \(w\) funkce \(x\), bude pro derivaci \(w\) podle proměné \(x\) platit
\[dw=-2dx\]a tedy
\[dx=-\frac{dw}{2}\]celkově po dosazení obdržíme
\[\int\frac{8}{(3-2x)^4}dx=-\frac{8}{2}\int\frac{1}{w^4}dw\]Tento výraz již snadno zintegrujeme v souladu s motivačním duchem úlohy.
\[-4\int\frac{1}{w^4}dw=--\frac{4}{3}\frac{1}{w^3}+c=\frac{4}{3}\frac{1}{w^3}+c\]a po zpětné substituci pak koneřný výsledek
\[F(x)=\frac{4}{3}\frac{1}{(3-2x)^3}+c\]Výsledek
\[F(x)=\frac{4}{3}\frac{1}{(3-2x)^3}+c\]řešení nalezeno pro \(x \ne \frac{3}{2}\)
Další úloha v sérii
