Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Integrace lomené racionální funkce I.

Úloha číslo: 1486

Najděte primitivní funkci k

\[f(x)=\frac{8}{(3-2x)^4}\]
  • Motivace

    Výrazy typu \(\frac{1}{w^n}; n\ge 2\) itegrujeme následovným způsobem

    \[\int\frac{1}{w^n}dw=-\frac{1}{n-1}\frac{1}{w^{n-1}} + c ;c \in \mathbb{R}\]

    přičemž vycházíme ze známého integrálu

    \[\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1};a,c \in \mathbb{R}+c; a \ne -1\]

    Pokud tedy v zadané funkci vidíme náznak výrazu \(\frac{1}{w^n};n\ge 2\), za využití vhodné substituce či série vhodných substitucí, výraz převedeme do kýžené podoby, zintegrujeme a následně nalezneme vhodnou primitivní funkci zpětnou substitucí.

    Více o substituční metodě nalezneme v úloze Substituce.

  • Substituce

    Vhodnou substitucí převeďte zadaný výraz na výraz typu konstanta krát \(\frac{1}{w^n};n \ge 2\).

  • Integrace

    Za pomoci známých používaných primitivních funkcí (ta konkrétní je uvedena v motivaci úlohy) substituovaný výraz zintegrujte.

  • Řešení

    Řešený integrál vypadá následovně

    \[F(x)=\int\frac{8}{(3-2x)^4}dx\]

    Výraz \(\frac{8}{(3-2x)^4}\) už se sám o sobě chová jako výraz \(\frac{1}{w^4}\), substitujeme proto

    \[w=3-2x\]

    jelikož je \(w\) funkce \(x\), bude pro derivaci \(w\) podle proměné \(x\) platit

    \[dw=-2dx\]

    a tedy

    \[dx=-\frac{dw}{2}\]

    celkově po dosazení obdržíme

    \[\int\frac{8}{(3-2x)^4}dx=-\frac{8}{2}\int\frac{1}{w^4}dw\]

    Tento výraz již snadno zintegrujeme v souladu s motivačním duchem úlohy.

    \[-4\int\frac{1}{w^4}dw=--\frac{4}{3}\frac{1}{w^3}+c=\frac{4}{3}\frac{1}{w^3}+c\]

    a po zpětné substituci pak koneřný výsledek

    \[F(x)=\frac{4}{3}\frac{1}{(3-2x)^3}+c\]
  • Výsledek

    \[F(x)=\frac{4}{3}\frac{1}{(3-2x)^3}+c\]

    řešení nalezeno pro \(x \ne \frac{3}{2}\)

  • Další úloha v sérii

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze