Separace proměnných (pád s odporem prostředí)
Úloha číslo: 1850
Vraťme se ještě jednou k volnému pádu z příkladu Přímá integrace II. (Volný pád). Situace je velmi podobná. Těleso o hmotnosti \(m\) je vypuštěno rychlostí \(v_{0}=0\) v homogenním tíhovém poli Země o konstantním gravitačním zrychlení \(g\). Nyní však uvažujeme působení odporových sil prostředí. Naším úkolem je vyjádřit vzorec zachycující čas \(t\), v němž těleso dosáhlo rychlosti \(v\).
Motivace aneb jak věci pracují
Než zcela opustíme metodu separace proměnných (Separace proměnných, Separace (rychlost chemické reakce)...), uvažme rovnici typu \(y'(x)=f(y)\), jíž lze touto metodou také řešit. Separace v tomto případě vede na rovnici
\[\frac{y'}{f(y)}=1 \,.\]Za předpokladu, že \(f(y) \ne 0\), a že lze levou stranu rovnice integrovat, získáme
\[\int\frac{\mathrm{d} y}{f(y)}=\int 1 \mathrm{d} x \,.\]po následné integraci pak
\[F(y)+C=x \,,\]kde \(C\) je integrační konstanta a \(F(y)\) primitivní funkce k \(\frac{1}{f(y)}\). Pomocí inverzní funkce následně určíme hledanou funkci
\[y(x) = F^{-1}(x-C) \,.\]Někdy ovšem bývá praktické ponechat si funkci \(x(y)\), jak demonstruje tato úloha.
Znázornění situace a pohybová rovnice
Nejprve se zaměřte na zmatematizování fyzikálního problému. Situaci graficky znázorněte, proveďte rozbor sil a následně sestavte příslušnou pohybovou rovnici.
Řešení získané diferenciální rovnice
V souladu s motivačním úvodem úlohy nyní pomocí přímé integrace nalezněte hledané řešení získané diferenciální rovnice.
Řešení
Protože se těleso pohybuje po přímce kolmé k povrchu Země, vystačíme si opět s jednodimenzionálním přiblížením, kdy na těleso působí pouze tíhová síla \(F_g\) proti a odporová síla \(F_o\) ve směru osy \(x\), viz obrázek
Při volném pádu těleso zrychluje až do okamžiku, kdy dojde k vyrovnání sil \(F_o\) a \(F_g\), a tedy těleso dosáhne takzvané mezní rychlosti. Od tohoto okamžiku již těleso dále nezrychluje. Je dobré si uvědomit, že právě účinek odporových sil prostředí a s ním spojená charakteristická konstanta \(k\) je to, co činí onen propastný rychlostní rozdíl mezi pozvolna klesajícím ptačím pírkem a k zemi střemhlav se řítícím kusem betonu.
Velikost odporové síly je přímo úměrná rychlosti pohybu tělesa. Můžeme ji proto popsat vztahem
\[F_o=kv \,.\]Na těleso tak působí výsledná síla
\[F=kv-mg \,,\]kde \(k\) je konstanta charakteristická pro dané těleso. Vyjdeme-li opět z druhého Newtonova zákona, získáme pohybovou rovnici
\[ma=kv-mg \,.\]I v tomto případě využijeme vědomosti, že zrychlení je derivace rychlosti podle času
\[m\dot{v}=kv-mg \,.\]Po krácení obou stran rovnice \(m\) získáváme obyčejnou diferenciální rovnici ve tvaru \( y'=f(y) \)
\[\dot{v}=\frac{kv}{m}-g \,.\]Víme, že lineární funkce \(f(y)= \frac{kv}{m}-g\) je spojitá na \(\mathbb{R}\). Funkce \(f(y)\) je dále nulová až v okamžiku, kdy dojde k rovnováze sil, a tedy k dosažení mezní rychlosti. Omezíme-li se na rychlosti před dosažením rovnováhy sil, můžeme výrazem \(\frac{kv}{m}-g \) rovnici vydělit. Nebo-li
\[\frac{\dot{v}}{\frac{kv}{m}-g}=1 \,.\]Funkci \(t(v)\) lze proto vyjádřit jako
\[t=\int{\frac{1}{\frac{kv}{m}-g}}\mathrm{d} v =\int{\frac{m}{kv-mg}}\mathrm{d} v \,.\]Integrál řešíme zavedením substituce \( w=kv-mg \), kde \(\mathrm{d} w= k \mathrm{d} v\)
\[t=\frac{m}{k}\int{\frac{1}{w}}\mathrm{d} w =\frac{m}{k}\ln{|w|}+C\,,\]po zpětné substituci pak
\[t =\frac{m}{k}\ln{|kv-mg|}+C\,.\]Hodnotu integrační konstanty \(C\), určíme z počáteční podmínky \(v(0)=0\). Položíme-li tak následně \(v=0\), \(t=0\), obdržíme
\[0=\frac{m}{k}\ln{|0-mg|}+C \Rightarrow C = -\frac{m}{k}\ln{|-mg|}=\frac{m}{k}\ln{\frac{1}{mg}} \,.\]Pro hledanou funkci \(t(v)\) tak celkově získáváme vztah
\[t(v)=\frac{m}{k}\ln{|kv-mg|}+\frac{m}{k}\ln{\frac{1}{mg}}=\frac{m}{k}\ln{\frac{|kv-mg|}{mg}} \,.\]
