Sbírka řešených úloh

Separace proměnných (pád s odporem prostředí)

Úloha číslo: 1850

• Motivace aneb jak věci pracují

  Než zcela opustíme metodu separace proměnných (Separace proměnných, Separace (rychlost chemické reakce)...), uvažme rovnici typu $y'(x)=f(y)$, jíž lze touto metodou také řešit. Separace v tomto případě vede na rovnici

  $$\frac{y'}{f(y)}=1 \,.$$

  Za předpokladu, že $f(y) \ne 0$, a že lze levou stranu rovnice integrovat, získáme

  $$\int\frac{\mathrm{d} y}{f(y)}=\int 1 \mathrm{d} x \,.$$

  po následné integraci pak

  $$F(y)+C=x \,,$$

  kde $C$ je integrační konstanta a $F(y)$ primitivní funkce k $\frac{1}{f(y)}$. Pomocí inverzní funkce následně určíme hledanou funkci

  $$y(x) = F^{-1}(x-C) \,.$$

  Někdy ovšem bývá praktické ponechat si funkci $x(y)$, jak demonstruje tato úloha.

• Znázornění situace a pohybová rovnice

  Nejprve se zaměřte na zmatematizování fyzikálního problému. Situaci graficky znázorněte, proveďte rozbor sil a následně sestavte příslušnou pohybovou rovnici.

• Znázornění situace a pohybová rovnice

  Protože se těleso pohybuje po přímce kolmé k povrchu Země, vystačíme si opět s jednodimenzionálním přiblížením, kdy na těleso působí pouze tíhová síla $F_g$ proti a odporová síla $F_o$ ve směru osy $x$, viz obrázek

  

  Při volném pádu těleso zrychluje až do okamžiku, kdy dojde k vyrovnání sil $F_o$ a $F_g$, a tedy těleso dosáhne takzvané mezní rychlosti. Od tohoto okamžiku již těleso dále nezrychluje. Je dobré si uvědomit, že právě účinek odporových sil prostředí a s ním spojená charakteristická konstanta $k$ je to, co činí onen propastný rychlostní rozdíl mezi pozvolna klesajícím ptačím pírkem a k zemi střemhlav se řítícím kusem betonu.

  Velikost odporové síly je přímo úměrná rychlosti pohybu tělesa. Můžeme ji proto popsat vztahem

  $$F_o=kv \,.$$

  Na těleso tak působí výsledná síla

  $$F=kv-mg \,,$$

  kde $k$ je konstanta charakteristická pro dané těleso. Vyjdeme-li opět z druhého Newtonova zákona, získáme pohybovou rovnici

  $$ma=kv-mg \,.$$

  I v tomto případě využijeme vědomosti, že zrychlení je derivace rychlosti podle času

  $$m\dot{v}=kv-mg \,.$$

  Po krácení obou stran rovnice $m$ získáváme obyčejnou diferenciální rovnici ve tvaru $y'=f(y)$

  $$\dot{v}=\frac{kv}{m}-g \,.$$

• Řešení získané diferenciální rovnice

  V souladu s motivačním úvodem úlohy nyní pomocí přímé integrace nalezněte hledané řešení získané diferenciální rovnice.

• Řešení získané diferenciální rovnice

  Víme, že lineární funkce $f(y)= \frac{kv}{m}-g$ je spojitá na $\mathbb{R}$. Funkce $f(y)$ je dále nulová až v okamžiku, kdy dojde k rovnováze sil, a tedy k dosažení mezní rychlosti. Omezíme-li se na rychlosti před dosažením rovnováhy sil, můžeme výrazem $\frac{kv}{m}-g$ rovnici vydělit. Nebo-li

  $$\frac{\dot{v}}{\frac{kv}{m}-g}=1 \,.$$

  Funkci $t(v)$ lze proto vyjádřit jako

  $$t=\int{\frac{1}{\frac{kv}{m}-g}}\mathrm{d} v =\int{\frac{m}{kv-mg}}\mathrm{d} v \,.$$

  Integrál řešíme zavedením substituce $w=kv-mg$, kde $\mathrm{d} w= k \mathrm{d} v$

  $$t=\frac{m}{k}\int{\frac{1}{w}}\mathrm{d} w =\frac{m}{k}\ln{|w|}+C\,,$$

  po zpětné substituci pak

  $$t =\frac{m}{k}\ln{|kv-mg|}+C\,.$$

  Hodnotu integrační konstanty $C$, určíme z počáteční podmínky $v(0)=0$. Položíme-li tak následně $v=0$, $t=0$, obdržíme

  $$0=\frac{m}{k}\ln{|0-mg|}+C \Rightarrow C = -\frac{m}{k}\ln{|-mg|}=\frac{m}{k}\ln{\frac{1}{mg}} \,.$$

  Pro hledanou funkci $t(v)$ tak celkově získáváme vztah

  $$t(v)=\frac{m}{k}\ln{|kv-mg|}+\frac{m}{k}\ln{\frac{1}{mg}}=\frac{m}{k}\ln{\frac{|kv-mg|}{mg}} \,.$$

• Řešení

  Protože se těleso pohybuje po přímce kolmé k povrchu Země, vystačíme si opět s jednodimenzionálním přiblížením, kdy na těleso působí pouze tíhová síla $F_g$ proti a odporová síla $F_o$ ve směru osy $x$, viz obrázek

  

  Při volném pádu těleso zrychluje až do okamžiku, kdy dojde k vyrovnání sil $F_o$ a $F_g$, a tedy těleso dosáhne takzvané mezní rychlosti. Od tohoto okamžiku již těleso dále nezrychluje. Je dobré si uvědomit, že právě účinek odporových sil prostředí a s ním spojená charakteristická konstanta $k$ je to, co činí onen propastný rychlostní rozdíl mezi pozvolna klesajícím ptačím pírkem a k zemi střemhlav se řítícím kusem betonu.

  Velikost odporové síly je přímo úměrná rychlosti pohybu tělesa. Můžeme ji proto popsat vztahem

  $$F_o=kv \,.$$

  Na těleso tak působí výsledná síla

  $$F=kv-mg \,,$$

  kde $k$ je konstanta charakteristická pro dané těleso. Vyjdeme-li opět z druhého Newtonova zákona, získáme pohybovou rovnici

  $$ma=kv-mg \,.$$

  I v tomto případě využijeme vědomosti, že zrychlení je derivace rychlosti podle času

  $$m\dot{v}=kv-mg \,.$$

  Po krácení obou stran rovnice $m$ získáváme obyčejnou diferenciální rovnici ve tvaru $y'=f(y)$

  $$\dot{v}=\frac{kv}{m}-g \,.$$

  Víme, že lineární funkce $f(y)= \frac{kv}{m}-g$ je spojitá na $\mathbb{R}$. Funkce $f(y)$ je dále nulová až v okamžiku, kdy dojde k rovnováze sil, a tedy k dosažení mezní rychlosti. Omezíme-li se na rychlosti před dosažením rovnováhy sil, můžeme výrazem $\frac{kv}{m}-g$ rovnici vydělit. Nebo-li

  $$\frac{\dot{v}}{\frac{kv}{m}-g}=1 \,.$$

  Funkci $t(v)$ lze proto vyjádřit jako

  $$t=\int{\frac{1}{\frac{kv}{m}-g}}\mathrm{d} v =\int{\frac{m}{kv-mg}}\mathrm{d} v \,.$$

  Integrál řešíme zavedením substituce $w=kv-mg$, kde $\mathrm{d} w= k \mathrm{d} v$

  $$t=\frac{m}{k}\int{\frac{1}{w}}\mathrm{d} w =\frac{m}{k}\ln{|w|}+C\,,$$

  po zpětné substituci pak

  $$t =\frac{m}{k}\ln{|kv-mg|}+C\,.$$

  Hodnotu integrační konstanty $C$, určíme z počáteční podmínky $v(0)=0$. Položíme-li tak následně $v=0$, $t=0$, obdržíme

  $$0=\frac{m}{k}\ln{|0-mg|}+C \Rightarrow C = -\frac{m}{k}\ln{|-mg|}=\frac{m}{k}\ln{\frac{1}{mg}} \,.$$

  Pro hledanou funkci $t(v)$ tak celkově získáváme vztah

  $$t(v)=\frac{m}{k}\ln{|kv-mg|}+\frac{m}{k}\ln{\frac{1}{mg}}=\frac{m}{k}\ln{\frac{|kv-mg|}{mg}} \,.$$