Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Substituce I

Úloha číslo: 1497

Určete pomocí substituce

\[\int\frac{1}{x}\ln{x}dx\]
  • Motivace

    Existuje celá řada metod pro řešení integrálů. Jednou z nich je právě substituční metoda. Její síla spočívá v mnohdy poměrně snadné aplikaci. Řada, na půdě škol řešených integrálů, navíc vede právě na řešení touto metodou.

    Následující věta v kostce shrnuje základní princip metody.

    Věta o substituci

    Mějme funkci \(f\) definovanou na intervalu \(I \in \mathbb{R}\), mající na témže intervalu primitivní funkci \(F\). Dále mějme funkci \(g\) zobrazující interval \(J \in \mathbb{R}\) na interval \(I\), která je spojitě derivovatelná na intervalu \(J\). Pak \(F(g)\) je primitivní funkce k funkci \(f(g)g\prime\) na intervalu \(J\)

    \[\int f(g(x))g\prime(x)dx=\int f(y)dy\,\,\bigg|_{y=g(x)}\]

    Lidský překlad věty říká, že vidíme-li v integrovaném výrazu funkci ve vhodné konstalaci s její derivací, pak jsou nám vrátka k substituci příznivě pootevřena. Často stačí jen provést několik kosmetických úprav a následnou substitucí integrál převádíme na tabulkový případ.

    Pozornému oku neunikne, že skutečný potenciál této metody dlí v počtářově zkušenosti s derivováním a v jeho “oku“ na vnímání kombinací funkce se svou derivací.

  • Vhodná substituce

    Pozorně si prohlédněte integrovanou funkci. Pokuste se nalézt vhodnou kombinaci funkce, za niž budete substituovat s její derivací.

    Nevidíte-li nic na první pohled, pokuste se problém vyřešit zkusmým derivováním - metodou pokus, omyl.

  • Integrace

    Pomocí zvolené substituce převeďte úlohu na tabulkový případ, integrál vyřešte a následnou zpětnou substitucí určete konečnou podobu řešení.

  • Řešení

    Zaměříme-li se na hledání substituované funkce a jí příslušné derivace, zjišťujeme, že funkci \(\ln{x}\) přísluší derivace \(\frac{1}{x}\)

    Volíme-li tedy substituci \(y=\ln{x}\), pak pro derivaci \(y\) podle \(x\) bude platit

    \[dy=\frac{1}{x}dx\]

    Je zjevné, že námi zvolená substituce je v daném případě správná.

    Již máme připravenou substituci

    \[y=\ln{x}\] \[dy=\frac{1}{x}dx\]

    po dosazení do původní úlohy

    \[I=\int\frac{1}{x}\ln{x}dx\]

    získáváme

    \[I=\int y dy\]

    což je tabulkový integrál, řešitelný jako

    \[=\frac{y^2}{2}+c\]

    nakonec po následné zpětné substituci získáváme

    \[=\frac{\ln^2{x}}{2}+c\]

    což je i hledaným řešením původní úlohy

  • Výsledek

    \[I=\frac{\ln^2{x}}{2}+c\]
  • Další úloha v sérii

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze