Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění VI
Úloha číslo: 836
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} n^\alpha\,\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n}}\right)\]v závislosti na hodnotě reálného parametru α.
Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} n^\alpha\,\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n}}\right)\]v závislosti na hodnotě reálného parametru α.
Nejprve použijeme rozšíření odmocniny
\[\lim_{\small n\to\infty} n^\alpha\,\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n}}\right) = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} n^\alpha\,\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n}}\right)\cdot\frac{\sqrt{n^2+\sqrt{n}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n}}}{\sqrt{n^2+\sqrt{n}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} n^\alpha\cdot\frac{(n^2+\sqrt{n})-(n^2-\sqrt{n})}{\sqrt{n^2+\sqrt{n}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n}}} = \]a po úpravě a vytknutí ze jmenovatele získáme
\[ = \lim_{\small n\to\infty} n^\alpha\cdot\frac{2\sqrt{n}}{n\left(\sqrt{1+n^{-3/2}}+\sqrt{1-n^{-3/2}}\right)} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n^{\alpha-1/2}}{\sqrt{1+n^{-3/2}}+\sqrt{1-n^{-3/2}}}.\]Nyní si všimněme, že limita jmenovatele je vlastní (rovná dvěma), a tudíž o limitě rozhoduje člen v čitateli na základě hodnoty parametru. Použitím věty o aritmetice limit tak dostaneme
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{2n^{\alpha-1/2}}{\sqrt{1+n^{-3/2}}+\sqrt{1-n^{-3/2}}} = \] \[ = \frac{\lim\limits_{\small n\to\infty} \ 2n^{\alpha-1/2}}{\lim\limits_{\small n\to\infty} \left(\sqrt{1+n^{-3/2}}+\sqrt{1-n^{-3/2}}\right)} = \]a na základě části (a) úlohy Limita pod odmocninou II
\[ = \frac{\lim\limits_{\small n\to\infty} \ 2n^{\alpha-1/2}}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}} = \] \[ = \frac{2\cdot\lim\limits_{\small n\to\infty} \ n^{\alpha-1/2}}{2} = \] \[ = \lim\limits_{\small n\to\infty} \ n^{\alpha-1/2} = \] \[ = \left\{ \begin{array}{ll} +\infty & \alpha > 1/2 \\ 1 & \alpha = 1/2 \\ 0 & \alpha < 1/2 \\ \end{array}\right.\]
