Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita funkce umocněné na jinou funkci III.
Úloha číslo: 1224
Vypočtěte limitu:
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} \mathrm{tg}\,^n \left( \frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right).
\]
Nápověda 1
Upravte výraz v limitě užitím součtového vzorce goniometrické funkce \(\mathrm{tg}\, x\) \[\mathrm{tg}\,(\alpha + \beta) = \frac{\mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{tg}\,\beta}{1 - \mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{tg}\,\beta}.\]Nápověda 2
S pomocí následující ekvivalence příklad převeďte na limitu ve vlastním bodě \[ \lim_{x\to0+}f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{n}\right) = L. \]Nápověda 3
Užijte exponeciální trik, tj. uvědomte si, že platí: \[a = e^{\ln a}.\] Dále užijte Věta o limitě složené funkce a vhodně rozšiřte, aby úloha vedla k užití známé limity: \[\lim\limits_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}=1.\]Nápověda 4
Limitu užitím základních goniometrických vztahů vhodně upravte. Dále použijte větu o aritmetice limit a větu o limitě složené funkce. Také si připomeňte, že: \[ \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1, \] \[ \lim\limits_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1. \] Limitu dopočítejte.CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Mocninu tangenty přepíšeme a použijeme součtový vzorec. \[ \lim\limits_{n\to+\infty} \mathrm{tg}\,^n \left( \frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)= \lim\limits_{n\to+\infty} \left[\mathrm{tg}\, \left( \frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\right]^n= \] \[ = \lim\limits_{n\to+\infty} \left( \frac{1+\mathrm{tg}\, \frac{1}{n}}{1-\mathrm{tg}\,\frac{1}{n}}\right)^n= \lim\limits_{n\to+\infty} \left(1+ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, \frac{1}{n}}{1-\mathrm{tg}\,\frac{1}{n}}\right)^n. \] Užitím ekvivalence \[ \lim_{x\to0+}f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{n}\right) = L \] počítání převedeme na limitu ve vlastním bodě \[ \lim\limits_{n\to+\infty} \left(1+ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, \frac{1}{n}}{1-\mathrm{tg}\,\frac{1}{n}}\right)^n= \lim\limits_{x\to0+} \left(1+ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{1-\mathrm{tg}\, x}\right)^\frac{1}{x} . \] Použijeme exponenciální trik \[ \lim\limits_{x\to0+} \left(1+ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{1-\mathrm{tg}\, x}\right)^\frac{1}{x}= \lim\limits_{x\to0+} \exp\left[ \frac{1}{x}\cdot \ln \left(1+ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{1-\mathrm{tg}\, x}\right)\right] . \] Exponenciální funkce je spojitá na \(\mathbb{R}\), lze bez obav limitu „vnořit“ do exponentu \[ \lim\limits_{x\to0+} \exp\left[ \frac{1}{x}\cdot \ln \left(1+ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{1-\mathrm{tg}\, x}\right)\right]= \exp \lim\limits_{x\to0+}\left[ \frac{1}{x}\cdot \ln \left(1+ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{1-\mathrm{tg}\, x}\right)\right] . \] Vhodně rozšíříme, aby úloha vedla k použití známe limity pro logaritmus \[ \exp \lim\limits_{x\to0+}\left[ \frac{1}{x}\cdot \ln \left(1+ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{1-\mathrm{tg}\, x}\right)\right]= \exp \lim\limits_{x\to0+}\left[ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{x(1-\mathrm{tg}\, x)} \frac{\ln \left(1+ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{1-\mathrm{tg}\, x}\right)}{\frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{1-\mathrm{tg}\, x}}\right] . \] Užitím základních vztahů pro goniometrické funkce výraz upravíme. Dále dle aritmetiky limit rozdělíme limitu součinu na součin limit. První zlomek dává známou limitu pro sinus, čtvrtý pak po použití Věta o limitě složené funkce a substituce základní limitu pro logaritmus. Do druhého a třetího zlomku jednoduše dosadíme. \[ \exp \lim\limits_{x\to0+}\left[ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{x(1-\mathrm{tg}\, x)} \frac{\ln \left(1+ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{1-\mathrm{tg}\, x}\right)}{\frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{1-\mathrm{tg}\, x}}\right] =\] \[= \exp \lim\limits_{x\to0+}\left[ 2\cdot\frac{\sin x}{x} \frac{1}{\cos x}\frac{1}{(1-\mathrm{tg}\, x)}\frac{\ln \left(1+ \frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{1-\mathrm{tg}\, x}\right)}{\frac{2\cdot\mathrm{tg}\, x}{1-\mathrm{tg}\, x}}\right]= \] \[= \exp \left( 2{\cdot} 1 \cdot 1 {\cdot} 1 \cdot 1\right) = e^2. \]Výsledek
\[ \lim\limits_{n\to+\infty} \mathrm{tg}\,^n \left( \frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)=e^2. \]
