Několik limit funkcí úvodem
Úloha číslo: 1180
Určete následující limity s využitím věty o limitě složené funkce:
a) \(\lim\limits_{x \to \infty} \mathrm{arctg}\,{(\ln{x}}) \)
b) \(\lim\limits_{x \to 0} \mathrm{sgn}{(x^2)} \)
Rozbor
Pro výpočet limit funkcí často pomůže vědět, jak vypadají grafy elementárních funkcí, případně alespoň mít představu, jak se dané funkce chovají v kritických bodech (tj. hraničních bodech definičních oborů či bodech, kde funkce není spojitá).
Dále je nutné pamatovat na fakt, že kdykoli při výpočtu limity narazíme na funkci v argumentu jiné funkce, je třeba využít věty o limitě složené funkce a ověřit její podmínky.
a) Nápověda
Představte si nebo i případně nakreslete graf vnitřní i vnější fukce, uvědomte si, jak se obě funkce chovají, když jejich argument roste nade všechny meze (tj. jde do plus nekonečna). Při výpočtu pak použijte věty o limitě složené funkce.
a) Řešení
Víme, jak se vnitřní funkce \(\ln{x}\) chová pro \(x \rightarrow +\infty\).
Pro takováto x hodnoty logaritmu rostou nade všechny meze a platí
\[\lim_{x\to+\infty} \ln{x} = +\infty.\]Nyní určíme celkovou limitu. Budeme potřebovat větu o limitě složené funkce, protože v argumentu funkce \(\mathrm{arctg}\,\) je již zmíněný logaritmus.
Protože, jak víme, je
\[\lim_{x\to+\infty} \ln{x} = +\infty,\]mohlo by platit, že
\[\lim_{x\to +\infty} \mathrm{arctg}\,(\ln x) \overset{*}{=} \lim_{y\to +\infty} \mathrm{arctg}\, y = \frac{\pi}{2}.\]Abychom o rovnosti označené hvězdičkou mohli tvrdit, že je pravdivá, potřebujeme ještě ověřit, jestli je splněna podmínka (S) nebo podmínka (P) ve větě o limitě složené funkce.
Podmínka (S) nemůže být splněna, neboť pro její splnění bychom potřebovali, aby funkce \(\mathrm{arctg}\,\) byla spojitá v plus nekonečnu. V tomto bodě však tato funkce není ani definována.
Podmínka (P) však splněna je. Ta požaduje, aby existovalo prstencové okolí plus nekonečna, kde \(\ln x \neq +\infty\). Za takové prstencové okolí však lze volit libovolné, které je částí definičního oboru logaritmu, např. interval \((0,+\infty)\).
Tím jsou předpoklady věty o limitě složené funkce ověřeny. Výslednou limitou je tedy hodnota \(\frac{\pi}{2}\).
b) Nápověda 1.
Vzpomeňte si, jak je definována funkce signum.
b) Nápověda 2.
Využijte definice funkce signum (případně zhotovte její graf) a pokuste se odhadnout, jak se budou jednotlivé funkce (vnitřní a vnější) chovat v okolí limitních bodů.
b) Řešení
Argumentem funkce \(\mathrm{sgn}\) je již zmíněná mocniná funkce \(x^2\). Uvědomme si nyní, že s výjimkou bodu nula jsou hodnoty této funkce kladná čísla. To znamená, že na libovolném prstencovém okolí nuly je
\[\mathrm{sgn}(x^2) = 1.\]Proto platí, že
\[\lim_{x\to 0} \mathrm{sgn}(x^2) = \lim_{x\to 0} 1 = 1.\]Komentář k části (b) – chybné užití věty o limitě složené funkce
Ukážeme zde úvahu založenou na mechanickém použití věty o limitě složené funkce, která vede na chybné řešení.
Víme, že
\[\lim_{x\to 0} x^2 = 0.\]Navíc, jak jsme zmínili i ve správném řešení, na libovolném prstencovém okolí nuly je \(x^2 \neq 0\).
Znamená to tedy (viz komentář k úloze Věta o limitě složené funkce (alternativní verze)), že
\[\lim_{x\to 0} \mathrm{sgn}(x^2) = \lim_{y\to 0} \mathrm{sgn}(y) \ ?\]Nikoliv, protože limita napravo neexistuje a výraz tedy nemá smysl. A o takovém případě věta o limitě složené funkce nic neříká!
Doplňme pro úplnost, že úvahu lze spravit použitím modifikované věty o limitě složené funkce. Protože x2 nabývá jen kladných hodnot, lze psát
\[\lim_{x\to 0} \mathrm{sgn}(x^2) = \lim_{y\to 0+} \mathrm{sgn}(y) = 1.\]
