Sbírka řešených úloh

Sinová věta (přímý důkaz)

Úloha číslo: 1929

• Přímý a nepřímý důkaz

  Přímý a nepřímý důkaz

  Věty typu: „jestliže platí $A$, pak platí $B$”, nebo-li $A\Rightarrow B$ zpravidla dokazujeme pomocí přímého či pomocí nepřímého důkazu. Výrok $A$ v tomto kontextu chápeme jako předpoklad tvrzení věty, výrok $B$ pak jako závěr tvrzení věty.

  V posloupnosti logicky správných kroků se snažíme dojít od pravdivého předpokladu k pravdivému závěru, v případě přímého důkazu. Alternativně se snažíme od neplatného závěru dojít v posloupnosti logicky správných kroků k neplatnosti předpokladu, v přápadě nepřímého důkazu.

  Klíč k pochopení logiky přímého/nepřímého důkazu přitom spočívá v pravdivostní tabulce implikace.

  Pravdivostní tabulka implikace

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} A & B & A' & B'& A\Rightarrow B & B'\Rightarrow A'\\ \hline \color{red}{1}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{1}\\ 1&0&0&1&0&0\\ 0&1&1&0&1&1\\ 0&0&1&1&1&1\\ \end{array}$$

  1. Zvolíme-li cestu přímým důkazem, musíme z platnosti předpokladu $A$ dojít přímo k platnosti implikace $A\Rightarrow B$. V takovém případě totiž musí být nutně pravdivý i závěr $B$ - viz červený řádek přiložené pravdivostní tabulky implikace.
  2. Zvolíme-li cestu nepřímým důkazem, musíme z neplatnosti negace závěru $B'$ dojít přímo k platnosti obměněné implikace $B'\Rightarrow A'$. V takovém případě totiž musí být nutně nepravdivá i negace předpokladu $A'$ a platit tedy původní předpoklad $A$ i závěr $B$ - viz červený řádek přiložené pravdivostní tabulky implikace.

  Poznamenejme na závěr, že komplikovanější věty, případně tvrzení, častokdy vyžadují pro svůj zdárný důkaz řetězec několika logicky správných implikací v duchu přímého či nepřímého způsobu dokazování výše.

• Nápověda 1

  Zhotovte si nejprve přehledný náčrt obecného (ne pravoúhlého atd.) trojúhelníku, zvýratněte v něm příslušné strany a úhly.

• Nápověda 1 řešení

  

• Nápověda 2

  Zamyslete se, jak jste si zavedli skrze pravoúhlý trojúhelník funkci $\sin \varphi$. Zároveň rozvažte, jak ve svém náčrtu vidět pro důkaz potřebné pravoúhlé trojúhelníky. Následně větu dokažte pomocí přímého důkazu.

• Nápověda 2 -řešení

  Spustíme-li například výšku $v$ na stranu $c$, získáme dva nové trojúhelníky.

  

  Protože je výška určitě kolmá na příslušnou stranu, budou trojúhelníky ADC a DBC pravoúhlé s pravým úhlem při vrcholu D.

  

  Využijeme-li nyní definice $\sin\varphi=$protilehlá ku přeponě, obdržíme v červeném trojúhelníku

  $$\sin \alpha = \frac{v}{b} \Rightarrow v=b\sin\alpha$$

  a v zeleném trojúhelníku pak

  $$\sin \beta = \frac{v}{a} \Rightarrow v=a\sin\beta\,.$$

  Porovnáme-li nyní obě rovnosti pro $v$, konečně dojdeme ke kýženému

  $$b\sin\alpha=a\sin\beta\Rightarrow \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\,.$$

  Pokud bychom celý postup zopakovali například pro dvojici pravoúhlých trojúhelníků získaných spuštěním výšky na stranu $b$, snadno bychom tuto rovnost rozšířili na

  $$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\,.$$

  Čímž můžeme Sinovou větu považovat za zdárně dokázanou!

• Přímý důkaz?

  Zbývá otázka, kde je v uvedeném sledu patrný způsob přímého dokazování? Z předpokladu jsme v posloupnosti logicky správných kroků došly přímo k pravdivému závěru.

  1. ABC je obecný trojúhelník.
  2. Výška je kolmá na příslušnou stranu.
  3. Definice funkce sinus v pravoúhlém trojúhelníku.
  4. Platnost Sinové věty.

• Řešení

  Trojúhelník si nepjrve načrtneme.

  

  Spustíme-li dále například výšku $v$ na stranu $c$, získáme dva nové trojúhelníky.

  

  Protože je výška určitě kolmá na příslušnou stranu, budou trojúhelníky ADC a DBC pravoúhlé s pravým úhlem při vrcholu D.

  

  Využijeme-li nyní definice $\sin\varphi=$protilehlá ku přeponě, obdržíme v červeném trojúhelníku

  $$\sin \alpha = \frac{v}{b} \Rightarrow v=b\sin\alpha$$

  a v zeleném trojúhelníku pak

  $$\sin \beta = \frac{v}{a} \Rightarrow v=a\sin\beta\,.$$

  Porovnáme-li nyní obě rovnosti pro $v$, konečně dojdeme ke kýženému

  $$b\sin\alpha=a\sin\beta\Rightarrow \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\,.$$

  Pokud bychom celý postup zopakovali například pro dvojici pravoúhlých trojúhelníků získaných spuštěním výšky na stranu $b$, snadno bychom tuto rovnost rozšířili na

  $$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\,.$$

  Čímž můžeme Sinovou větu považovat za zdárně dokázanou!

• Pravoúhlý/Tupoúhlý trojúhelník?

  V případě pravoúhleho trojúhelníku bychom neměli co dokazovat, neboť by znění Sinové věty přešlo v definitorické vztahy pro Sinus jednotlivých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku.

  V případě tupoúhlého trojúhelníku bychom postupovali analogicky se zvoleným postupem pro trojúhelník ostroúhlý. Jednotlivé kroky by však byly méně názorné a myšlenkově průzračné.