Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Sinová věta (přímý důkaz)

Úloha číslo: 1929

Dokažte Sinovou větu:

Nechť ABC je obecný trojúhelník o délkách stran \(a,\,b,\,c\) a velikostech příslušných vnitřních úhlů \(\alpha,\,\beta,\,\gamma\), pak platí

\[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\,.\]
  • Přímý a nepřímý důkaz

    Přímý a nepřímý důkaz

    Věty typu: „jestliže platí \(A\), pak platí \(B\)”, nebo-li \(A\Rightarrow B\) zpravidla dokazujeme pomocí přímého či pomocí nepřímého důkazu. Výrok \(A\) v tomto kontextu chápeme jako předpoklad tvrzení věty, výrok \(B\) pak jako závěr tvrzení věty.

    V posloupnosti logicky správných kroků se snažíme dojít od pravdivého předpokladu k pravdivému závěru, v případě přímého důkazu. Alternativně se snažíme od neplatného závěru dojít v posloupnosti logicky správných kroků k neplatnosti předpokladu, v přápadě nepřímého důkazu.

    Klíč k pochopení logiky přímého/nepřímého důkazu přitom spočívá v pravdivostní tabulce implikace.

    Pravdivostní tabulka implikace

    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} A & B & A' & B'& A\Rightarrow B & B'\Rightarrow A'\\ \hline \color{red}{1}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{1}\\ 1&0&0&1&0&0\\ 0&1&1&0&1&1\\ 0&0&1&1&1&1\\ \end{array}\]
    1. Zvolíme-li cestu přímým důkazem, musíme z platnosti předpokladu \(A\) dojít přímo k platnosti implikace \(A\Rightarrow B\). V takovém případě totiž musí být nutně pravdivý i závěr \(B\) - viz červený řádek přiložené pravdivostní tabulky implikace.
    2. Zvolíme-li cestu nepřímým důkazem, musíme z neplatnosti negace závěru \(B'\) dojít přímo k platnosti obměněné implikace \(B'\Rightarrow A'\). V takovém případě totiž musí být nutně nepravdivá i negace předpokladu \(A'\) a platit tedy původní předpoklad \(A\) i závěr \(B\) - viz červený řádek přiložené pravdivostní tabulky implikace.

    Poznamenejme na závěr, že komplikovanější věty, případně tvrzení, častokdy vyžadují pro svůj zdárný důkaz řetězec několika logicky správných implikací v duchu přímého či nepřímého způsobu dokazování výše.

  • Nápověda 1

    Zhotovte si nejprve přehledný náčrt obecného (ne pravoúhlého atd.) trojúhelníku, zvýratněte v něm příslušné strany a úhly.

  • Nápověda 2

    Zamyslete se, jak jste si zavedli skrze pravoúhlý trojúhelník funkci \(\sin \varphi\). Zároveň rozvažte, jak ve svém náčrtu vidět pro důkaz potřebné pravoúhlé trojúhelníky. Následně větu dokažte pomocí přímého důkazu.

  • Přímý důkaz?

    Zbývá otázka, kde je v uvedeném sledu patrný způsob přímého dokazování? Z předpokladu jsme v posloupnosti logicky správných kroků došly přímo k pravdivému závěru.

    1. ABC je obecný trojúhelník.
    2. Výška je kolmá na příslušnou stranu.
    3. Definice funkce sinus v pravoúhlém trojúhelníku.
    4. Platnost Sinové věty.
  • Řešení

    Trojúhelník si nepjrve načrtneme.

    graf

    Spustíme-li dále například výšku \(v\) na stranu \(c\), získáme dva nové trojúhelníky.

    graf1

    Protože je výška určitě kolmá na příslušnou stranu, budou trojúhelníky ADC a DBC pravoúhlé s pravým úhlem při vrcholu D.

    graf2

    Využijeme-li nyní definice \(\sin\varphi=\)protilehlá ku přeponě, obdržíme v červeném trojúhelníku

    \[\sin \alpha = \frac{v}{b} \Rightarrow v=b\sin\alpha\]

    a v zeleném trojúhelníku pak

    \[\sin \beta = \frac{v}{a} \Rightarrow v=a\sin\beta\,.\]

    Porovnáme-li nyní obě rovnosti pro \(v\), konečně dojdeme ke kýženému

    \[b\sin\alpha=a\sin\beta\Rightarrow \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\,.\]

    Pokud bychom celý postup zopakovali například pro dvojici pravoúhlých trojúhelníků získaných spuštěním výšky na stranu \(b\), snadno bychom tuto rovnost rozšířili na

    \[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\,.\]

    Čímž můžeme Sinovou větu považovat za zdárně dokázanou!

  • Pravoúhlý/Tupoúhlý trojúhelník?

    V případě pravoúhleho trojúhelníku bychom neměli co dokazovat, neboť by znění Sinové věty přešlo v definitorické vztahy pro Sinus jednotlivých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku.

    V případě tupoúhlého trojúhelníku bychom postupovali analogicky se zvoleným postupem pro trojúhelník ostroúhlý. Jednotlivé kroky by však byly méně názorné a myšlenkově průzračné.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha řešená úvahou
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze