Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Obecné
«
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Sinová věta (přímý důkaz)

Úloha číslo: 1929

Dokažte Sinovou větu:

Nechť ABC je obecný trojúhelník o délkách stran a,b,c a velikostech příslušných vnitřních úhlů α,β,γ, pak platí

asinα=bsinβ=csinγ.
  • Přímý a nepřímý důkaz

    Přímý a nepřímý důkaz

    Věty typu: „jestliže platí A, pak platí B”, nebo-li AB zpravidla dokazujeme pomocí přímého či pomocí nepřímého důkazu. Výrok A v tomto kontextu chápeme jako předpoklad tvrzení věty, výrok B pak jako závěr tvrzení věty.

    V posloupnosti logicky správných kroků se snažíme dojít od pravdivého předpokladu k pravdivému závěru, v případě přímého důkazu. Alternativně se snažíme od neplatného závěru dojít v posloupnosti logicky správných kroků k neplatnosti předpokladu, v přápadě nepřímého důkazu.

    Klíč k pochopení logiky přímého/nepřímého důkazu přitom spočívá v pravdivostní tabulce implikace.

    Pravdivostní tabulka implikace

    ABABABBA110011100100011011001111
    1. Zvolíme-li cestu přímým důkazem, musíme z platnosti předpokladu A dojít přímo k platnosti implikace AB. V takovém případě totiž musí být nutně pravdivý i závěr B - viz červený řádek přiložené pravdivostní tabulky implikace.
    2. Zvolíme-li cestu nepřímým důkazem, musíme z neplatnosti negace závěru B dojít přímo k platnosti obměněné implikace BA. V takovém případě totiž musí být nutně nepravdivá i negace předpokladu A a platit tedy původní předpoklad A i závěr B - viz červený řádek přiložené pravdivostní tabulky implikace.

    Poznamenejme na závěr, že komplikovanější věty, případně tvrzení, častokdy vyžadují pro svůj zdárný důkaz řetězec několika logicky správných implikací v duchu přímého či nepřímého způsobu dokazování výše.

  • Nápověda 1

    Zhotovte si nejprve přehledný náčrt obecného (ne pravoúhlého atd.) trojúhelníku, zvýratněte v něm příslušné strany a úhly.

  • Nápověda 2

    Zamyslete se, jak jste si zavedli skrze pravoúhlý trojúhelník funkci sinφ. Zároveň rozvažte, jak ve svém náčrtu vidět pro důkaz potřebné pravoúhlé trojúhelníky. Následně větu dokažte pomocí přímého důkazu.

  • Přímý důkaz?

    Zbývá otázka, kde je v uvedeném sledu patrný způsob přímého dokazování? Z předpokladu jsme v posloupnosti logicky správných kroků došly přímo k pravdivému závěru.

    1. ABC je obecný trojúhelník.
    2. Výška je kolmá na příslušnou stranu.
    3. Definice funkce sinus v pravoúhlém trojúhelníku.
    4. Platnost Sinové věty.
  • Řešení

    Trojúhelník si nepjrve načrtneme.

    graf

    Spustíme-li dále například výšku v na stranu c, získáme dva nové trojúhelníky.

    graf1

    Protože je výška určitě kolmá na příslušnou stranu, budou trojúhelníky ADC a DBC pravoúhlé s pravým úhlem při vrcholu D.

    graf2

    Využijeme-li nyní definice sinφ=protilehlá ku přeponě, obdržíme v červeném trojúhelníku

    sinα=vbv=bsinα

    a v zeleném trojúhelníku pak

    sinβ=vav=asinβ.

    Porovnáme-li nyní obě rovnosti pro v, konečně dojdeme ke kýženému

    bsinα=asinβasinα=bsinβ.

    Pokud bychom celý postup zopakovali například pro dvojici pravoúhlých trojúhelníků získaných spuštěním výšky na stranu b, snadno bychom tuto rovnost rozšířili na

    asinα=bsinβ=csinγ.

    Čímž můžeme Sinovou větu považovat za zdárně dokázanou!

  • Pravoúhlý/Tupoúhlý trojúhelník?

    V případě pravoúhleho trojúhelníku bychom neměli co dokazovat, neboť by znění Sinové věty přešlo v definitorické vztahy pro Sinus jednotlivých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku.

    V případě tupoúhlého trojúhelníku bychom postupovali analogicky se zvoleným postupem pro trojúhelník ostroúhlý. Jednotlivé kroky by však byly méně názorné a myšlenkově průzračné.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha řešená úvahou
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze