Rozklad na parciální zlomky VI.
Úloha číslo: 1485
Na parciální zlomky rozlož výraz
\[\frac{x^2-x+1}{x^3-3x^2+3x-1}\]Motivace
V úlohách Rozklad na parciální zlomky I., Rozklad na parciální zlomky II. a Rozklad na parciální zlomky III. jsme si ukázali, jak si poradit s rozklady všech možných typů racionálních lomených výrazů nad reálnými čísly zvlášť. Tato úloha poslouží k procvičení námi nabytých dovedností.
Jak k problematice parciálních zlomků přistupovat obecněji?
Základem je rozklad na součin polynomu ve jmenovateli zlomku. Což vždy provedíme jako první.
Za pomoci získaného rozkladu vytvoříme smyslupný rozklad na parciální zlomky v obecné podobě. Přičemž se držíme zásady, že stupeň polynomu v čitateli námi navrhovaného parciálního zlomku je o jedna nižší než stupeň polynomu ve jmenovateli téhož parciálního zlomku.
Vzniká nám tak jistá libovůle ve volbě podoby jednotlivých členů navrhovaného rozkladu. Dbejme přitom však omezující podmínky, že společný jmenovatel navrhovaných parciálních zlomků musí být polynomem ze jmenovatele původního zlomku.
Součinový tvar
Polynom ve jmenovateli rozložte na součinový tvar.
Rozklad na parciální zlomky
S využitím získaného rozkladu na součin polynomu ze jmenovatele výrazu připravte obecný rozklad výrazu na parciální zlomky v souladu s motivačním textem úlohy.
Konkrétní podoba rozkladu
Pomocí metody porovnávání koeficientů určete konstanty \(A,B,C\) tak, aby rovnost výše platila.
Řešení
Polynom ze jmenovatele zlomku \(x^3-3x^2+3x-1\) snadno rozložíme za pomoci vzorce \((A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\) jako
\[x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\]Součinový tvar rázem využijeme při tvorbě obecného rozkladu na parciální zlomky.
\[\frac{x^2-x+1}{x^3-3x^2+3x-1}=\frac{x^2-x+1}{(x-1)^3}\]Podržíme-li se zásad osvojených z teorie motivačního textu úlohy, bude obecná podoba rozkladu na parciální zlomky vypadat následovně
\[\frac{x^2-x+1}{(x-1)^3}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}\]Takto získaný obecný rozklad lehce připravíme pro metodu porovnávání koeficientů přenásobením obou stran rovnosti výrazem \((x-1)^3\) a získáme tak
\[x^2-x+1=A(x-1)^2+B(x-1)+C\]závorky roznásobíme
\[x^2-x+1=Ax^2-2Ax+A+Bx-B+C\] \[x^2-x+1=(A)x^2+(-2A+B)x+(-B+C)\]aby rovnost platila musí platit následující tři podmínky
(polynomy se sobě rovnají, rovnají-li se sobě i korespondující si koeficienty)
\[1=A\] \[-1=-2A+B\] \[1=A-B+C\]Jedná se o soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých. Řešení získáme vhodnou parametrizací a následným dosazováním
Z první rovnice přímo vidíme
\[A=1\]dosazením \(A\) do druhé pak získáme
\[-1=-2+B\] \[1=B\]dosazením \(A, \, B\) do třetí konečně
\[1=1-1+C\] \[C=1\]soustavu tedy řeší trojice
\[A=B=C=1\]s čímž je spojen rozklad
\[\frac{x^2-x+1}{(x-1)^3}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)^3}\]Výsledek
\[\frac{x^2-x+1}{(x-1)^3}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)^3}\]
