Sbírka řešených úloh

Integrace lomené racionální funkce II.

Úloha číslo: 1487

• Motivace

  Výrazy typu \(\frac{1}{1+w^2}; \) integrujeme následovným způsobem

  \[\int\frac{1}{1+w^2}dw=\mathrm{arctg}\,{w} + c ;c \in \mathbb{R}\]

  Pokud tedy v zadané funkci vidíme náznak výrazu \(\frac{1}{1+w^2}\), za využití vhodné substituce či série vhodných substitucí, výraz převedeme do kýžené podoby, zintegrujeme a následně nalezneme vhodnou primitivní funkci zpětnou substitucí.

  Více o substituční metodě nalezneme v úloze Substituce.

• Substituce

  Vhodnou substitucí převeďte zadaný výraz na výraz typu konstanta krát \(\frac{1}{1+w^2}\).

• Substituce - řešení

  Řešený integrál vypadá následovně

  \[F(x)=\int\frac{3}{(x^2+2x+4)}dx\]

  Výraz \(\frac{3}{(x^2+2x+4)}\) už se sám o sobě chová jako výraz \(\frac{1}{1+w^2}\), neboť polynom v jeho jmenovateli je irreducibilní \( D < 0 \), pro snazší substituci nejprve rozšíříme polynom ve jmenovateli na čtverec plus konstanta.

  \[x^2+2x+4=(x^2+2x)+4=(x^2+2x+1-1)+4=\] \[=(x^2+2x+1)+3=(x+1)^2+3\]

  a tedy

  \[F(x)=\int\frac{3}{(x^2+2x+4)}dx=\int\frac{3}{((x+1)^2+3)}dx=\]

  Dále z výrazu ve jmenovateli vytkeneme 3 ve snaze výraz co nejvíce přiblížit \(w^2 + 1\)

  \[=\int\frac{3}{((x+1)^2+3)}dx=\int\frac{1}{3}\frac{3}{\frac{(x+1)^2}{3}+1}dx=\int\frac{1}{3}\frac{3}{\biggl(\frac{(x+1)}{\sqrt{3}}\biggr) ^2+1}dx\]

  konečně substituujeme \(w=\frac{(x+1)}{\sqrt{3}}\)

  jelikož je \(w\) funkce \(x\), bude pro derivaci \(w\) podle proměné \(x\) platit

  \[dw=\frac{dx}{\sqrt{3}}\]

  a tedy

  \[dx=\sqrt{3}dw\]

  celkově po dosazení obdržíme

  \[\int\frac{1}{\biggl(\frac{(x+1)}{\sqrt{3}}\biggr) ^2+1}dx=\sqrt{3}\int\frac{1}{1+w^2} dw\]

  Tento výraz již snadno zintegrujeme v souladu s motivačním duchem úlohy.

• Integrace

  Za pomoci známých používaných primitivních funkcí (ta konkrétní je uvedena v motivaci úlohy) substituovaný výraz zintegrujte.

• Integrace - řešení

  \[\sqrt{3}\int\frac{1}{1+w^2} dw=\sqrt{3}\mathrm{arctg}\,{w}+c=\]

  a po zpětné substituci pak koneřný výsledek

  \[F(x)=\sqrt{3}\mathrm{arctg}\,{\frac{x+1}{\sqrt{3}}}+c\]

• Řešení

  Řešený integrál vypadá následovně

  \[F(x)=\int\frac{3}{(x^2+2x+4)}dx\]

  Výraz \(\frac{3}{(x^2+2x+4)}\) už se sám o sobě chová jako výraz \(\frac{1}{1+w^2}\), neboť polynom v jeho jmenovateli je irreducibilní \( D < 0 \), pro snazší substituci nejprve rozšíříme polynom ve jmenovateli na čtverec plus konstanta.

  \[x^2+2x+4=(x^2+2x)+4=(x^2+2x+1-1)+4=\] \[=(x^2+2x+1)+3=(x+1)^2+3\]

  a tedy

  \[F(x)=\int\frac{3}{(x^2+2x+4)}dx=\int\frac{3}{((x+1)^2+3)}dx=\]

  Dále z výrazu ve jmenovateli vytkeneme 3 ve snaze výraz co nejvíce přiblížit \(w^2 + 1\)

  \[=\int\frac{3}{((x+1)^2+3)}dx=\int\frac{1}{3}\frac{3}{\frac{(x+1)^2}{3}+1}dx=\int\frac{1}{3}\frac{3}{\biggl(\frac{(x+1)}{\sqrt{3}}\biggr) ^2+1}dx\]

  konečně substituujeme \(w=\frac{(x+1)}{\sqrt{3}}\)

  jelikož je \(w\) funkce \(x\), bude pro derivaci \(w\) podle proměné \(x\) platit

  \[dw=\frac{dx}{\sqrt{3}}\]

  a tedy

  \[dx=\sqrt{3}dw\]

  celkově po dosazení obdržíme

  \[\int\frac{1}{\biggl(\frac{(x+1)}{\sqrt{3}}\biggr) ^2+1}dx=\sqrt{3}\int\frac{1}{1+w^2} dw\]

  Tento výraz již snadno zintegrujeme v souladu s motivačním duchem úlohy.

  \[\sqrt{3}\int\frac{1}{1+w^2} dw=\sqrt{3}\mathrm{arctg}\,{w}+c=\]

  a po zpětné substituci pak koneřný výsledek

  \[F(x)=\sqrt{3}\mathrm{arctg}\,{\frac{x+1}{\sqrt{3}}}+c\]

• Výsledek

  \[F(x)=\sqrt{3}\mathrm{arctg}\,{\frac{x+1}{\sqrt{3}}}+c\]

• Další úloha v sérii

  Integrace lomené racionální funkce III.