Sbírka řešených úloh

Limita goniometrické funkce II.

Úloha číslo: 1183

• Nápověda 1

  Vzorce pro dvojnásobný úhel goniometrických funkcí a vztah pro goniometrickou jedničku lze psát ve tvaru: \[\cos x = \cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\tag{1}\] \[\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\tag{2}\] \[1 = \sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}\tag{3}\] Pokuste se užitím těchto vztahů upravit výraz v limitě do tvaru, ve kterém by se v součinu vyskytovaly pouze první mocniny goniometrických funkcí, bez absolutních členů.

• Řešení nápovědy 1

  Nejprve si upravíme výraz uvnitř limity. Použitím (1), (3) v kroku \(\alpha\) a (2) v kroku \(\beta\) dostaneme: \[ \frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin px-\cos px} \overset{\alpha}{=} \frac{\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} + \sin x - \cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}}{\sin^2\frac{px}{2} + \cos^2\frac{px}{2} +\sin{px} - \cos^2 \frac{px}{2}+\sin^2 \frac{px}{2}} = \] \[ =\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}+\sin x}{2\sin^2 \frac{px}{2}+\sin px} \overset{\beta}{=} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{px}{2}+2\sin\frac{px}{2}\cos\frac{px}{2}} \mathrm{.} \] Vytknutím \(\left(2\sin\frac{x}{2}\right)\) v čitateli, \(\left(2\sin\frac{px}{2}\right)\) ve jmenovateli a pokrácením \(2\) dostaneme: \[ \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{px}{2}+2\sin\frac{px}{2}\cos\frac{px}{2}}= \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}} \cdot \frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\mathrm{.} \]

• Nápověda 2

  Jmenovatel zlomku je na prstencovém okolí bodu 0 nenulový, zadání tedy má smysl. Vraťme se od úpravy výrazů opět k limitě. Dořešte limitu: \[ \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}} \cdot \frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\right)\mathrm{.} \] Využijte větu o aritmetice limit a vyřešte limity v součinu. Volte vhodné rozšiřování, které povede k použití limity typu: \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\).

• Řešení nápovědy 2

  Řešíme užitím věty o aritmetice limit: \[ \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}} \cdot \frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\right) = \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}}\right)\cdot\lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\right) \mathrm{.} \] První limitu v součinu vhodně rozšiříme na podíl limit typu \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\). Současně druhou limitu součinu vypočítáme: \[ \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}}\right)\cdot\lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\right)= \lim_{x\to 0} \left(\frac{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}{\frac{\sin\frac{px}{2}}{\frac{px}{2}}}\cdot \frac{\frac{x}{2}}{\frac{px}{2}}\right)\cdot\frac{0+1}{0+1} \mathrm{.} \] Neboť \(\lim_{x\to0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=1\) a \(\lim_{x\to0}\frac{\sin \frac{px}{2}}{\frac{px}{2}}=1\): \[ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}{\frac{\sin\frac{px}{2}}{\frac{px}{2}}}\cdot \frac{\frac{x}{2}}{\frac{px}{2}}\right)\cdot\frac{0+1}{0+1} = \frac{\frac{x}{2}}{\frac{px}{2}} = \frac{1}{p} \mathrm{.} \]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Nejprve si upravíme výraz uvnitř limity použitím vztahů: \[\cos x = \cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\tag{4}\] \[\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\tag{5}\] \[1 = \sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}\tag{6}\] Použitím (4), (5) v kroku \(\alpha\) a (6) v kroku \(\beta\) dostaneme: \[ \frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin px-\cos px} \overset{\alpha}{=} \frac{\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} + \sin x - \cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}}{\sin^2\frac{px}{2} + \cos^2\frac{px}{2} +\sin{px} - \cos^2 \frac{px}{2}+\sin^2 \frac{px}{2}} = \] \[ =\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}+\sin x}{2\sin^2 \frac{px}{2}+\sin px} \overset{\beta}{=} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{px}{2}+2\sin\frac{px}{2}\cos\frac{px}{2}} \mathrm{.} \] Vytknutím \(\left(2\sin\frac{x}{2}\right)\) v čitateli, \(\left(2\sin\frac{px}{2}\right)\) ve jmenovateli a pokrácením \(2\) dostaneme: \[ \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{px}{2}+2\sin\frac{px}{2}\cos\frac{px}{2}}= \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}} \cdot \frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\mathrm{.} \] Jmenovatel zlomku je na prstencovém okolí bodu 0 nenulový, zadání tedy má smysl. Řešíme limitu: \[ \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}} \cdot \frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\right)\mathrm{.} \] Užijeme větu o aritmetice limit: \[ \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}} \cdot \frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\right) = \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}}\right)\cdot\lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\right) \mathrm{.} \] První limitu v součinu vhodně rozšiříme na podíl limit typu \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\). Současně druhou limitu součinu vypočítáme: \[ \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}}\right)\cdot\lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\right)= \lim_{x\to 0} \left(\frac{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}{\frac{\sin\frac{px}{2}}{\frac{px}{2}}}\cdot \frac{\frac{x}{2}}{\frac{px}{2}}\right)\cdot\frac{0+1}{0+1} \mathrm{.} \] Neboť \(\lim_{x\to0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=1\) a \(\lim_{x\to0}\frac{\sin \frac{px}{2}}{\frac{px}{2}}=1\): \[ \lim_{x\to 0} \left(\frac{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}{\frac{\sin\frac{px}{2}}{\frac{px}{2}}}\cdot \frac{\frac{x}{2}}{\frac{px}{2}}\right)\cdot\frac{0+1}{0+1} = \frac{\frac{x}{2}}{\frac{px}{2}} = \frac{1}{p} \mathrm{.} \]

• Výsledek

  \[ \lim\limits_{x\to 0} \displaystyle \frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin px-\cos px} = \frac{1}{p}\qquad \mathrm{kde~}p\ne 0 \mathrm{~je~reálné~číslo.} \]