Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita cyklometrické funkce V.

Úloha číslo: 1194

Určete limitu funkce

\[\lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{e^2-e^{2x}}}{\arccos x}.\]
  • Řešení

    Určujeme limitu funkce

    \[\lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{e^2-e^{2x}}}{\arccos x}.\]

    Podle úlohy Základní limity cyklometrických funkcí máme, že

    \[\lim_{x\to 1-} \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{2}.\]

    Pomocí věty o aritmetice limit můžeme tedy psát

    \[\lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{e^2-e^{2x}}}{\arccos x} \cdot \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}} = \] \[\lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{e^2-e^{2x}}}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{\sqrt{1-x}}{\arccos x} = \] \[\lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{e^2-e^{2x}}}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{\sqrt 2} = \]

    Následně vytknutím a opětovným použitím věty o aritmetice limit dostaneme

    \[\frac{1}{\sqrt 2}\cdot \lim_{x\to 1-} \sqrt{e^{2x}} \cdot \lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{e^{2-2x}-1}}{\sqrt{1-x}} = \] \[\frac{1}{\sqrt 2}\cdot \lim_{x\to 1-} e^{x} \cdot \lim_{x\to 1-} \sqrt{\frac{e^{2(1-x)}-1}{2(1-x)}}\cdot\sqrt{2} = \] \[e^1 \cdot \lim_{x\to 1-} \sqrt{\frac{e^{2(1-x)}-1}{2(1-x)}}.\]

    Nyní nejprve ukážeme, že

    \[\lim_{x\to 1-} \frac{e^{2(1-x)}-1}{2(1-x)} = 1.\]

    To plyne použitím věty o limitě složené funkce, neboť

    \[\lim_{x\to 1-} 2(1-x) = 0,\] \[\lim_{y\to 0} \frac{e^y-1}{y} = 1,\] \[2(1-x)\neq 0 \qquad \textrm{na} \quad (-1{,}1)\setminus\{0\}.\]

    A protože odmocnina je spojitá v bodě 1, máme,

    \[e^1 \cdot \lim_{x\to 1-} \sqrt{\frac{e^{2(1-x)}-1}{1-x}} = \] \[e \cdot \sqrt{\lim_{x\to 1-} \frac{e^{2(1-x)}-1}{1-x}} = e\cdot\sqrt{1} = e.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze