Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita cyklometrické funkce V.
Úloha číslo: 1194
Určete limitu funkce
\[\lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{e^2-e^{2x}}}{\arccos x}.\]Řešení
Určujeme limitu funkce
\[\lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{e^2-e^{2x}}}{\arccos x}.\]Podle úlohy Základní limity cyklometrických funkcí máme, že
\[\lim_{x\to 1-} \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{2}.\]Pomocí věty o aritmetice limit můžeme tedy psát
\[\lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{e^2-e^{2x}}}{\arccos x} \cdot \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}} = \] \[\lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{e^2-e^{2x}}}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{\sqrt{1-x}}{\arccos x} = \] \[\lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{e^2-e^{2x}}}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{\sqrt 2} = \]Následně vytknutím a opětovným použitím věty o aritmetice limit dostaneme
\[\frac{1}{\sqrt 2}\cdot \lim_{x\to 1-} \sqrt{e^{2x}} \cdot \lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{e^{2-2x}-1}}{\sqrt{1-x}} = \] \[\frac{1}{\sqrt 2}\cdot \lim_{x\to 1-} e^{x} \cdot \lim_{x\to 1-} \sqrt{\frac{e^{2(1-x)}-1}{2(1-x)}}\cdot\sqrt{2} = \] \[e^1 \cdot \lim_{x\to 1-} \sqrt{\frac{e^{2(1-x)}-1}{2(1-x)}}.\]Nyní nejprve ukážeme, že
\[\lim_{x\to 1-} \frac{e^{2(1-x)}-1}{2(1-x)} = 1.\]To plyne použitím věty o limitě složené funkce, neboť
\[\lim_{x\to 1-} 2(1-x) = 0,\] \[\lim_{y\to 0} \frac{e^y-1}{y} = 1,\] \[2(1-x)\neq 0 \qquad \textrm{na} \quad (-1{,}1)\setminus\{0\}.\]A protože odmocnina je spojitá v bodě 1, máme,
\[e^1 \cdot \lim_{x\to 1-} \sqrt{\frac{e^{2(1-x)}-1}{1-x}} = \] \[e \cdot \sqrt{\lim_{x\to 1-} \frac{e^{2(1-x)}-1}{1-x}} = e\cdot\sqrt{1} = e.\]
