Lineární rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou I.
Úloha číslo: 1870
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(y''-y'=x\)
Rovnice s pravou stranou
Rovnice se speciální pravou stranou
Lineární rovnicí s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou nebo stručněji rovnicí se speciální pravou stranou, rozumíme rovnici
\[a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\cdots + a_0y = \mathrm{e}^{\alpha x}\bigl(P_p(x)\cos \beta x + Q_q(x)\sin \beta x \bigr);\,\] \[a_0,\cdots, a_{n} \in \mathbb{R} \,,\]kde \(P_p(x) \), \(Q_q(x)\) jsou obecné polynomy
stupně \(p,q\), přičemž připouštíme i možnost \(P_p(x) \equiv 0\) nebo \(Q_q(x) \equiv 0\).Vzpomeneme si, že obecné řešení nehomogenní lineární rovnice lze vyjádřit jako
\[y = y_p+y_h \,,\]kde \(y_h\) je obecné řešení homogenní rovnice a \(y_p\) jedno konkrétní řešení rovnice s pravou stranou.
Jak se dobrat obecného řešení \(y_h\) homogenní rovnice s konstantními koeficienty jsme si ukázali v úloze Homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty. Zbývá ukázat, jak získat partikulární řešení rovnice nehomogenní.
Pro jednoduchost nejprve uvažme případ, kdy konstanty \(\alpha, \beta = 0\), zjevně pak řešíme rovnici
\[a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\cdots + a_0y = P_p(x)\,.\]Na pravé straně rovnice tedy máme polynom \(P_p(x)\), na straně levé pak lineární kombinaci derivací funkce \(y\) řádu \(k=m,m+1,\cdots ,n ;\, m\ge 0\). Uvědomíme si, že derivací polynomu je opět polynom stupně o jedna nižšího. To ale znamená, že polynom na pravé straně můžeme chápat jako polynom vzniklý lineární kombinací derivací jiného polynomu. Partikulární řešení tak hledáme jako polynom stupně \(p+m\). V jednodušším případě, kdy \(m=0\), půjde o polynom \(S_p(x)= s_px^p + s_{p-1}x^{p-1}+\cdots + s_1x+s_0\) stupně \(p\), a tedy
\[y_p= S_p(x)\,.\]V případě, kdy \(m>0\), tedy v případě, kdy \(0\) je \(m\)-násobným kořenem charakteristické rovnice, všechny členy navrhovaného polynomu stupně menšího než \(m\) budou po následném dosazení do rovnice derivováním vynulovány, a budou tedy řešením homogenní rovnice. Jinými slovy, konstanty u těchto členů lze položit rovny nule. Jako partikulární řešení proto volíme
\[y_p= x^{m}S_p(x)\,.\]Konkrétní podobu koeficientů \[s_p, s_{p-1}, \cdots, s_1, s_0\] následně určíme z rovnosti polynomů po dosazení námi navrhovaného partikulárního řešení do řešené rovnice.
Homogenní rovnice
V souladu s teorií v úvodu úlohy nejprve vyřešte příslušnou homogenní rovnici. (viz úloha Homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty)
Partikulární řešení rovnice s pravou stranou
V souladu s teorií v úvodu úlohy a podoby pravé strany navrhněte vhodnou podobu partikulárního řešeního řešení rovnice s pravou stranou.
Konkrétní podoba partikulárního řešení
Pomocí metody porovnávání koeficientů a výchozí rovnice určete konkrétní podobu koeficientů obsažených ve vámi navrhovaném partikulárním řešení rovnice s pravou stranou.
Celková podoba obecného řešení rovnice
Pomocí získaného obecného řešení homogenní rovnice a získaného partikulárního řešení rovnice s pravou stranou nyní vyjádřete obecné řešení zadané rovnice.
Řešení
Zaměřme se nyní na obecné řešení příslušné homogenní rovnice \(y''-y'=0\). Nejprve najděme jednotlivá řešení ve tvaru \(y=\mathrm{e}^{\lambda x}\). Pro tyto účely určíme příslušnou charakteristickou rovnici
\[\begin{align*} \lambda^2-\lambda &=0\\ \lambda(\lambda-1) &=0 \,. \end{align*}\]Vidíme, že charakteristická rovnice má dva kořeny \(\lambda_1 = 0\) a \(\lambda_2 = 1\). Těmto kořenům přísluší funkce \(y_1 = 1 \) a \(y_2 = \mathrm{e}^{x} \). Hledané obecné řešení homogenní rovnice má tak tvar
\[y_h=c_1+c_2\mathrm{e}^{x} \,.\]Zbývá určit partikulární řešení rovnice s pravou stranou \(y_p\). Povšimneme si, že na pravé straně rovnice je polynom stupně \(p=1\). Zohledníme dále skutečnost, že je nula jednonásobným kořenem charakteristické rovnice a hledané partikulární řešení navrhujeme ve tvaru
\[y_p=x^1S_1(x)=x(ax+b)=ax^2+bx \,.\]Pro derivace \(y'_p, y''_p\) bude platit
\[\begin{align*} y'_p &=2ax+b \\ y''_p &=2a \,. \end{align*}\]Následným dosazením \(y'_p, y''_p\) do řešené rovnice pak získáme
\[\begin{align*} 2a-2ax-b &=x \\ (-2a)x+(2a-b) &=1x+0 \,. \end{align*}\]Aby se polynom na straně pravé rovnal polynomu na straně levé, musejí se rovnat i koeficienty u odpovídajících si mocnin. Porovnáváním dílčích koeficientů tak dojdeme k soustavě rovnic
\[\begin{align*} -2a &=1 \\ 2a-b &=0 \,, \end{align*}\]jíž přísluší řešení \(a=-\frac{1}{2}, b=-1\). Pro \(y_p\) tak celkově získáváme tvar
\[ y_p=-\frac{1}{2}x^2-x \,.\]S přihlédnutím ke skutečnosti, že \(y=y_h+y_p\) tak pro hledané obecné řešení platí
\[y=c_1+c_2\mathrm{e}^{x} +-\frac{1}{2}x^2-x \,.\]
