l’Hospitalovo pravidlo
Úloha číslo: 1220
Nechť \(x_0 \in R\) a platí jedna z následujících podmínek:
- \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=\lim\limits_{x \to x_0} g(x)=0\)
- \(\lim\limits_{x \to x_0} |g(x)|=+\infty\)
Pak \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f^{´}(x)}{g^{´}(x)}\] pokud limita vpravo existuje.
Důkaz části 1.
Předpokládejme, že \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=0=\lim\limits_{x \to x_0} g(x)\).
1. Zabývejme se nejprve situací, kdy\(x \to x_{0+}\) a navíc \(x_0\in\mathbb{R}\). V případě \(x \to x_{0-}\) se postupuje analogicky.
Předefinujme \(f(x_0)=g(x_0)=0\) (protože limita nezávisí na hodnotě funkce v limitním bodě, hodnota limity se tím nezmění).
Předpokládáme, že existuje limita
\[\lim_{x\to x_0} \frac{f^{´}(x)}{g^{´}(x)}.\]Z toho vyplývá, že podíl \(\frac{f^{´}(x)}{g^{´}(x)}\) je definován v nějakém prstencovém okolí bodu x0 s poloměrem δ a na tomto okolí je to reálné číslo.
Označme toto prstencové okolí \(P_{+}(x_0)=P_+ (x_0,\delta)\). Označme dále interval \([x_0,x_0+\delta)\) jako \(U(x_0,\delta)\).
Podle Cauchyho věty o střední hodnotě existuje pro libovolné \(x\in P_{+}(x_0)\) číslo \(c(x)\in (x_0,x) \) (závislé na hodnotě x) tak, že platí (uvědomte si, že jsme definovali \(f(x_0) = g(x_0) = 0\)):
\[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f^{´}(c(x))}{g^{´}(c(x))}.\]Podle věty o limitě složené funkce s využitím podmínky (P) pak platí:
\[\lim\limits_{x \to x_{0+}} \frac{f^{´}(c(x))}{g^{´}(c(x))}=\lim\limits_{y \to x_{0+}}\frac{f^{´}(y)}{g^{´}(y)}=\lim\limits _{x \to x_{0+}} \frac{f^{´}(x)}{g^{´}(x)}\]neboť \(c(x) \neq x_0\) na \(P_+(x_0)\) a přitom \(c(x) \in (x_0,x)\), tudíž
\[\lim\limits_{x \to x_0} c(x)=x_0.\]podle definice limity funkce.
2. Tím jsme tvrzení dokázali pro \(x_0 \in R\). Nyní ukažme, že platí, také pro \(x_0 = +\infty\). V případě \(x_0 = -\infty\) postupujeme analogicky.
Pokud položíme \(y = \frac{1}{x}\), potom
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} = 0, \qquad \frac{1}{x} > 0\]na nějakém prstencovém okolí plus nekonečna, které je součástí definičních oborů funkcí f i g (dle předpokladů).
Potom podle modifikované verze věty o limitě složené funkce s využitím podmínky (P) platí, že
\[\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{y \to 0_+} \frac{f \left( \frac{1}{y} \right) }{g \left( \frac{1}{y}\right) }=\lim\limits_{y \to 0_+}\frac{F(y)}{G(y)}\overset{?}{=}\lim\limits_{y \to 0_+}\frac{F^{´}(y)}{G^{´}(y)}\overset{*}{=}\]kde jsme definovali
\[F(y) = f(1/y), \qquad G(y) = g(1/y).\]Rovnost označená otazníkem platí podle první části tvrzení, neboť (opět) podle modifikované verze věty o limitě složené funkce je
\[\lim_{y\to 0+} F(y) = \lim_{y\to 0+} f(1/y) = \lim_{x\to +\infty} f(x) = 0,\] \[\lim_{y\to 0+} G(y) = \lim_{y\to 0+} g(1/y) = \lim_{x\to +\infty} g(x) = 0.\]Protože podle věty o derivaci složené funkce platí, že
\[F^{´}(y)=f^{´}\left( \frac{1}{y} \right) \cdot -\frac{1}{y^2},\] \[G^{´}(y)=g^{´}\left( \frac{1}{y} \right) \cdot -\frac{1}{y^2},\]dostáváme po dosazení do rovnosti označené hvězdičkou
\[ \overset{*}{=}\lim\limits_{y \to 0_+}\frac{f^{´}\left( \frac{1}{y} \right) \cdot \frac{1}{y^2}}{g^{´}\left( \frac{1}{y} \right) \cdot \frac{1}{y^2}}= \lim\limits_{y \to 0_+}\frac{f^{´}\left( \frac{1}{y} \right)}{g^{´}\left( \frac{1}{y} \right)} =\]a (potřetí) podle modifikované verze o limitě složené funkce máme rovnost
\[ = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{f^{´}(x)}{g^{´}(x)}.\]Poslední limita podle předpokladu existuje, použití vět o limitě složené funkce bylo tedy korektní.
\[QED\]Důkaz části 2.
V případě, že limita \(\lim\limits_{x \to x_0}|g(x)|=+\infty\),
můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že \(x_0 \in \mathbb{R}\) (jinak bychom postupovali substitucí jako v první části).
Víme:
\[\textrm{existuje} \, \lim\limits_{x \to x_{0+}} \frac{f^{´}(x)}{g^{´}(x)}= A \in \mathbb{R}^*\tag{1}\] \[\lim\limits_{x \to x_{0+}}|g(x)|=+\infty\tag{2}\]Z (1) plyne, že existuje \(\delta_1 \gt 0\) tak, že pro každé \(x \in P_+(x_0,\delta_1)\) platí \(\frac{f^{´}(x)}{g^{´}(x)} \in \mathbb{R}\). Tudíž také čísla \(f^{´}(x),g^{´}(x) \in \mathbb{R}\) a funkce \(f,g\) jsou tedy spojité na intervalu \((x_0,x_0+\delta_1)\), neboť mají v těchto bodech vlastní derivace. Navíc \(g^{´}(x) \ne 0\) pro každé \(x \in P_+(x_0,\delta_1).\)
Zvolíme libovolně \(x,x_1 \in (x_0,x_0+\delta_1), x \lt x_1\). Podle Cauchyově věty o střední hodnotě existuje \(c \in (x,x_1)\) takové, že platí:
\[\frac{f(x)-f(x_1)}{g(x)-g(x_1)}=\frac{f^{´}(c)}{g^{´}(c)}\] \[f(x)-f(x_1)=\frac{f^{´}(c)}{g^{´}(c)}(g(x)-g(x_1))\] \[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x_1)}{g(x)}+\frac{f^{´}(c)}{g^{´}(c)} \left( 1-\frac{g(x_1)}{g(x)} \right) \]Můžete dělit, protože \(g(x)\ne 0 \,(\lim\limits_{x \to x_0}|g(x)|=+\infty)\). Další postup je odvislý na tom, zda limita A je vlastní či nevlastní
\[\lim\limits_{x \to x_{0+}}\frac{f^{´}(x)}{g^{´}(x)} = \begin{cases} A \in \mathbb{R} \\ A=+\infty \\ A=-\infty \end{cases}\]a) Pokud platí, že \(A \gt -\infty\), chceme dokázat, že
\[\forall A^{´} \lt A \ \exists \delta \gt 0 : \frac{f(x)}{g(x)}\gt A^{´} \forall x \in (x_0,x_0+\delta),\]tedy že podíl \(f(x)/g(x)\) je větší než jakékoliv číslo menší než A na nějakém pravém prstencovém okolí bodu x0.
K tomu stačí dokázat, že
\[\forall A^* \in (A^{´},A) \ \exists \delta \gt 0 : \, \frac{f(x)}{g(x)}\ge A^* \ \forall x \in (x_0,x_0+\delta)\]Z rovnosti (1) plyne, že existuje \(\delta_2 \in (0,\delta_1)\) taková, že \(\frac{f^{´}(y)}{g^{´}(x)} \gt A^* \ \forall y \in (x_0,x_0+\delta_2)\), a tedy
\[\frac{f^{´}(c(x,x_1))}{g^{´}(c(x,x_1))} \gt A^* \ \forall x, x_1 \in (x_0,x_0+\delta_2)\]Zafixujeme nyní \(x_1 \in (x_0,x_0+\delta_2)\). Tím, že je uvažujeme pevné, je
\[\lim_{x\to x_0} \frac{f(x_1)}{g(x)} = f(x_1)\cdot\lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = f(x_1)\cdot 0 = 0\]a obdobně
\[\lim_{x\to x_0} \frac{g(x_1)}{g(x)} = g(x_1)\cdot\lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = g(x_1)\cdot 0 = 0.\]Tudíž existuje \(\delta_3 \in (0,\delta_2)\) takové, že platí
\[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x_1)}{g(x)}+\frac{f^{´}(c)}{g^{´}(c)} \left( 1-\frac{g(x_1)}{g(x)} \right) \gt\] \[\gt \underbrace{\frac{f(x_1)}{g(x)}}_{\to 0}+A^* \underbrace{\left( 1-\frac{g(x_1)}{g(x)} \right)}_{\to 1-0} \gt A^{´} \,\, \forall x \in (x_0,x_0+\delta_3)\]Tedy existuje i \(\delta=\delta_4 \in (0,\delta_3)\) taková, že platí
\[\frac{f(x)}{g(x)}\gt A^{´} \forall x \in (x_0,x_0+\delta_4).\]b) Pokud naopak je \(A \lt +\infty\), analogicky dokážeme, že
\[\forall A'' \gt A \ \exists \Delta \gt 0 : \frac{f(x)}{g(x)}\lt A'' \ \forall x \in (x_0, x_0+\Delta).\]Z toho analogicky vyplývá platnost tvrzení, je-li \(A = -\infty\). Kombinací částí (a) i (b) pak zároveň vyplyne i případ, kdy je A reálné číslo, neboť jsme ukázali, že pro každá \(A' \lt A \lt A''\) existuje (pravé) prstencové okolí bodu x0 tak, že
\[A^{´}\lt \frac{f(x)}{g(x)} \lt A'',\]odkud z definice limity funkce vyplývá rovnost
\[\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = A.\]Což bylo dokázati.
\[QED\]
