Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Bernoulliho rovnice

Úloha číslo: 1854

Převeďte řešení Bernoulliho rovnice \(y'-\frac{1}{4}y=\frac{1}{4}xy^5\) na řešení příslušné lineární rovnice.

  • Bernoulliho rovnice

    Při řešení rovnic tohoto typu obvykle uvažujeme \(n >1\), neboť pro \(n=0\) získáme nehomogenní lineární rovnici, pro \(n=1\) pak homogenní lineární rovnici.

    Pro \(n >1\) a \(y\ne 0\) nejprve celou rovnici vydělíme výrazem \(y^{n}\) (\(y=0\) je opět triviálním řešením) a získáme

    \[\frac{y'}{y^n}+a(x)y^{1-n}=b(x)\,.\]

    Následným zavedením substituce

    \[u(x)=y(x)^{1-n} \Rightarrow u'(x)=(1-n)y(x)^{-n}y'\]

    tak obdržíme nehomogenní lineární rovnici

    \[\frac{u'}{1-n} +a(x)u = b(x) \,,\]

    jejímž řešením získáme funkci \(u(x)\) a od ní pak přejdeme zpět k hledané funkci \(y(x)\) pomocí užitého substitučního vztahu

    \[y=\sqrt[(1-n)]{u} \,.\]

    Jinými slovy, řešení Bernoulliho rovnice převádíme v řešení lineární rovnice.

  • Převod na lineární rovnici

    Pomocí vhodné substituce převeďte řešenou rovnici na rovnici lineární.

  • Řešení získané rovnice

    Nalezněte řešení získané lineární rovnice. Následní pomocí zpětné substtuce dojděte ke kýženému řešení původní rovnice.

  • Řešení

    V souladu s osvojeným postupem rovnici nejprve dělíme \(y^5\), získáme tak

    \[\frac{y'}{y^5}-\frac{1}{4}\frac{1}{y^4}=\frac{1}{4}x \,.\]

    Následně zavedeme substituci

    \[u(x)=\frac{1}{y^4} \,.\]

    Pro derivaci \(u'(x)\) tak bude platit

    \[u'=-4\frac{y'}{y^5} \,.\]

    Po zavedení substituce tak řešená rovnice přejde v rovnici

    \[-\frac{1}{4}u'-\frac{1}{4}u=\frac{1}{4}x\]

    a po vynásobení obou stran minus čtyřkou pak

    \[u'+u=-x \,,\]

    což je skutečně jednoduchá lineární rovnice (viz úloha Lineární rovnice).

    Mimořádně nyní využijeme dříve odvozeného vzorce pro řešení lineární rovnice z teoretické části úlohy Lineární rovnice

    \[u(x)=C\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}+\int b(x)\mathrm{e}^{\int{a(x)}\mathrm{d}x} \mathrm{d} x \cdot \mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,.\]

    Pro \(a(x)=1\), \(b(x)=-x\) tak pro dílčí integrály bude platit

    \[\int{a(x)}\mathrm{d} x=\int{1}\mathrm{d} x=x\]

    a

    \[\int b(x)\mathrm{e}^{\int{a(x)}}\mathrm{d} x=\int -x\mathrm{e}^{x}\mathrm{d} x= -x\mathrm{e}^x+\int \mathrm{e}^x\mathrm{d} x=-\mathrm{e}^x(x-1)\,,\]

    přičemž jednotlivé integrační konstanty jsou již zahrnuty ve výše uvedeném obecném vzorci.

    Po dosazení tedy pro \(u(x)\) celkově získáváme vztah

    \[u(x)= C\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^x(x-1)\mathrm{e}^{-x} = C\mathrm{e}^{-x}-x+1\,.\]

    Zpět k hledané funkci \(y(x)\) konečně přejdeme pomocí užitého substitučního vztahu

    \[y(x)= \frac{1}{\sqrt[4]{u(x)}}= \frac{1}{\sqrt[4]{C\mathrm{e}^{-x}-x+1}} \,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze