Bernoulliho rovnice
Úloha číslo: 1854
Převeďte řešení Bernoulliho rovnice \(y'-\frac{1}{4}y=\frac{1}{4}xy^5\) na řešení příslušné lineární rovnice.
Bernoulliho rovnice
Při řešení rovnic tohoto typu obvykle uvažujeme \(n >1\), neboť pro \(n=0\) získáme nehomogenní lineární rovnici, pro \(n=1\) pak homogenní lineární rovnici.
Pro \(n >1\) a \(y\ne 0\) nejprve celou rovnici vydělíme výrazem \(y^{n}\) (\(y=0\) je opět triviálním řešením) a získáme
\[\frac{y'}{y^n}+a(x)y^{1-n}=b(x)\,.\]Následným zavedením substituce
\[u(x)=y(x)^{1-n} \Rightarrow u'(x)=(1-n)y(x)^{-n}y'\]tak obdržíme nehomogenní lineární rovnici
\[\frac{u'}{1-n} +a(x)u = b(x) \,,\]jejímž řešením získáme funkci \(u(x)\) a od ní pak přejdeme zpět k hledané funkci \(y(x)\) pomocí užitého substitučního vztahu
\[y=\sqrt[(1-n)]{u} \,.\]Jinými slovy, řešení Bernoulliho rovnice převádíme v řešení lineární rovnice.
Převod na lineární rovnici
Pomocí vhodné substituce převeďte řešenou rovnici na rovnici lineární.
Řešení získané rovnice
Nalezněte řešení získané lineární rovnice. Následní pomocí zpětné substtuce dojděte ke kýženému řešení původní rovnice.
Řešení
V souladu s osvojeným postupem rovnici nejprve dělíme \(y^5\), získáme tak
\[\frac{y'}{y^5}-\frac{1}{4}\frac{1}{y^4}=\frac{1}{4}x \,.\]Následně zavedeme substituci
\[u(x)=\frac{1}{y^4} \,.\]Pro derivaci \(u'(x)\) tak bude platit
\[u'=-4\frac{y'}{y^5} \,.\]Po zavedení substituce tak řešená rovnice přejde v rovnici
\[-\frac{1}{4}u'-\frac{1}{4}u=\frac{1}{4}x\]a po vynásobení obou stran minus čtyřkou pak
\[u'+u=-x \,,\]což je skutečně jednoduchá lineární rovnice (viz úloha Lineární rovnice).
Mimořádně nyní využijeme dříve odvozeného vzorce pro řešení lineární rovnice z teoretické části úlohy Lineární rovnice
\[u(x)=C\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}+\int b(x)\mathrm{e}^{\int{a(x)}\mathrm{d}x} \mathrm{d} x \cdot \mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,.\]Pro \(a(x)=1\), \(b(x)=-x\) tak pro dílčí integrály bude platit
\[\int{a(x)}\mathrm{d} x=\int{1}\mathrm{d} x=x\]a
\[\int b(x)\mathrm{e}^{\int{a(x)}}\mathrm{d} x=\int -x\mathrm{e}^{x}\mathrm{d} x= -x\mathrm{e}^x+\int \mathrm{e}^x\mathrm{d} x=-\mathrm{e}^x(x-1)\,,\]přičemž jednotlivé integrační konstanty jsou již zahrnuty ve výše uvedeném obecném vzorci.
Po dosazení tedy pro \(u(x)\) celkově získáváme vztah
\[u(x)= C\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^x(x-1)\mathrm{e}^{-x} = C\mathrm{e}^{-x}-x+1\,.\]Zpět k hledané funkci \(y(x)\) konečně přejdeme pomocí užitého substitučního vztahu
\[y(x)= \frac{1}{\sqrt[4]{u(x)}}= \frac{1}{\sqrt[4]{C\mathrm{e}^{-x}-x+1}} \,.\]
