Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty

Úloha číslo: 1868

Nalezněte obecné řešení homogenní lineární rovnice \(y^{(7)}-y^{(5)}-2y'''=0\).

  • Homogenní rovnice s konstantními koeficienty

    Homogenní rovnice s konstantními koeficienty

    Homogenní rovnicí s konstantními koeficienty rozumíme rovnici

    \[ a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\cdots + a_0y = 0;\, a_0,a_1, \cdots, a_{n-1} \in \mathbb{R} \,.\]

    Uvažme \(y\) ve tvaru

    \[y=\mathrm{e}^{\lambda x};\, \lambda \in \mathbb{C}\,.\]

    Dosazením navrhované funkce \(y\) do řešené rovnice tak získáme

    \[\begin{align*} a_{n}\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{(n)}+a_{n-1}\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{(n-1)}+a_{n-2}\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{(n-2)}+\cdots + a_0\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right) &= 0\\ a_{n}\lambda^{n}\mathrm{e}^{\lambda x}+a_{n-1}\lambda^{n-1}\mathrm{e}^{\lambda x}+\cdots + a_1\lambda \mathrm{e}^{\lambda x}+a_0\mathrm{e}^{\lambda x} &= 0\\ \mathrm{e}^{\lambda x}\bigl(a_{n}\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots + a_1\lambda +a_0\bigr) &= 0 \,. \end{align*}\]

    Uvědomíme si, že výraz \(\mathrm{e}^{\lambda x}\) je vždy větší než nula. Aby rovnost platila, nutně tedy musí být

    \[a_{n}\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots + a_1\lambda +a_0 = 0 \,.\]

    O získané rovnici \(\sum_{k=0}^n a_k \lambda^{k} =0\) hovoříme jako o charakteristické rovnici příslušné dané diferenciální rovnice a o polynomu \(P(\lambda)=\sum_{k=0}^n a_k \lambda^{k}\) pak jako o charakteristickém polynomu této rovnice.

    Jinými slovy, je-li \(\lambda\) kořenem charakteristické rovnice, je navrhovaná funkce \(y=\mathrm{e}^{\lambda x}\) řešením příslušné homogenní rovnice.

    Řešení homogenní rovnice s konstantními koeficienty tak přechází v hledání řešení algebraické rovnice. O této problematice algebra říká, že algebraické rovnici stupně \(n\) přísluší \(n\) kořenů v oboru komplexních čísel. Přičemž některé z těchto kořenů se mohou opakovat, jinými slovy, být několikanásobné. Pro komplexní kořeny navíc platí, že se nutně vyskytují v komplexně sdružených dvojicích.

    Poznamenejme, že zkušenější počtáři během výpočtu v řešené rovnici automaticky nahrazují příslušné derivace patřičnými mocninami \(\lambda\), přičemž mají na paměti, kde tkví podstata tohoto kroku.

    Uvažme nejprve případ, kdy jsou kořeny charakteristické rovnice \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \) navzájem různá reálná čísla. Lineárně nezávislé funkce \(\mathrm{e}^{\lambda_1 x}, \mathrm{e}^{\lambda_2 x}, \cdots, \mathrm{e}^{\lambda_n x}\) pak tvoří příslušný fundamentální systém. Obecné řešení tak lze vyjádřit jako

    \[y_h= c_1\mathrm{e}^{\lambda_1 x}+c_2\mathrm{e}^{\lambda_2 x}+ \cdots + c_n\mathrm{e}^{\lambda_n x}\,.\]

    V případě, že je například \(\lambda_i = \alpha +\beta i$, $ \lambda_{j}=\alpha - \beta i \) dvojicí komplexně sdružených kořenů, vyjdeme z komplexního formalismu, kdy \(\mathrm{e}^{\alpha + \beta i } = \mathrm{e}^{\alpha}(\cos \beta x + i \sin \beta x )\) a \(\mathrm{e}^{\alpha - \beta i } = \mathrm{e}^{\alpha}(\cos \beta x - i \sin \beta x )\). Po vyjádření potřebných derivací obou funkcí a následném dosazení do příslušné homogenní rovnice zjišťujeme, že jak jejich reálná, tak jejich imaginární část řeší tuto rovnici. Jinými slovy, dvojici komplexně sdružených kořenů charakteristické rovnice \(\lambda_i = \alpha +\beta i\), \(\lambda_{j}=\alpha - \beta i\) odpovídá dvojice řešení \(\mathrm{e}^{\alpha}\cos{\beta} \), \(\mathrm{e}^{\alpha}\sin\beta\).

    Dále v případě, kdy mají některé z kořenů charakteristické rovnice násobnost \(k > 1\), je třeba tuto skutečnost zohlednit. Pro \(k\) násobné kořeny tak platí následující dvě tvrzení.

    \\

    Je-li \(\lambda\) reálným kořenem charakteristické rovnice s násobností \(k \ge 1\), pak funkce

    \(\mathrm{e}^{\lambda x}, x^1 \mathrm{e}^{\lambda x}, x^2\mathrm{e}^{\lambda x},\cdots, x^{k-1}\mathrm{e}^{\lambda x}\)

    jsou nezávislými řešeními příslušné homogenní rovnice.

    Je-li \(\lambda=\alpha \pm \beta i \) dvojice komplexně sdružených komplexních kořenů charakteristické rovnice s násobností \(k \ge 1\) (myšleno, že se tato dvojice opakuje \(k \)-krát), pak funkce

    \[\mathrm{e}^{\alpha x}\cos{\beta x}, \mathrm{e}^{\alpha x}\sin{\beta x}, x^1\mathrm{e}^{\alpha x}\cos{\beta x}, x^1\mathrm{e}^{\alpha x}\sin{\beta x}, \cdots, x^{k-1}\mathrm{e}^{\alpha x}\cos{\beta x}, x^{k-1}\mathrm{e}^{\alpha x}\sin{\beta x}\]

    řeší příslušnou homogenní rovnici.

    Obě tvrzení o vícenásobných reálných, respektive komplexních kořenech jsou ve své obdobě dokázána například v Kopacek J.: Matematická analýza nejen pro fyziky II., 2. vydání, vydavatelství MATFYZPRESS, Praha, 2007, ISBN 80-86732-10-X, str. 1 - 48.. Pro naše účely však postačí vycházet z jejich platnosti.

  • Návrh řešení

    Pomocí znalostí osvojený v rozboru úlohy navrhněte obecnou podobu možného řešení rovnice.

  • Charakteristická rovnice

    Pomocí navrhovaného řešení určete charakteristickou rovnici.

  • Obecné řešení

    Pomocí kořenů charakteristické rovnice určete podobu obecného řešení řešené homogenní rovnice.

  • Řešení

    Vzhledem ke skutečnosti, že se jedná o lineární homogenní rovnici s konstantními koeficienty, budeme její řešení hledat ve tvaru

    \[ y=\mathrm{e}^{\lambda x} \,.\]

    Po dosazení navrhovaného řešení do řešené rovnice obdržíme charakteristickou rovnici

    \[\begin{align*} \lambda^{7}-\lambda^{5}-2\lambda^{3}&=0\\ \lambda^3( \lambda^{4}-\lambda^{2}-2)&=0\\ \lambda^3( \lambda^{2}-2)(\lambda^{2}+1)&=0 \,. \end{align*}\] .

    Vidíme, že \(\lambda = 0\) je trojnásobným kořenem charakteristické rovnice, čemuž odpovídají řešení \(y_1=\mathrm{e}^{0x}, y_2= x^1\mathrm{e}^{0x}, y_3= x^2\mathrm{e}^{0x}\), nebo-li \(y_1=1\), \(y_2= x\), \(y_3= x^2\). Dalšími kořeny jsou \(\lambda = \pm \sqrt{2}\), jimž odpovídají řešení \(y_4=\mathrm{e}^{-\sqrt{2}x}\), \(y_5= \mathrm{e}^{\sqrt{2}x}\) a dvojice komplexně sdružených kořenů \(\lambda = 0 \pm 1 i \) s násobností jedna, jíž přísluší řešení \(y_6=\mathrm{e}^{0}\cos 1x\), \(y_7= \mathrm{e}^{0}\sin 1x\), nebo-li \(y_6=\cos x, y_7= \sin x \). Těchto sedm funkcí tvoří fundamentální systém řešené homogenní rovnice.

    Pro hledané obecné řešení tak bude platit

    \[y_h= c_1+c_2x+c_3x^2+c_4\mathrm{e}^{-\sqrt{2}x}+c_5\mathrm{e}^{\sqrt{2}x}+ c_6\cos x + c_7\sin x \,. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze