Homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úloha číslo: 1868
Nalezněte obecné řešení homogenní lineární rovnice \(y^{(7)}-y^{(5)}-2y'''=0\).
Homogenní rovnice s konstantními koeficienty
Homogenní rovnice s konstantními koeficienty
Homogenní rovnicí s konstantními koeficienty rozumíme rovnici
\[ a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\cdots + a_0y = 0;\, a_0,a_1, \cdots, a_{n-1} \in \mathbb{R} \,.\]Uvažme \(y\) ve tvaru
\[y=\mathrm{e}^{\lambda x};\, \lambda \in \mathbb{C}\,.\]Dosazením navrhované funkce \(y\) do řešené rovnice tak získáme
\[\begin{align*} a_{n}\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{(n)}+a_{n-1}\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{(n-1)}+a_{n-2}\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{(n-2)}+\cdots + a_0\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right) &= 0\\ a_{n}\lambda^{n}\mathrm{e}^{\lambda x}+a_{n-1}\lambda^{n-1}\mathrm{e}^{\lambda x}+\cdots + a_1\lambda \mathrm{e}^{\lambda x}+a_0\mathrm{e}^{\lambda x} &= 0\\ \mathrm{e}^{\lambda x}\bigl(a_{n}\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots + a_1\lambda +a_0\bigr) &= 0 \,. \end{align*}\]Uvědomíme si, že výraz \(\mathrm{e}^{\lambda x}\) je vždy větší než nula. Aby rovnost platila, nutně tedy musí být
\[a_{n}\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots + a_1\lambda +a_0 = 0 \,.\]O získané rovnici \(\sum_{k=0}^n a_k \lambda^{k} =0\) hovoříme jako o charakteristické rovnici příslušné dané diferenciální rovnice a o polynomu \(P(\lambda)=\sum_{k=0}^n a_k \lambda^{k}\) pak jako o charakteristickém polynomu této rovnice.
Jinými slovy, je-li \(\lambda\) kořenem charakteristické rovnice, je navrhovaná funkce \(y=\mathrm{e}^{\lambda x}\) řešením příslušné homogenní rovnice.
Řešení homogenní rovnice s konstantními koeficienty tak přechází v hledání řešení algebraické rovnice. O této problematice algebra říká, že algebraické rovnici stupně \(n\) přísluší \(n\) kořenů v oboru komplexních čísel. Přičemž některé z těchto kořenů se mohou opakovat, jinými slovy, být několikanásobné. Pro komplexní kořeny navíc platí, že se nutně vyskytují v komplexně sdružených dvojicích.
Poznamenejme, že zkušenější počtáři během výpočtu v řešené rovnici automaticky nahrazují příslušné derivace patřičnými mocninami \(\lambda\), přičemž mají na paměti, kde tkví podstata tohoto kroku.
Uvažme nejprve případ, kdy jsou kořeny charakteristické rovnice \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \) navzájem různá reálná čísla. Lineárně nezávislé funkce \(\mathrm{e}^{\lambda_1 x}, \mathrm{e}^{\lambda_2 x}, \cdots, \mathrm{e}^{\lambda_n x}\) pak tvoří příslušný fundamentální systém. Obecné řešení tak lze vyjádřit jako
\[y_h= c_1\mathrm{e}^{\lambda_1 x}+c_2\mathrm{e}^{\lambda_2 x}+ \cdots + c_n\mathrm{e}^{\lambda_n x}\,.\]V případě, že je například \(\lambda_i = \alpha +\beta i$, $ \lambda_{j}=\alpha - \beta i \) dvojicí komplexně sdružených kořenů, vyjdeme z komplexního formalismu, kdy \(\mathrm{e}^{\alpha + \beta i } = \mathrm{e}^{\alpha}(\cos \beta x + i \sin \beta x )\) a \(\mathrm{e}^{\alpha - \beta i } = \mathrm{e}^{\alpha}(\cos \beta x - i \sin \beta x )\). Po vyjádření potřebných derivací obou funkcí a následném dosazení do příslušné homogenní rovnice zjišťujeme, že jak jejich reálná, tak jejich imaginární část řeší tuto rovnici. Jinými slovy, dvojici komplexně sdružených kořenů charakteristické rovnice \(\lambda_i = \alpha +\beta i\), \(\lambda_{j}=\alpha - \beta i\) odpovídá dvojice řešení \(\mathrm{e}^{\alpha}\cos{\beta} \), \(\mathrm{e}^{\alpha}\sin\beta\).
Dále v případě, kdy mají některé z kořenů charakteristické rovnice násobnost \(k > 1\), je třeba tuto skutečnost zohlednit. Pro \(k\) násobné kořeny tak platí následující dvě tvrzení.
\\Je-li \(\lambda\) reálným kořenem charakteristické rovnice s násobností \(k \ge 1\), pak funkce
\(\mathrm{e}^{\lambda x}, x^1 \mathrm{e}^{\lambda x}, x^2\mathrm{e}^{\lambda x},\cdots, x^{k-1}\mathrm{e}^{\lambda x}\)jsou nezávislými řešeními příslušné homogenní rovnice.
Je-li \(\lambda=\alpha \pm \beta i \) dvojice komplexně sdružených komplexních kořenů charakteristické rovnice s násobností \(k \ge 1\) (myšleno, že se tato dvojice opakuje \(k \)-krát), pak funkce
\[\mathrm{e}^{\alpha x}\cos{\beta x}, \mathrm{e}^{\alpha x}\sin{\beta x}, x^1\mathrm{e}^{\alpha x}\cos{\beta x}, x^1\mathrm{e}^{\alpha x}\sin{\beta x}, \cdots, x^{k-1}\mathrm{e}^{\alpha x}\cos{\beta x}, x^{k-1}\mathrm{e}^{\alpha x}\sin{\beta x}\]řeší příslušnou homogenní rovnici.
Obě tvrzení o vícenásobných reálných, respektive komplexních kořenech jsou ve své obdobě dokázána například v Kopacek J.: Matematická analýza nejen pro fyziky II., 2. vydání, vydavatelství MATFYZPRESS, Praha, 2007, ISBN 80-86732-10-X, str. 1 - 48.. Pro naše účely však postačí vycházet z jejich platnosti.
Návrh řešení
Pomocí znalostí osvojený v rozboru úlohy navrhněte obecnou podobu možného řešení rovnice.
Charakteristická rovnice
Pomocí navrhovaného řešení určete charakteristickou rovnici.
Obecné řešení
Pomocí kořenů charakteristické rovnice určete podobu obecného řešení řešené homogenní rovnice.
Řešení
Vzhledem ke skutečnosti, že se jedná o lineární homogenní rovnici s konstantními koeficienty, budeme její řešení hledat ve tvaru
\[ y=\mathrm{e}^{\lambda x} \,.\]Po dosazení navrhovaného řešení do řešené rovnice obdržíme charakteristickou rovnici
\[\begin{align*} \lambda^{7}-\lambda^{5}-2\lambda^{3}&=0\\ \lambda^3( \lambda^{4}-\lambda^{2}-2)&=0\\ \lambda^3( \lambda^{2}-2)(\lambda^{2}+1)&=0 \,. \end{align*}\] .Vidíme, že \(\lambda = 0\) je trojnásobným kořenem charakteristické rovnice, čemuž odpovídají řešení \(y_1=\mathrm{e}^{0x}, y_2= x^1\mathrm{e}^{0x}, y_3= x^2\mathrm{e}^{0x}\), nebo-li \(y_1=1\), \(y_2= x\), \(y_3= x^2\). Dalšími kořeny jsou \(\lambda = \pm \sqrt{2}\), jimž odpovídají řešení \(y_4=\mathrm{e}^{-\sqrt{2}x}\), \(y_5= \mathrm{e}^{\sqrt{2}x}\) a dvojice komplexně sdružených kořenů \(\lambda = 0 \pm 1 i \) s násobností jedna, jíž přísluší řešení \(y_6=\mathrm{e}^{0}\cos 1x\), \(y_7= \mathrm{e}^{0}\sin 1x\), nebo-li \(y_6=\cos x, y_7= \sin x \). Těchto sedm funkcí tvoří fundamentální systém řešené homogenní rovnice.
Pro hledané obecné řešení tak bude platit
\[y_h= c_1+c_2x+c_3x^2+c_4\mathrm{e}^{-\sqrt{2}x}+c_5\mathrm{e}^{\sqrt{2}x}+ c_6\cos x + c_7\sin x \,. \]
