Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita racionální posloupnosti a použití binomické věty II

Úloha číslo: 812

Určete následující limitu

\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{(n+4)^{100}-(n+3)^{100}}{(n+2)^{100}-n^{100}}.\]
  • Nápověda

    Pomocí binomické věty určete nejvyšší mocninu u n ve výrazech v čitateli i jmenovateli.

    Krátké povídání o binomické větě najdete u úlohy Limita racionální posloupnosti a použití binomické věty.

  • Řešení

    Určuejme limitu

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{(n+4)^{100}-(n+3)^{100}}{(n+2)^{100}-n^{100}}.\]

    Pomocí binomické věty dostáváme, že

    \[(n+4)^{100}-(n+3)^{100} = n^{100} + 400n^{99}+V(n)-\] \[-\left(n^{100}+300n^{99}+W(n)\right) = 100n^{99} + V(n)-W(n),\]

    kde V(n)–W(n) je polynom nejvýše stupně 98.

    Podobně pomocí binomické věty máme, že

    \[(n+2)^{100}-n^{100} = n^{100} + 200n^{99}+Z(n)-n^{100} = 200n^{99} + Z(n),\]

    kde Z(n) je opět polynom nejvýše stupně 98. Platí tedy

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{(n+4)^{100}-(n+3)^{100}}{(n+2)^{100}-n^{100}} =\] \[= \lim_{\small n\to\infty} \frac{100n^{99}+V(n)-W(n)}{200n^{99}+Z(n)} = \frac{100}{200} = \frac{1}{2},\]

    kde pro výpočet limity jsme využili tvrzení úlohy Limita obecné racionální posloupnosti, podle něhož limita racionální posloupnosti je v případě rovnosti stupňů polynomů v čitateli a jmenovateli určena podílem koeficientů u nejvyššího stupně.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze