Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita racionální posloupnosti a použití binomické věty II
Úloha číslo: 812
Určete následující limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{(n+4)^{100}-(n+3)^{100}}{(n+2)^{100}-n^{100}}.\]Nápověda
Pomocí binomické věty určete nejvyšší mocninu u n ve výrazech v čitateli i jmenovateli.
Krátké povídání o binomické větě najdete u úlohy Limita racionální posloupnosti a použití binomické věty.
Řešení
Určuejme limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{(n+4)^{100}-(n+3)^{100}}{(n+2)^{100}-n^{100}}.\]Pomocí binomické věty dostáváme, že
\[(n+4)^{100}-(n+3)^{100} = n^{100} + 400n^{99}+V(n)-\] \[-\left(n^{100}+300n^{99}+W(n)\right) = 100n^{99} + V(n)-W(n),\]kde V(n)–W(n) je polynom nejvýše stupně 98.
Podobně pomocí binomické věty máme, že
\[(n+2)^{100}-n^{100} = n^{100} + 200n^{99}+Z(n)-n^{100} = 200n^{99} + Z(n),\]kde Z(n) je opět polynom nejvýše stupně 98. Platí tedy
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{(n+4)^{100}-(n+3)^{100}}{(n+2)^{100}-n^{100}} =\] \[= \lim_{\small n\to\infty} \frac{100n^{99}+V(n)-W(n)}{200n^{99}+Z(n)} = \frac{100}{200} = \frac{1}{2},\]kde pro výpočet limity jsme využili tvrzení úlohy Limita obecné racionální posloupnosti, podle něhož limita racionální posloupnosti je v případě rovnosti stupňů polynomů v čitateli a jmenovateli určena podílem koeficientů u nejvyššího stupně.
