Limita racionální posloupnosti s parametrem II
Úloha číslo: 820
Určete následující limitu v závislosti na hodnotě reálného parametru α
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(n+2)^2-(n+1)^2}{(n+1)^{2\alpha}+n}.\]Nápověda
Nejprve upravte čitatel umocněním do tvaru mnohočlenu.
Poté si uvědomte, jaká je nejvyšší mocnina při n ve jmenovateli v závislosti na hodnotě parametru α.
Řešení
Určujeme limitu v závislosti na hodnotě reálného parametru α
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(n+2)^2-(n+1)^2}{(n+1)^{2\alpha}+n}.\]Můžeme ji upravit na tvar
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(n^2+4n+4)-(n^2+2n+1)}{(n+1)^{2\alpha}+n} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2n+3}{(n+1)^{2\alpha}+n}.\]Nyní si uvědomme, že pokud 2α < 0, potom nejvyšší mocnina ve jmenovateli je rovna jedné, a tudíž
\[ \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2n+3}{(n+1)^{2\alpha}+n} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n}{n} \cdot \frac{2+3/n}{(\frac{1}{n+1})^{-2\alpha}\cdot\frac{1}{n}+1} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2+3/n}{(\frac{1}{n+1})^{-2\alpha}\cdot\frac{1}{n}+1} = \]a podle věty o aritmetice limit a části (b) úlohy Limita pod odmocninou II ve smyslu tamtéž uvedené poznámky máme
\[ = \frac{2+0}{0^{-2\alpha}\cdot 0+1} = 2.\]Pokud předpokládáme, že 0 < 2α < 1, potom nejvyšší mocnina ve jmenovateli je opět rovna jedné, a tudíž
\[ \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2n+3}{(n+1)^{2\alpha}+n} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n}{n} \cdot \frac{2+3/n}{(n+1)^{2\alpha}/n+1} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2+3/n}{(\frac{n+1}{n^{1/2\alpha}})^{2\alpha}+1} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2+3/n}{(\frac{1}{n^{1/2\alpha-1}}+\frac{1}{n^{2\alpha}})^{2\alpha}+1} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2+3/n}{(\frac{1}{n^{(1-2\alpha)/2\alpha}}+\frac{1}{n^{2\alpha}})^{2\alpha}+1} = \]a podle věty o aritmetice limit dostáváme, že
\[ = \frac{2+\lim\limits_{\small n\to\infty} 3/n}{\lim\limits_{\small n\to\infty} (\frac{1}{n^{(1-2\alpha)/2\alpha}}+\frac{1}{n^{2\alpha}})^{2\alpha}+\lim\limits_{\small n\to\infty} 1} = \] \[ = \frac{2+0}{0+1} = 2.\]Podrobnější komentář si jistě zaslouží výpočet první limity ve jmenovateli
\[\lim\limits_{\small n\to\infty} \left(\frac{1}{n^{(1-2\alpha)/2\alpha}}+\frac{1}{n^{2\alpha}}\right)^{2\alpha} = 0.\]Protože 0 < 2α < 1, jsou všechna čísla v závorce kladná, a tudíž podle úlohy Limita pod odmocninou II, část (b) ve smyslu poznámky níže, stačí ukázat, že limita vnitřku závorky je nulová, tedy že
\[\lim\limits_{\small n\to\infty} \left(\frac{1}{n^{(1-2\alpha)/2\alpha}}+\frac{1}{n^{2\alpha}}\right) = 0.\]To ale plyne z věty o aritmetice limit a části (a) úlohy Základní limity posloupností II.
Pokud předpokládáme, že 2α = 1, potom je situace velmi jednoduchá.
\[ \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2n+3}{(n+1)^{2\alpha}+n} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2n+3}{(n+1)+n} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2n+3}{2n+1} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2+3/n}{2+1/n} = \frac{2+0}{2+0} = 1.\]Zbývá poslední případ, totiž když je 2α > 1. Potom lze limitu upravit na tvar
\[ \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2n+3}{(n+1)^{2\alpha}+n} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n}{n^{2\alpha}} \cdot \frac{2+3/n}{(1+1/n)^{2\alpha}+1/n^{2\alpha-1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{n^{2\alpha-1}} \cdot \frac{2+3/n}{(1+1/n)^{2\alpha}+1/n^{2\alpha-1}} = \] \[ = 0\cdot \frac{2+0}{(1+0)^{2\alpha}+0} = 0,\]kde jsme použili větu o aritmetice limit, část (a) úlohy Základní limity posloupností II a část (b) úlohy Limita pod odmocninou II.
