Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti - růstová škála I
Úloha číslo: 871
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{3^n+n^5+(n+1)!}{n(n^6+n!)}.\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{3^n+n^5+(n+1)!}{n(n^6+n!)}.\]Vytknutím a úpravou převedeme limitu na tvar
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(n+1)!}{n\cdot n!} \cdot \frac{\frac{3^n}{(n+1)!}+\frac{n^5}{(n+1)!}+1}{\frac{n^5}{n!}+1} = \] \[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n+1}{n} \cdot \frac{\frac{3^n}{(n+1)!}+\frac{n^5}{(n+1)!}+1}{\frac{n^5}{n!}+1} = \]a níže ukážeme, že
\[ = 1\cdot \frac{0+0+1}{0+1} = 1.\]Limita prvního zlomku je zřejmá. Ve druhém zlomku pak platí postupně podle věty o aritmetice limit a úlohy Limita posloupnosti - růstová škála, že
\[\lim\ \frac{3^n}{(n+1)!} = \lim\ \frac{3^n}{n!}\cdot\frac{1}{n+1} = 0\cdot\frac{1}{+\infty} = 0{\cdot} 0 = 0,\] \[\lim\ \frac{n^5}{(n+1)!} = \lim\ \frac{n^5}{n!}\cdot\frac{1}{n+1} = 0\cdot\frac{1}{+\infty} = 0{\cdot} 0 = 0,\] \[\lim\ \frac{n^5}{n!} = 0.\]
