Sbírka řešených úloh

Integrace lomené racionální funkce VI.

Úloha číslo: 1491

• Motivace

  Před sebou máme typického zástupce z řad integrálů lomených racionálních funkcí. Jak k těmto integrálůmm přistupovat? Existuje nějaký osvědčený početní postup?

  Odpověď je na snadě a osvědčený početní postup naservírovaný přímo na pomysleném zlatém podnosu.

  Postup

  Integrujeme-li výraz \(\frac{P_s(x)}{Q_r(x)}\), kde \(P_s(x), Q_r(x)\) jsou polynomi stupně \(s,r\) nad reálnými čísly, osvědčil se následující postup

  1. Pro stupně polynomů musí platit \(r>s\)(přijatelná je i rovnost mezi stupni), pokud toto neplatí, pak výraz za pomoci dělení polynomů nebo jiného postupu převádíme do požadovaného tvaru.

     Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly

     Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I.

     Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II.

     Výsledek dost často bývá ve tvaru polynom plus zbytek po dělení polynomi (lomená racionální funkce splňující výše uvedenou podmínku pro stupně jednotlivých polynomů v čitateli a jmenovateli).

  2. Případným dělením vzniklý nebo, případně, původní výraz rozkládáme na parciální zlomky.

     Rozklad na parciální zlomky I.

     Rozklad na parciální zlomky II.

     Rozklad na parciální zlomky III.

     Rozklad na parciální zlomky IV.

     Pozor na ireducibilní polynomy! Pokud je nepoznáme na první pohled, pomůžeme si diskriminantem.

  3. Dílčí, rozkladem na parciální zlomky vzniklé, lomené racionální funkce v souladu s pravidly pro integrování integrujeme.

     Integrace lomené racionální funkce I.

     Integrace lomené racionální funkce II.

     Integrace lomené racionální funkce III.

     Integrace lomené racionální funkce IV.

     Zde často užívámme vhodné substituce, příležitostně i metody integrace Per Partes.

     Substituce

     Per partes

• Dělení polynomů

  V souladu s motivačním textem úlohy upravte výraz do požadovaného tvaru.

• Dělení polynomů - řešení

  Jelikož je stupeň polynomu ve jmenovateli zlomku 2 a stupeň polynomu v čitateli 0, je zjevně požadovaná podmínka pro stupně splněna, neboť platí

  \[2>0\]

  Krok s dělením tedy pro tento případ přeskakujeme.

• Rozklad na parciální zlomky

  Lomený výraz rozložíme na parciální zlomky (viz motivace úlohy).

• Rozklad na parciální zlomky - řešení

  V tomto případě využijeme vzorec \(A^2-2AB+B^2=(A-B)^2\).

  Polynom ve jmenovateli tedy můžeme rozložit jako

  \[1-2x+x^2=(1-x)^2=(1-x)(1-x)\]

  Za pomoci dříve provedeného rozklad výrazu ve jmenovateli zlomku vyjádříme obecný rozklad na parciální zlomky zadaného výrazu jako

  \[\frac{2-x}{1-2x+x^2}=\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}\] \[\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{(1-x)^2}\]

  Takto získaný rozklad nejprve upravíme přenásobením obou stran rovnosti výrazem \((1-x)(1-x)\)

  \[\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{(1-x)^2}\]

  získáme tak

  \[2-x=A(1-x)+B\]

  závorky roznásobíme

  \[2-x=A-Ax+B\]

  a rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů

  (dva polynomi se sobě rovnají, rovnají-li se sobe navzájem si korespondující koeficienty)

  \[2-x=(-A)x+(A+B)\] \[\color{red}{-1}x+\color{blue}{2}x^0=\color{red}{(-A)}x+\color{blue}{(A+B)}x^0\]

  Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila, musí platit následující dvě podmínky

  \[-1=-A\] \[2=A+B\]

  Vzhledem k tomu, že se jedná o soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, můžeme řešení nalézt například substituční metodou.

  Touto cestou získáme následující řešení

  \[A=1\] \[2=1+B\] \[B=1\]

  a s tím spojený rozklad

  \[\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(1-x)^2}\]

  Kompletní postup s nápovědami obsahuje úloha Rozklad na parciální zlomky II.

• Integrace

  Za pomoci získaného rozkladu na parciální zlomky řešený integrál rozepište na soušet jednodušších integrálů. Následným vhodným užitím substituční metody dílčí integrály řešte.

• Integrace - řešení

  za užití získaného rozkladu na parciální zlomky

  \[\int\frac{2-x}{(1-x)^2}dx=\int\frac{1}{1-x}dx+\int\frac{1}{(1-x)^2}dx=\]

  První integrovaný výraz připomíná \(\frac{1}{w}\), proto v případě prvního výrazu substituujeme \(y=1-x\). Druhý výraz pak po téže substituci připomíná výraz \(\frac{1}{a^2}\).

  Jelikož je \(y\) funkce proměnné \(x\) bude jí příslušná derivace dle proměnné \(x\) vypadat následovně

  \[-dy=dx\implies dx=-dy\]

  Získané údaje dosadíme do příslušných integrálů, čímž získáme

  \[I=-\int\frac{1}{y}dy-\int\frac{1}{y^2}dy=\]

  následnou integrací pak

  \[=-\ln{|y|}+\frac{1}{y}+c\]

  po zpětné substituci pak obdržíme

  \[=-\ln{|1-x|}+\frac{1}{1-x}+c\]

• Řešení

  Jelikož je stupeň polynomu ve jmenovateli zlomku 2 a stupeň polynomu v čitateli 0, je zjevně požadovaná podmínka pro stupně splněna, neboť platí

  \[2>0\]

  Krok s dělením tedy pro tento případ přeskakujeme.

  V tomto případě využijeme vzorec \(A^2-2AB+B^2=(A-B)^2\).

  Polynom ve jmenovateli tedy můžeme rozložit jako

  \[1-2x+x^2=(1-x)^2=(1-x)(1-x)\]

  Za pomoci dříve provedeného rozklad výrazu ve jmenovateli zlomku vyjádříme obecný rozklad na parciální zlomky zadaného výrazu jako

  \[\frac{2-x}{1-2x+x^2}=\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}\] \[\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{(1-x)^2}\]

  Takto získaný rozklad nejprve upravíme přenásobením obou stran rovnosti výrazem \((1-x)(1-x)\)

  \[\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{(1-x)^2}\]

  získáme tak

  \[2-x=A(1-x)+B\]

  závorky roznásobíme

  \[2-x=A-Ax+B\]

  a rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů

  (dva polynomi se sobě rovnají, rovnají-li se sobe navzájem si korespondující koeficienty)

  \[2-x=(-A)x+(A+B)\] \[\color{red}{-1}x+\color{blue}{2}x^0=\color{red}{(-A)}x+\color{blue}{(A+B)}x^0\]

  Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila, musí platit následující dvě podmínky

  \[-1=-A\] \[2=A+B\]

  Vzhledem k tomu, že se jedná o soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, můžeme řešení nalézt například substituční metodou.

  Touto cestou získáme následující řešení

  \[A=1\] \[2=1+B\] \[B=1\]

  a s tím spojený rozklad

  \[\frac{2-x}{(1-x)(1-x)}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(1-x)^2}\]

  Kompletní postup s nápovědami obsahuje úloha Rozklad na parciální zlomky II.

  Za užití získaného rozkladu na parciální zlomky

  \[\int\frac{2-x}{(1-x)^2}dx=\int\frac{1}{1-x}dx+\int\frac{1}{(1-x)^2}dx=\]

  První integrovaný výraz připomíná \(\frac{1}{w}\), proto v případě prvního výrazu substituujeme \(y=1-x\). Druhý výraz pak po téže substituci připomíná výraz \(\frac{1}{a^2}\).

  Jelikož je \(y\) funkce proměnné \(x\) bude jí příslušná derivace dle proměnné \(x\) vypadat následovně

  \[-dy=dx\implies dx=-dy\]

  Získané údaje dosadíme do příslušných integrálů, čímž získáme

  \[I=-\int\frac{1}{y}dy-\int\frac{1}{y^2}dy=\]

  následnou integrací pak

  \[=-\ln{|y|}+\frac{1}{y}+c\]

  po zpětné substituci pak obdržíme

  \[I=-\ln{|1-x|}+\frac{1}{1-x}+c\]

• Výsledek

  \[I=-\ln{|1-x|}+\frac{1}{1-x}+c\]

• Další úloha v sérii

  Integrace lomené racionální funkce VII.