Separace proměnných
Úloha číslo: 1848
Motivace aneb úvodní slovo k rovnici se separovanými proměnnými
Rovnice typu \(y'=f(x)g(y)\) a separace proměnných
Výraz \(f(x)g(y)\) v sobě skrývá skutečnost, že jsme schopni pravou stranu rovnice rozložit na součin funkce \(f(x)\), závislé pouze na proměnné \(x\) s funkcí \(g(y)\), závislé na \(y\).
Například \(x^2-x^2\cos {y}\) snadno přepíšeme na \(x^2(1-\cos {y})\), pak \(f(x)=x^2\) a \(g(y)= 1-\cos {y}\). Naproti tomu ve výrazu \(x^{y-3x}-y\) bychom rozklad na součin \(f(x)g(y)\) hledali jen velmi těžko.
Vraťme se ale zpět k rovnici \(y'=f(x)g(y)\). Dělením \(g(y)\) ji rozdělíme na stranu proměnné \(x\) a na stranu proměnné \(y\).
\[\frac{y'}{g(y)}=f(x)\,,\]což lze udělat, jestliže \(g(y)\ne 0\). (V případě, kdy \(g(y)=0\) patrně řešíme rovnici \(y'(x)=0\), jejímž řešením je konstantní funkce vyhovující podmínce \(g(y)=0\).)
Lze-li dále rovnici integrovat, získáme
\[\int \frac{\mathrm{d} y}{g(y)}=\int f(x)\mathrm{d} x \,,\]a tedy
\[G\bigl(y(x)\bigr) = F(x)+C\,.\]Přičemž \(G(y)\) rozumíme primitivní funkci k \(\frac{1}{g(y)}\), \(F(x)\) primitivní funkci k \(f(x)\) a \(C\) integrační konstantou.
Hledanou funkci \(y(x)\) konečně vyjádříme pomocí inverzní funkce
\[y(x)= G^{-1}\bigl(F(x)+C\bigr) \,.\]Lze-li rovnici integrovat však vyžaduje hlubší zdůvodnění než pouhé připsání neurčitých integrálů. Uvědomme si, že \(y\) je funkce proměnné \(x\), nebo-li \(y=y(x)\). Řešená rovnice \(\frac{y'}{g(y)}=f(x)\) tak má ve skutečnosti podobu
\[\frac{y'(x)}{g\bigl(y(x)\bigr)}= f(x) \,.\]Jestliže se ale levá strana rovná pravé a pravou lze integrovat, můžeme dle proměnné \(x\) integrovat i stranu levou, neboli
\[\int\frac{y'(x)}{g\bigl(y(x)\bigr)}\mathrm{d} x =\int f(x)\mathrm{d} x\,.\]Využijeme-li substituci \(y=y(x)\), kde \( \mathrm{d} y=y'(x)\mathrm{d} x \), celkově získáme
\[\int\frac{\mathrm{d} y}{g(y)} =\int f(x)\mathrm{d} x\,.\]Separace
Zadanou rovnici nejprve separujeme na stranu proměnné \(x\) a stranu proměnné \(y\).
Integrace
Lze-li, pak pomocí integrace určete řešení získané diferenciální rovnice.
Řešení
Protože \(1+y^2 \ne 0\) pro všechna \(x\in \mathbb{R}\), rovnici uvedeme do požadovaného tvaru vydělením obou stran rovnice výrazem \(1+y^2\), neboli
\[\begin{align*} y' &= x^2(1+y^2) \\ \frac{y'}{1+y^2} &= x^2 \,. \end{align*}\]Funkce \(f(x)=x^2\) a \(g(y)= 1+y^2\) jsou spojité na \(\mathbb{R}\). Funkce \(g(y)\) je dále na \(\mathbb{R}\) nenulová. Můžeme proto přikročit k integraci
\[\int \frac{\mathrm{d} y}{1+y^2}= \int x^2 \mathrm{d} x \,.\]Obě strany rovnice obsahují tabulkové integrály, jejichž řešením obdržíme
\[\mathrm{arctg}\,{y}= \frac{x^3}{3} + C \,.\]Hledanou funkci \(y(x)\) nakonec získáme pomocí funkce inverzní jako
\[y(x)= \mathrm{tg}\,{\left( \frac{x^3}{3} + C\right)} \,.\]
