Sbírka řešených úloh

Přirozená čísla a jejich vlastnosti

Úloha číslo: 1680

• Řešení — uzavřenost vzhledem k operacím

  Vlastnosti 1., 3. a 5. platí obecně.

  Vlastnosti 2. a 4. neplatí obecně.

  Rozdíl dvou přirozených čísel je přirozeným číslem pouze tehdy, pokud menšitel je (ostře) menší než menšenec.

  Podíl dvou přirozených čísel je přirozeným číslem pouze tehdy, pokud dělenec je přirozeným násobkem dělitele.

• Řešení — Asociativita

  Vlastnosti 6. a 7. platí obecně.

  Ostatní obecně neplatí. Stačí vždy volit například a = 2, b = 3 a c = 4.

  Pro části 8-10 nyní najdeme co nejobecnější dodatečnou podmínku, kdy rovnost platí.

  V části 8 získáme ekvivalentními úpravami rovnice

  \[ \begin{eqnarray} a-(b-c) &=& (a-b)-c \\ a-b+c &=& a-b-c \\ 2c &=& 0 \\ c &=& 0. \end{eqnarray} \]

  Rovnost v části 8 platí tedy pouze tehdy, pokud c = 0.

  V části 9 obdobně získáme

  \[ \begin{eqnarray} a : (b : c) &=& (a : b) : c \\ \frac{a}{\frac{b}{c}} &=& \frac{\frac{a}{b}}{c} \\ \frac{a}{1}\cdot\frac{c}{b} &=& \frac{a}{b}\cdot\frac{1}{c} \\ \frac{ac}{b} &=& \frac{ab}{c} \\ \frac{c}{b} &=& \frac{b}{c} \\ c^2 &=& b^2. \end{eqnarray} \]

  V oboru čísel reálných by poslední rovnost byla splněna, pokud

  \[c = \pm b.\]

  Protože jsme však v oboru čísel přirozených, je tato rovnost splněna pouze tehdy, pokud

  \[c = b.\]

  Rovnost v části 9 platí tedy pouze tehdy, pokud c = b.

  V části 10 si uvědomme, že

  \[(a^b)^c = a^{(b\cdot c)}\]

  a že rovnost mocnin se stejným základem nastává pouze při rovnosti mocnitelů. To vede na podmínky

  \[b^c = b\cdot c\] \[b^{c-1} = c\]

  V oboru přirozených čísel lze tuto rovnici řešit dále.

  Nejprve si uvědomme, že pro c = 1 je řešením každé číslo b.

  Pokud je c > 1, pak si uvědomme, že

  \[\frac{b\cdot b \cdot \ldots \cdot b}{c} = 1,\]

  kde v čitateli je přítomen alespoň jeden činitel, a tudíž c musí dělit b. Tedy existuje přirozené číslo k tak, že b = kc. Pak ale po dosazení máme

  \[\frac{kc\cdot kc \cdot \ldots \cdot kc}{c} = 1,\] \[k\cdot kc \cdot \ldots \cdot kc = 1,\]

  což je v přirozených číslech možno pouze tehdy, pokud všichni činitelé jsou rovni jedné. Tedy nutně k = 1 a c = 2 (neboť v tomto případě zůstane v předchozím součinu pouze první činitel, jinak by též muselo být c = 1, což není v této větvi řešení možné).

  Pak ale b = kc = 2. Dosazením do vztahu

  \[b^{c-1} = c\]

  vidíme, že

  \[2^{2-1} = 2,\]

  tedy rovnost platí.

  Vidíme tedy, že rovnost 10 platí v oboru přirozených čísel, právě když a volíme libovolně a je splněna alespoň jedna ze dvou následujících možností: b je libovolné přirozené číslo a c = 1 nebo b = c = 2.

• Řešení — Komutativnost

  Vlastnosti 11 a 12 platí obecně, ostatní nikoliv. Jako protipříklad lze vždy použít např. a = 1 a b = 2.

  Ekvivalentními úpravami rovnice jednoduše určíme, že vlastnost 13 platí pouze pro a = b.

  Podobně ekvivalentními úpravami rovnice jednoduše určíme, že vlastnost 14 platí pouze pro a² = b², což v oboru přirozených čísel platí pouze tehdy, je-li a = b.

  Najděme tedy co nejobecnější dodatečnou podmínku, kdy v oboru přirozených čísel platí vztah uvedený v bodě 15

  \[a^b = b^a.\]

  Všimněme si nejprve, že vztah platí, pokud a = b.

  Bez újmy na obecnosti tedy předpokládejme, že a > b, jinak bychom (vzhledem k symetrii vztahu) následné úvahy provedli stejně, pouze zaměnili roli obou písmen.

  Dělením levou stranou získáme vztah

  \[1 = \frac{b\cdot b\cdot\ldots\cdot b}{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a},\]

  kde v čitateli je celkem a členů a ve jmenovateli celkem b členů. Díky podmínce a > b jej můžeme psát ve tvaru

  \[1 = \underbrace{\frac{b}{a}\cdot \ldots \cdot \frac{b}{a}}_{b\ krát} \cdot \underbrace{\frac{1}{a} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{a}}_{(a-b)\ krát}.\]

  Uvědomme si opět, že předpokládáme, že a > b. Protože b je přirozené číslo, je nutně a > 1. Z toho plyne, že všechny členy v druhém bloku činitelů jsou (ostře) menší než jedna, a tudíž všechny členy v prvním bloku musí být (ostře) větší než 1. Z toho však plyne, že

  \[\frac{b}{a} > 1 \ \implies \ b > a,\]

  což je spor. Je-li tedy a > b, neexistuje v oboru přirozených čísel řešení rovnice

  \[a^b = b^a.\]

  Z výše zmíněné symetrie vztahu pak plyne, že tato rovnost platí v oboru přirozených čísel, právě když a = b.

• Řešení — Distributivnost

  Vlastnost 16 platí obecně, vlastnost 17 nikoliv, jak se lze přesvědčit například volbou a = b = c = 1.

  Pokud upravíme rovnici v bodě 17, získáme

  \[ \begin{eqnarray} \frac{a}{b\pm c} &=& \frac{a}{b}\pm\frac{a}{c} \\ \frac{a}{b\pm c} &=& \frac{ac\pm ab}{bc} \\ abc &=& (ac\pm ab)(b\pm c) \\ abc &=& abc\pm ab^2\pm ac^2+abc \\ 0 &=& abc\pm a(b^2+c^2) \\ 0 &=& bc\pm (b^2+c^2) \\ \end{eqnarray} \]

  (uvědomme si, že v oboru přirozených čísel lze v rovnici krátit, aniž bychom eventuelně pominuli nějaké její řešení).

  Pokud bylo původním, a tedy současným znaménkem v rovnici znaménko +, uvědomme si, že sčítáme kladná čísla, a rovnice tedy nemá žádné řešení.

  Pokud bylo původním, a tedy současným znaménkem v rovnici znaménko –, upravme rovnici na tvar

  \[b^2+c^2 - bc = 0.\]

  Nyní použijeme trik — levou stranu doplníme na čtverec. Platí totiž

  \[\frac{1}{2}(b-c)^2 = \frac{1}{2}\left(b^2 - 2bc +c^2\right) = \frac{1}{2}b^2 - bc +\frac{1}{2}c^2.\]

  Rovnici tedy můžeme dále upravit na tvar

  \[ \begin{eqnarray} b^2+c^2 - bc &=& 0 \\ \frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}c^2 - bc + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 &=& 0 \\ \frac{1}{2}(b-c)^2 + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 &=& 0. \\ \end{eqnarray} \]

  Nyní si opět uvědomme, že na levé straně sčítáme nezáporné a dvě kladná čísla. Rovnice tedy opět v oboru přirozených čísel nemá řešení.

• Řešení — Existence nulového prvku a jednotky

  V přirozených číslech nulový prvek neexistuje (nula není součástí přirozených čísel). Jednotkovým prvkem je číslo 1.

• Řešení — Uspořádní

  Vlastnosti 20, 21 a 23 — reflexivita, tranzitivita a slabá antisymetrie — platí obecně.

  Naopak uspořádání na přirozených číslech zjevně nemá vlastnost 22 (symetrie). Jak říká vlastnost 23 (slabá antisymetrie), pokud a ≤ b, pak opačná nerovnost b ≤ a platí jen tehdy, pokud a = b.

• Řešení — vztah uspořádání a operací

  Všechny vlastnosti 24-29 platí obecně (ovšem samozřejmě s přihlédnutím k tomu, že operace v bodech 25 a 27 nejsou uzavřené vzhledem k oboru přirozených čísel).

• Řešení — Existence infima a nejmenšího prvku

  V přirozených číslech platí obecně tvrzení bodu 32. To jest, že libovolná podmnožina přirozených čísel obsahuje nejmenší prvek. Z toho ihned vyplývá, že platí také tvrzení 30, 31 a 33, neboť buď posuzujeme užší třídu množin (pouze omezené) či si neklademe navíc omezující podmínku, že prvek hledáme přímo v množině M (nebo obojí). Existuje-li pak v množině M přirozené číslo m_min menší než ostatní prvky množiny M, pak žádné vyšší přirozené číslo než toto takovou vlastnost mít nemůže — bylo by totiž větší než m_min.

  Ačkoliv to úloha nepožaduje, předložíme zde důkaz tvrzení bodu 32.

  Množina M je neprázdná, obsahuje tedy nejméně jedno (přirozené) číslo.

  Vyberme tedy náhodně jedno z těchto čísel, označme jej m₁. Jestliže toto náhodně vybrané číslo není nejmenší v M, pak to znamená, že v M nalezneme číslo m₂ < m₁.

  Jestliže ani číslo m₂ není nejmenší v M, pak to znamená, že v M nalezneme číslo m₃ < m₂.

  A takto můžeme pokračovat dále. Uvědomme si však, že tato posloupnost kroků se nejpozději po m₁ krocích zastaví. V každém kroku totiž najdeme číslo nejméně o jednotku menší. Po více než m₁ – 1 krocích by tedy nalezené číslo bylo (ostře) menší než \(m_1 \underbrace{- 1 - 1 - \cdots - 1}_{m_1-1\,krát} = m_1 - (m_1-1) = 1\), což není možné.

• Řešení — Existence suprema a největšího prvku

  Tvrzení o existenci suprema (34) a nejvyššího prvku (36) pro libovolné podmnožiny přirozených čísel neplatí.

  Společným protipříkladem může být sama množina přirozených čísel. Vezmeme-li její libovolný prvek n, nemůže být supremem ani nejvyšším prvkem (tj. mít vlastnost tvrzení 34 nebo 36), protože například jeho následník n + 1 je vyšším přirozeným číslem.

  Obě tvrzení pak zřejmě neplatí ani pro množiny, které nejsou omezené (shora). V obou tvrzeních totiž požadujeme existenci přirozeného čísla většího než všechny prvky množiny M, což odpovídá definici omezenosti množiny M shora.

  Pro (shora) omezené množiny pak obě tvrzení (35 a 37) platí. Vzhledem k úvaze výše jde tedy o nejobecnější dodatečnou podmínku, aby platila tvrzení 34 a 36.

  Důkaz není požadován, ale zde jej předložíme.

  Stačí dokázat tvrzení 37, neboť je obecnější než tvrzení 35. Klade totiž navíc omezující podmínku, že hledaný prvek musí být součástí množiny M. Existuje-li pak v množině M přirozené číslo m_max větší než ostatní prvky množiny M, pak žádné menší přirozené číslo než toto takovou vlastnost mít nemůže — bylo by totiž menší než m_max.

  Při důkazu postupujeme obdobně jako při důkazu existence nejmenšího prvku.

  Protože množina M je omezená, existuje dle definice omezené množiny přirozené číslo H takové, že veškeré prvky množiny M jsou menší nebo rovny H. Protože však toto číslo nemusí být částí množiny M, s důkazem ještě nejsme hotovi.

  Množina M je neprázdná, obsahuje tedy nejméně jedno (přirozené) číslo.

  Vyberme tedy náhodně jedno z těchto čísel, označme jej m₁. Jestliže toto náhodně vybrané číslo není největším v M, pak to znamená, že v M nalezneme číslo m₂ > m₁.

  Jestliže ani číslo m₂ není největší v M, pak to znamená, že v M nalezneme číslo m₃ > m₂.

  A takto můžeme pokračovat dále. Uvědomme si však, že tato posloupnost kroků se nejpozději po H krocích zastaví. V každém kroku totiž najdeme číslo nejméně o jednotku vyšší. Po více než H krocích by tedy nalezené číslo bylo \(m_1 \underbrace{+ 1 + 1 + \cdots + 1}_{H\,krát} = m_1 + H > H\), což není vzhledem k výše uvedenému možné.