Sbírka řešených úloh

Odmocninová substituce IV.

Úloha číslo: 1509

• Motivace

  Často se nám při řešení integrálů stává, že jsme nuceni integrovat výrazy obsahující jednu či více odmocnin.

  Nejpoužívanější metodou pro vypořádání se z odmocninami při integraci je právě odmocninová nebo Eulerova substituce.

  Dalšími užívanými metodami jsou ve speciálních případech například goniometrické substituce (Goniometrické substituce 1.) nebo substituce hyperbolické (Hyperbolická substituce).

  V této úloze si předvedeme jednu ze základních odmocninových substitucí.

  substituce

  Máme-li integrovat výraz typu

  $$I=\int \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}dx$$

  zavádíme přímo substituci

  $$t^n=\frac{ax+b}{cx+d}$$

  Mějme ovšem na paměti, že v tomto případě je integrovaný výraz proměnné $x$ převáděn na integrovaný výraz proměnné $t$, stejně jako tomu bylo v případě obyčejných substitucí (Substituce).

• Substituce

  Pomocí vhodně zvolené substituce odstraňte odmocninu v integrovaném výrazu.

• Substituce - řešení

  V souladu s motivačním textem úlohy určujeme substituci jako

  $$t^n=\frac{ax+b}{cx+d}$$

  konkrétně v našem případě

  $$t^2=\frac{x+2}{x+1}$$

  kde $n=2$, neboť stupeň odmocniny je dva.

  Abychom od integrálu proměnné $x$ přešli k integrálu proměnné $t$ je třeba dále vyjádřit derivaci $x$ podle proměnné $t$, což uděláme následovně

  $$t^2=\frac{x+1}{x}$$

  obě strany přenásobíme $x$, čímž obdržíme

  $$t^2x={x+1}$$

  roznásobíme a separujeme proměnné

  $$t^2x=x+1$$ $$t^2x-x=1$$ $$x(t^2-1)=1$$ $$x=\frac{1}{t^2-1}$$

  následnou derivací $x$ podle $t$ pak získáváme

  $$dx=\frac{0-(2t)}{(t^2-1)^2}dt=$$ $$=\frac{-2t}{(t^2-1)^2}dt$$

  Získané dosadíme do původního výrazu, čímž získáme

  $$I=\int\sqrt{\frac{x+1}{x}}dx=\int t \frac{-2t}{(t^2-1)^2}dt=$$ $$=-2\int \frac{t^2}{(t^2-1)^2}dt$$

• Integrace

  Vhodně zvolenou integrační metodou substituovaný integrál proměnné $t$ vyřešte.

• Integrace - řešení

  Substitucí jsme získali

  $$=-2\int \frac{t^2}{(t^2-1)^2}dt$$

  jde o lomenou polynomiální funkci, integrál proto budeme řešit metodami osvojenými z úlohy Integrace lomené racionální funkce I..

  Stupeň polynomu ve jmenovateli je o dva vyšší než stupeň polynomu v čitateli, proto přeskočíme krok dělení polynomů a přejdeme rovnou k rozkladu na parciální zlomky.

  Zlomek nejprve lehce upravíme patrným rozkladem na součinový tvar polynomu ve jmenovateli s využitím vzorce $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ jako

  $$\frac{t^2}{(t^2-1)^2}=\frac{t^2}{((t-1)(t+1))^2}$$

  dále přejdeme k rozkladu na parciální zlomky, jehož obecná podoba bude následovná

  $$\frac{t^2}{((t-1)(t+1))^2}= \frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{C}{(t-1)^2}+\frac{D}{(t+1)^2}$$

  pro konkrétní podobu rozkladu na parciální zlomky užijeme metodu porovnávání koeficientů, obě strany rovnice tedy nejprve přenásobíme výrazem $((t-1)(t+1))^2$

  $${t^2}= A (t-1)(t+1)^2 + B (t+1)(t-1)^2 + C(t+1)^2 + D(t-1)^2$$ $${t^2}=$$ $$= A(t^3+t^2-t-1) + B (t^3-t^2-t+1) + C(t^2+2t+1) + + D(t^2-2t+1)$$

  nyní roznásobíme závorky, vhodě přeuspořádáme a opětovně uzávorkujeme na pravé straně rovnosti

  $$t^2=At^3+At^2-At-A+Bt^3-Bt^2-Bt+B+Ct^2+2Ct+C+$$ $$+Dt^2-2Dt+D$$ $$t^2=t^3(A+B)+t^2(A-B+C+D)+$$ $$+t(-A-B+2C-2D)+(-A+B+C+D)$$

  aby rovnost platila, musí splňovat následující podmínky(porovnáváme koeficienty z levé a pravé strany rovnosti)

  $$0=A+B$$ $$1=A-B+C+D$$ $$0=-A-B+2C-2D$$ $$0=-A+B+C+D$$

  jedná se o soustavu 4 rovnic o 4 neznámých.

  Například z první rovnice získáváme

  $$A=-B$$

  takto získané $A$ dosadíme do zbývajících tří rovnic a získáme

  $$1=-B-B+C+D$$ $$0=-(-B)-B+2C-2D$$ $$0=-(-B)+B+C+D$$

  po drobné úpravě

  $$1=-2B+C+D$$ $$0=2C-2D$$ $$0=2B+C+D$$

  ze získané rovnosti $0=2C-2D$ vyjádříme $C$ jako

  $$C=D$$

  čímž po dosazení do rovností $1=-2B+C+D$ a $0=2B+C+D$ získáme

  $$1=-2B+D+D$$ $$0=2B+D+D$$

  po úpravách

  $$1=-2B+2D$$ $$0=2B+2D$$

  sečteme-li tyto rovnice obdržíme

  $$1=2B+2D-2B+2D$$ $$1=4D$$ $$D=-\frac{1}{4}$$

  po dosayení $D$ do $0=2B+2D$ získáme

  $$0=B-\frac{1}{4}$$ $$B=\frac{1}{4}$$

  dále víme, že $A=-B$ a $C=D$, tedy

  $$A=-\frac{1}{4}$$ $$C=-\frac{1}{4}$$

  původní soustavu tak řeší čtveřice

  $$A=-\frac{1}{4}$$ $$B=\frac{1}{4}$$ $$C=-\frac{1}{4}$$ $$D=-\frac{1}{4}$$

  s čímž je spojen rozklad

  $$\frac{t^2}{((t-1)(t+1))^2}= \frac{-\frac{1}{4}}{t-1}+\frac{\frac{1}{4}}{t+1}+\frac{-\frac{1}{4}}{(t-1)^2}+\frac{-\frac{1}{4}}{(t+1)^2}$$ $$\frac{t^2}{((t-1)(t+1))^2}= -\frac{1}{4}\frac{1}{t-1}+\frac{1}{4}\frac{1}{t+1}-\frac{1}{4}\frac{1}{(t-1)^2}-\frac{1}{4}\frac{1}{(t+1)^2}$$

  S využitím získaného rozkladu na parciální zlomky a linearity integrálu nakonec obdržíme

  $$I=-2\int \frac{t^2}{(t^2-1)^2}dt=$$ $$= -\frac{1}{2}\int\frac{1}{t-1}dt+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t+1}dt-\frac{1}{2}\int\frac{1}{(t-1)^2}dt-\frac{1}{2}\int\frac{1}{(t+1)^2}dt$$

  první dva integrály substitucí převedeme na tabulkový integrál $\int \frac{1}{w}dw=\ln {|w|} +c$ a druhé dva pak na tabulkový integrál $\int \frac{1}{w^n}dw = \frac -{1}{n-1}\frac{1}{w^{n-1}};n \ne 1$

  zavádíme tedy substituce

  $$t-1=y$$ $$t+1=z$$

  a s tím spojené derivace

  $$dt=dy$$ $$dt=dz$$

  po dosazení pak získáváme

  $$I= -\frac{1}{2}\int\frac{1}{y}dy+\frac{1}{2}\int\frac{1}{z}dz-\frac{1}{2}\int\frac{1}{y^2}dy -\frac{1}{2}\int\frac{1}{z^2}dz$$

  který řešíme jako

  $$I= -\frac{1}{2}\ln{|y|}+\frac{1}{2}\ln{|z|}+\frac{1}{2}\frac{1}{y} +\frac{1}{2}\frac{1}{z}+c$$

  po zpětné substituci za $y,z$ pak

  $$I= -\frac{1}{2}\ln{|t-1|}+\frac{1}{2}\ln{|t+1|}+\frac{1}{2}\frac{1}{t-1} +\frac{1}{2}\frac{1}{t+1}+c$$

  přičemž si vystačíme s vědomím, že

  $$t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}$$

  a dosazaní ponechme na dlouhé zimní večery.

• Řešení

  V souladu s motivačním textem úlohy určujeme substituci jako

  $$t^n=\frac{ax+b}{cx+d}$$

  konkrétně v našem případě

  $$t^2=\frac{x+2}{x+1}$$

  kde $n=2$, neboť stupeň odmocniny je dva.

  Abychom od integrálu proměnné $x$ přešli k integrálu proměnné $t$ je třeba dále vyjádřit derivaci $x$ podle proměnné $t$, což uděláme následovně

  $$t^2=\frac{x+1}{x}$$

  obě strany přenásobíme $x$, čímž obdržíme

  $$t^2x={x+1}$$

  roznásobíme a separujeme proměnné

  $$t^2x=x+1$$ $$t^2x-x=1$$ $$x(t^2-1)=1$$ $$x=\frac{1}{t^2-1}$$

  následnou derivací $x$ podle $t$ pak získáváme

  $$dx=\frac{0-(2t)}{(t^2-1)^2}dt=$$ $$=\frac{-2t}{(t^2-1)^2}dt$$

  Získané dosadíme do původního výrazu, čímž získáme

  $$I=\int\sqrt{\frac{x+1}{x}}dx=\int t \frac{-2t}{(t^2-1)^2}dt=$$ $$=-2\int \frac{t^2}{(t^2-1)^2}dt$$

  Substitucí jsme získali

  $$=-2\int \frac{t^2}{(t^2-1)^2}dt$$

  jde o lomenou polynomiální funkci, integrál proto budeme řešit metodami osvojenými z úlohy Integrace lomené racionální funkce I..

  Stupeň polynomu ve jmenovateli je o dva vyšší než stupeň polynomu v čitateli, proto přeskočíme krok dělení polynomů a přejdeme rovnou k rozkladu na parciální zlomky.

  Zlomek nejprve lehce upravíme patrným rozkladem na součinový tvar polynomu ve jmenovateli s využitím vzorce $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ jako

  $$\frac{t^2}{(t^2-1)^2}=\frac{t^2}{((t-1)(t+1))^2}$$

  dále přejdeme k rozkladu na parciální zlomky, jehož obecná podoba bude následovná

  $$\frac{t^2}{((t-1)(t+1))^2}= \frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{C}{(t-1)^2}+\frac{D}{(t+1)^2}$$

  pro konkrétní podobu rozkladu na parciální zlomky užijeme metodu porovnávání koeficientů, obě strany rovnice tedy nejprve přenásobíme výrazem $((t-1)(t+1))^2$

  $${t^2}= A (t-1)(t+1)^2 + B (t+1)(t-1)^2 + C(t+1)^2 + D(t-1)^2$$ $${t^2}=$$ $$= A(t^3+t^2-t-1) + B (t^3-t^2-t+1) + C(t^2+2t+1) + + D(t^2-2t+1)$$

  nyní roznásobíme závorky, vhodě přeuspořádáme a opětovně uzávorkujeme na pravé straně rovnosti

  $$t^2=At^3+At^2-At-A+Bt^3-Bt^2-Bt+B+Ct^2+2Ct+C+$$ $$+Dt^2-2Dt+D$$ $$t^2=t^3(A+B)+t^2(A-B+C+D)+$$ $$+t(-A-B+2C-2D)+(-A+B+C+D)$$

  aby rovnost platila, musí splňovat následující podmínky(porovnáváme koeficienty z levé a pravé strany rovnosti)

  $$0=A+B$$ $$1=A-B+C+D$$ $$0=-A-B+2C-2D$$ $$0=-A+B+C+D$$

  jedná se o soustavu 4 rovnic o 4 neznámých.

  Například z první rovnice získáváme

  $$A=-B$$

  takto získané $A$ dosadíme do zbývajících tří rovnic a získáme

  $$1=-B-B+C+D$$ $$0=-(-B)-B+2C-2D$$ $$0=-(-B)+B+C+D$$

  po drobné úpravě

  $$1=-2B+C+D$$ $$0=2C-2D$$ $$0=2B+C+D$$

  ze získané rovnosti $0=2C-2D$ vyjádříme $C$ jako

  $$C=D$$

  čímž po dosazení do rovností $1=-2B+C+D$ a $0=2B+C+D$ získáme

  $$1=-2B+D+D$$ $$0=2B+D+D$$

  po úpravách

  $$1=-2B+2D$$ $$0=2B+2D$$

  sečteme-li tyto rovnice obdržíme

  $$1=2B+2D-2B+2D$$ $$1=4D$$ $$D=-\frac{1}{4}$$

  po dosayení $D$ do $0=2B+2D$ získáme

  $$0=B-\frac{1}{4}$$ $$B=\frac{1}{4}$$

  dále víme, že $A=-B$ a $C=D$, tedy

  $$A=-\frac{1}{4}$$ $$C=-\frac{1}{4}$$

  původní soustavu tak řeší čtveřice

  $$A=-\frac{1}{4}$$ $$B=\frac{1}{4}$$ $$C=-\frac{1}{4}$$ $$D=-\frac{1}{4}$$

  s čímž je spojen rozklad

  $$\frac{t^2}{((t-1)(t+1))^2}= \frac{-\frac{1}{4}}{t-1}+\frac{\frac{1}{4}}{t+1}+\frac{-\frac{1}{4}}{(t-1)^2}+\frac{-\frac{1}{4}}{(t+1)^2}$$ $$\frac{t^2}{((t-1)(t+1))^2}= -\frac{1}{4}\frac{1}{t-1}+\frac{1}{4}\frac{1}{t+1}-\frac{1}{4}\frac{1}{(t-1)^2}-\frac{1}{4}\frac{1}{(t+1)^2}$$

  S využitím získaného rozkladu na parciální zlomky a linearity integrálu nakonec obdržíme

  $$I=-2\int \frac{t^2}{(t^2-1)^2}dt=$$ $$= -\frac{1}{2}\int\frac{1}{t-1}dt+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t+1}dt-\frac{1}{2}\int\frac{1}{(t-1)^2}dt-\frac{1}{2}\int\frac{1}{(t+1)^2}dt$$

  první dva integrály substitucí převedeme na tabulkový integrál $\int \frac{1}{w}dw=\ln {|w|} +c$ a druhé dva pak na tabulkový integrál $\int \frac{1}{w^n}dw = \frac -{1}{n-1}\frac{1}{w^{n-1}};n \ne 1$

  zavádíme tedy substituce

  $$t-1=y$$ $$t+1=z$$

  a s tím spojené derivace

  $$dt=dy$$ $$dt=dz$$

  po dosazení pak získáváme

  $$I= -\frac{1}{2}\int\frac{1}{y}dy+\frac{1}{2}\int\frac{1}{z}dz-\frac{1}{2}\int\frac{1}{y^2}dy -\frac{1}{2}\int\frac{1}{z^2}dz$$

  který řešíme jako

  $$I= -\frac{1}{2}\ln{|y|}+\frac{1}{2}\ln{|z|}+\frac{1}{2}\frac{1}{y} +\frac{1}{2}\frac{1}{z}+c$$

  po zpětné substituci za $y,z$ pak

  $$I= -\frac{1}{2}\ln{|t-1|}+\frac{1}{2}\ln{|t+1|}+\frac{1}{2}\frac{1}{t-1} +\frac{1}{2}\frac{1}{t+1}+c$$

  přičemž si vystačíme s vědomím, že

  $$t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}$$

  a dosazaní ponechme na dlouhé zimní večery.

• Výsledek

  $$I= -\frac{1}{2}\ln{|t-1|}+\frac{1}{2}\ln{|t+1|}+\frac{1}{2}\frac{1}{t-1} +\frac{1}{2}\frac{1}{t+1}+c=$$ $$=\ln{\sqrt{\frac{|t+1|}{|t-1|}}}+\frac{t}{t^2-1} +c$$ $$t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}$$