Sbírka řešených úloh

Urči primitivní funkci metodou per partes I.

Úloha číslo: 1268

• Rozbor

  Máme-li určit neurčitý integrál ze součinu dvou funkcí, z nichž jedna se dobře derivuje a druhá naopak dobře integruje, pak většinou řešení takovéto úlohy směřuje právě na metodu řešení per partes, viz úloha Per partes

  U podobných úloh je dobré, pečlivě si rozmyslet, kterou funkci je výhodné derivovat a kterou naopak integrovat, čímž se vyhneme zbytečnému stěžování zadaného problému, neboť per partes má vest k zjednodušení řešeného integrálu.

• Nápověda 1.

  Pomocí známých neurčitých integrálů Přehled základních primitivních funkcí a známých základních derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné určete metodou per partes Per partes zadaný neurčitý integrál.

• Nápověda 1. - řešení

  Jak bylo řečeno, pak při řešení neurčitého integrálu \(\int{\sin{x}\cos{x}}dx\) metodou per partes, je třeba zvolit jednu funkci, již budeme derivovat a druhou, kterou budeme naopak integrovat.

  V tomto konkrétním případě je jedno, se kterou funkcí provedeme jakou z operací, neboť obě funkce mají stejně složité jak primitivní funkce tak i derivace.

  Zopakujme metodu per partes:

  \[\int{f^{'}{x}g(x)}dx=f(x)g(x)-\int{f(x)g^{'}(x)}dx\]

  Zvolme tedy \(\sin{x}\) jako g(x), kterou budeme derivovat, neboť se tak vyhneme minusu při derivování, který by nás čekal, kdybychom zvolili opačně a funkci \(\cos(x)\) jako \(f^{'}(x)\), již budeme integrovat.

  Nejprve pomocí Přehled základních primitivních funkcí určíme primitivní funkci k \(f^{'}(x)\) jako:

  \[f(x)=\int{\cos{x}}dx=\sin{x}\]

  dále určíme derivaci funkce g(x) pomocí Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné jako:

  \[g^{'}(x)=\sin^{'}{x}=\cos{x}\]

  a následně dosadíme do rovnosti, známé z per partes:

  \[\int{\sin{x}\cos{x}}dx=\sin{x}\sin{x}-\int{\cos{x}\sin{x}}dx \Rightarrow\]

  všimneme si, že na pravé straně rovnosti se opět vyskytuje původně zadaný integrál, tedy jej převedeme na stranu levou a získáme rovnost:

  \[\Rightarrow 2\int{\cos{x}\sin{x}}=\sin^2{x}\]

  kterou upravíme vydělením číslem 2 a získáme tak:

  \[\Rightarrow \int{\cos{x}\sin{x}}=\frac{1}{2}\sin^2{x}+c\]

• Poznámka k řešení

  Lze řešit snáze pomocí:

  \[\sin{x}\cos{x}=\frac{1}{2}\sin{2x}\]