Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Snížení řádu homogenní lineární rovnice

Úloha číslo: 1890

Snižte řád rovnice \(y'''+x^2y''-2y=0\).
  • Rozbor

    O homogenních lineárních rovnicích

    \[y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+\cdots + a_0(x)y = 0\]

    jsme si již povídali v úloze Lineární rovnice řádu n. Nyní si ukážeme, jak snižovat jejich řád.

    Známe-li libovolné netriviální partikulární řešení homogenní lineární rovnice \(y_0(x)\), lze její řád snížit zavedením substituce

    \[y(x)=y_0(x)z(x) \,.\]

    Po dosazení do řešené rovnice získáme

    \[(y_0z)^{(n)}+a_{n-1}(x)(y_0z)^{(n-1)}+a_{n-2}(x)(y_0z)^{(n-2)}+\cdots + a_0(x)y_0z = 0 \,.\]

    Jednotlivé derivace \(y_0 z\) vyjádříme pomocí Leibnizova vzorce. Obdržíme tak rovnici

    \[\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j}y_0^{(n-j)}z^{(j)}+a_{n-1}(x)\sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j}y_0^{(n-1-j)}z^{(j)}+\] \[+\cdots +a_{1}(x)y'_0z +a_{1}(x)y_0z'+ a_0(x)y_0z = 0 \,.\] \[y_0^{(n)}z+\sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j}y_0^{(n-j)}z^{(j)}+a_{n-1}(x)y_0^{(n-1)}z+a_{n-1}(x)\sum_{j=1}^{n-1} \binom{n-1}{j}y_0^{(n-1-j)}z^{(j)}+ \] \[ +\cdots +a_{1}(x)y'_0z +a_{1}(x)y_0z'+ a_0(x)y_0z = 0 \,.\] \[\sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j}y_0^{(n-j)}z^{(j)}+a_{n-1}(x)\sum_{j=1}^{n-1} \binom{n-1}{j}y_0^{(n-1-j)}z^{(j)}+\] \[+\cdots +z\bigl(y_0^{(n)}+a_{n-1}(x)y_0^{(n-1)} +a_{1}(x)y'_0 +a_0(x)y_0\bigr) = 0 \,.\]

    Konečně využijeme předpokladu, že \(y_0\) řeší původní homogenní rovnici. Výraz v závorce je proto roven nule. Nebo-li

    \[\sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j}y_0^{(n-j)}z^{(j)}+a_{n-1}(x)\sum_{j=1}^{n-1} \binom{n-1}{j}y_0^{(n-1-j)}z^{(j)}+\cdots +a_{1}(x)y_0z' = 0 \,.\]

    Uvědomíme si, že po rozepsání obsažených sum na jednotlivé sčítance, žádný z nich nebude obsahovat nederivované \(z\). Po jejich vhodném přeuspořádání a následném vytknutí příslušných derivací $ z $ řešená rovnice nabude tvaru

    \(y_0z^{(n)}+b_{n-1}(x)z^{(n-1)}+b_{n-2}(x)z^{(n-2)}+\cdots + b_1(x)z' = 0\,,\)

    kde funkce \(b_1(x), \cdots, b_{n-1}(x)\) v podstatě zastupují výrazy v příslušných závorkách tvořené funkcemi \(a_0(x), \cdots, a_{n-1}(x), y_0(x), \cdots,y_0^{(n-1)}(x) \,.\) Jinými slovy, substitucí jsme získali typ rovnice, jejíž řád jsme již snižovali v úloze Snižování řádu.

  • Substituce k nižšímu řádu

    Určete netriviální partikulární řešen a pomocí vhodné substituce snižte řád řešené rovnice.

  • Řešení

    Máme před sebou homogenní lineární rovnici. Pro snížení jejího řádu potřebujeme znát jedno její netriviální partikulární řešení.

    Pozorováním zjišťujeme, že hledané partikulárních řešení je například

    \[y_0=x^2 \,,\]

    neboť platí

    \[\begin{align*} (x^2)'''+x^2(x^2)''-2(x^2) &= 0\\ 0+2x^2-2x^2 &= 0\,. \end{align*}\]

    Námi zvolená substituce proto bude mít podobu

    \[y(x)=z(x)y_0(x)=z(x)x^2 \,.\]

    Vyjádřeme dále příslušné derivace

    \[\begin{align*} y'&=z'x^2+2xz\\ y''&=z''x^2+2xz'+2xz'+2z = z''x^2+4xz'+2z\\ y'''&=z'''x^2+2z''x+4xz''+4z'+2z'=z'''x^2+6xz''+6z' \,. \end{align*}\]

    Po zavedení substituce tak celkově získáme

    \[\begin{align*} z'''x^2+6xz''+6z'+x^2(z''x^2+4xz'+2z)-2zx^2&= 0\\ z'''x^2+(6x+x^4)z''+(6+4x^3)z'+(2x^2-2x^2)z&= 0\\ z'''x^2+(6x+x^4)z''+(6+4x^3)z'&= 0\,, \end{align*}\]

    nebo-li rovnici typu

    \[z'''=f(z'',z') \,.\]

    V souladu s Snižování řádu snižujeme řád vzniklé rovnice substitucí

    \[w(x)=z'(x) \,.\]

    Touto cestou konečně získáváme homogenní lineární rovnici druhého řádu

    \[w''x^2+(6x+x^4)w'+(6+4x^3)w= 0\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze