Snížení řádu homogenní lineární rovnice
Úloha číslo: 1890
Rozbor
O homogenních lineárních rovnicích
\[y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+\cdots + a_0(x)y = 0\]jsme si již povídali v úloze Lineární rovnice řádu n. Nyní si ukážeme, jak snižovat jejich řád.
Známe-li libovolné netriviální partikulární řešení homogenní lineární rovnice \(y_0(x)\), lze její řád snížit zavedením substituce
\[y(x)=y_0(x)z(x) \,.\]Po dosazení do řešené rovnice získáme
\[(y_0z)^{(n)}+a_{n-1}(x)(y_0z)^{(n-1)}+a_{n-2}(x)(y_0z)^{(n-2)}+\cdots + a_0(x)y_0z = 0 \,.\]Jednotlivé derivace \(y_0 z\) vyjádříme pomocí Leibnizova vzorce. Obdržíme tak rovnici
\[\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j}y_0^{(n-j)}z^{(j)}+a_{n-1}(x)\sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j}y_0^{(n-1-j)}z^{(j)}+\] \[+\cdots +a_{1}(x)y'_0z +a_{1}(x)y_0z'+ a_0(x)y_0z = 0 \,.\] \[y_0^{(n)}z+\sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j}y_0^{(n-j)}z^{(j)}+a_{n-1}(x)y_0^{(n-1)}z+a_{n-1}(x)\sum_{j=1}^{n-1} \binom{n-1}{j}y_0^{(n-1-j)}z^{(j)}+ \] \[ +\cdots +a_{1}(x)y'_0z +a_{1}(x)y_0z'+ a_0(x)y_0z = 0 \,.\] \[\sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j}y_0^{(n-j)}z^{(j)}+a_{n-1}(x)\sum_{j=1}^{n-1} \binom{n-1}{j}y_0^{(n-1-j)}z^{(j)}+\] \[+\cdots +z\bigl(y_0^{(n)}+a_{n-1}(x)y_0^{(n-1)} +a_{1}(x)y'_0 +a_0(x)y_0\bigr) = 0 \,.\]Konečně využijeme předpokladu, že \(y_0\) řeší původní homogenní rovnici. Výraz v závorce je proto roven nule. Nebo-li
\[\sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j}y_0^{(n-j)}z^{(j)}+a_{n-1}(x)\sum_{j=1}^{n-1} \binom{n-1}{j}y_0^{(n-1-j)}z^{(j)}+\cdots +a_{1}(x)y_0z' = 0 \,.\]Uvědomíme si, že po rozepsání obsažených sum na jednotlivé sčítance, žádný z nich nebude obsahovat nederivované \(z\). Po jejich vhodném přeuspořádání a následném vytknutí příslušných derivací $ z $ řešená rovnice nabude tvaru
\(y_0z^{(n)}+b_{n-1}(x)z^{(n-1)}+b_{n-2}(x)z^{(n-2)}+\cdots + b_1(x)z' = 0\,,\)kde funkce \(b_1(x), \cdots, b_{n-1}(x)\) v podstatě zastupují výrazy v příslušných závorkách tvořené funkcemi \(a_0(x), \cdots, a_{n-1}(x), y_0(x), \cdots,y_0^{(n-1)}(x) \,.\) Jinými slovy, substitucí jsme získali typ rovnice, jejíž řád jsme již snižovali v úloze Snižování řádu.
Substituce k nižšímu řádu
Určete netriviální partikulární řešen a pomocí vhodné substituce snižte řád řešené rovnice.
Řešení
Máme před sebou homogenní lineární rovnici. Pro snížení jejího řádu potřebujeme znát jedno její netriviální partikulární řešení.
Pozorováním zjišťujeme, že hledané partikulárních řešení je například
\[y_0=x^2 \,,\]neboť platí
\[\begin{align*} (x^2)'''+x^2(x^2)''-2(x^2) &= 0\\ 0+2x^2-2x^2 &= 0\,. \end{align*}\]Námi zvolená substituce proto bude mít podobu
\[y(x)=z(x)y_0(x)=z(x)x^2 \,.\]Vyjádřeme dále příslušné derivace
\[\begin{align*} y'&=z'x^2+2xz\\ y''&=z''x^2+2xz'+2xz'+2z = z''x^2+4xz'+2z\\ y'''&=z'''x^2+2z''x+4xz''+4z'+2z'=z'''x^2+6xz''+6z' \,. \end{align*}\]Po zavedení substituce tak celkově získáme
\[\begin{align*} z'''x^2+6xz''+6z'+x^2(z''x^2+4xz'+2z)-2zx^2&= 0\\ z'''x^2+(6x+x^4)z''+(6+4x^3)z'+(2x^2-2x^2)z&= 0\\ z'''x^2+(6x+x^4)z''+(6+4x^3)z'&= 0\,, \end{align*}\]nebo-li rovnici typu
\[z'''=f(z'',z') \,.\]V souladu s Snižování řádu snižujeme řád vzniklé rovnice substitucí
\[w(x)=z'(x) \,.\]Touto cestou konečně získáváme homogenní lineární rovnici druhého řádu
\[w''x^2+(6x+x^4)w'+(6+4x^3)w= 0\,.\]
