Sbírka řešených úloh

Vyšetřete průběh funkce II.

Úloha číslo: 1255

• Rozbor

  Co si přesně představit pod úlohami typu vyšetřete průběh funkce?

  Naším úkolem bude získat co nejvíce vlastností funkce, abychom měli co nepřesnější představu o jejím průběhu a abychom byli schopni nakreslit co možná nejpřesnější graf zadané funkce.

  Zejména nás budou zajímat tyto vlastnosti(zachována logická posloupnost vyšetřovaných vlastností):

  1. Určete definiční obor funkce a případné body nespojitosti.

  2. Ověřte, zdali je funkce sudá, lichá nebo periodická. V kladném případě můžeme další úkony omezit na nekladnou/nezápornou část osy nebo v případě, že je funkce periodická na interval jedné periody.

  3. Spočtěte jednostranné limity v hraničních bodech definičního oboru funkce a v případných bodech nespojitosti. Získáte tak představu o případné omezenosti/neomezenosti funkce.

  Určete první derivaci funkce a s ní spojené body podezřelé z extrémů.

  4. Pomocí záskané první derivace určete intervaly růstu a klesání funkce a její lokální maxima/minima

     Pokud to jde, určete jednostranné limity derivace zleva a zprava v těch bodech definičního oboru, kde první derivace neexistuje (určují sklon grafu funkce v těchto bodech)

  5. Určete druhou derivaci funkce a s tím spojené body podezřelé z inflexe.

  6. Pomocí záskané druhé derivace určete intervaly konvexnosti/konkávnosti funkce a její inflexní body

  7. Ověřte, zdali funkce nemá asymptoty(tečny v nekonečnu)

  8. Vypočítejte hodnoty, jichž funkce nabývá v důležitcý bodech - tj. v průsečících s osami, v bodech nespojitosti, v bodech extrémů funkce a v inflexních bodech.

  9. Za pomoci získaných informací sestrojte graf funkce

• Nápověda 1. - definiční obor a body nespojitosti.

  Představte si, jak zkoumaná funkce vypadá, jak vypadají funkce z nichž je složena a uědomte si pro jaké hodnoty x jsou tyto funkce definovány, případně, pro které hodnoty x smysl nemají.

• Nápověda 1. - řešení - definiční obor a body nespojitosti.

  Abychom určili definiční obor funkce \(f(x)=\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}\) musíme se zajímat o jednotlivé funkce, z nichž je tato složena.

  Je dobré postupovat směrem zvenku dovnitř. Víme, že funkce arcsin je definována pro hodnoty z intervalu \(y \in [-1{,}1]\), z čehož plyne, že vnitřní funkce \(\frac{2x^2}{1+x^4}=y\) může nabývat pouze těchto hodnot.

  Hledaná \(x\) jsou tedy řešením soustavy nerovnic:

  \[-1\leqq \frac{2x^2}{1+x^4}\leqq 1\]

  Určeme nejprve, pro jaká x má výraz \(\frac{2x^2}{1+x^4}\) vůbec smysl.

  Vzhledem k tomu, že výraz ve jmenovateli \({1+x^4}\) nabývá pouze kladných hodnot, má tedy tento zlomek smysl pro všechna \(x\in [-1{,}1]\)

  Vyřešme jako první, například, nerovnici \(-1\leqq \frac{2x^2}{1+x^4}\):

  \[-1\leqq \frac{2x^2}{1+x^4}\] \[(1+x^4)\geqq 2x^2\] \[x^4-2x^2+1\geqq 0\]

  rozložíme polynom tak, aby byly jeho kořeny patrné:

  \[(x-1)(x-1)(x+1)(x+1)\geqq 0\]

  Nulovými body jsou x rovno 1 a -1, námi zkoumané intervaly tedy budou vypadat: \((-\infty,-1]\), \((-1{,}1)\) a \([1,+\infty)\)

  Metodou dosazení vnitřního bodu intervalu určíme intervaly splňující nerovnost.

  Pro \(x\in(-\infty,-1]\) nabývá funkce nezáporných hodnot, pro \(x \in (-1{,}1)\) také nezáporných hodnot a \(x \in[1,+\infty)\) také nezáporných hodnot.

  Všechny intervaly splňují podmínku nerovnosti a intervalem řešení nerovnice je jejich sjednocení, což jsou všechna reálná čísla, nyní zbývá vyřešit druhou nerovnici\( \frac{2x^2}{1+x^4}\leqq 1\):

  \[\frac{2x^2}{1+x^4}\leqq 1\] \[2x^2 \geqq (1+x^4)\] \[x^4-2x^2+1\geqq 0\]

  Což je jedna a tatáž nerovnice jako nerovnice první se stejným řešením a my tak můžeme učinit závěr o definičním oboru funkce:

  \[D_f=R\]

• Nápověda 2. - Periodičnost, Sudost a Lichost.

  Zamyslete se nad tím, jaké funkce obvykle bývají periodicé, jestli může být tedy i zadaná funkce periodická, případně určete periodu.

  K vyšetření symetrie funkce je potřeba znát podobu grafu předem nebo vycházet z definice sudé/liché, případně periodické funkce.

• Nápověda 2.- Řešení - Periodičnost, Sudost a Lichost.

  Periodické obvykle bývají funkce goniometrické či cyklometrické, je tu tedy možnost, že by zkoumaná funkce mohla být symetrická.

  Vyjděme přímo z definice periodické funkce:

  \[f(x+t)=f(x);\,\,t\ne 0\]

  kde t rozumíme periodou funkce.

  \[f(x+t)=\arcsin{\left(\frac{2(x+t)^2}{1+(x+t)^4}\right)}\overset{\underset{\mathrm{?}}{}}{=}\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}=f(x)\]

  Strany rovnice se rovnají, jestliže se sobě rovnají argumenty funkcí arcsin:

  \[\frac{2(x+t)^2}{1+(x+t)^4}\overset{\underset{\mathrm{?}}{}}{=}\frac{2x^2}{1+x^4}\]

  Je patrné na pvní pohled, že rovnost platí pouze pro hodnotu parametru \(t=0\) a zkoumaná funkce tedy skutečně není periodická(můžeme ověřir a dopočíst).

  Sudost či lichost vyšetříme pomocí definice těchto dvou vlastností funkce, kdy platí:

  \[f(-x)=-f(x)\]

  pro funkci lichou

  \[f(-x)=f(x)\]

  pro funkci sudou

  Po dosazení získáváme rovnost:

  \[f(-x)=\arcsin{\left(\frac{2(-x)^2}{1+(-x)^4}\right)}=\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}=f(x)\]

  Nyní dle definice porovnáme s f(x) a -f(x) a vidíme, že platí: f(x)=f(-x) a funkce je tedy sudá.

• Nápověda 2.- jednostranné limity v hraničních bodech a bodech nespojitosti

  S využitím definice jednostranných limit a vět pro počítání limit funkcí spočteme limity v hraničních bodech D_f, což jsou v našem případě hodnoty plus a minus nekonečno.

  Využijte zjištěné symetrie funkce.

• Nápověda 2.- Řešení - jednostranné limity v hraničních bodech a bodech nespojitosti

  Víme, že hraničními body D_f jsou hodnoty \(-\infty\) a \(+\infty\).

  Hledanou limitu v \(+\infty\) vypočteme, dle definice jednostranné limity, jako:

  \[\lim_{x \to +\infty_{-}}{\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}}=\]

  za pomoci metody vytknutí převládajícího členu limitu přepíšeme jako:

  \[=\lim_{x \to +\infty_{-}}{\arcsin{\left(\frac{x^4}{x^4}\frac{\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^4}+1}\right)}}=\lim_{x \to +\infty_{-}}{\arcsin{\left(\frac{\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^4}+1}\right)}}\]

  využijeme věty o limitě složené funkce a provedeme substituci \(y:=\frac{\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^4}+1}\), kde víme, že pro \(x \to \infty\) platí \(\frac{\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^4}+1}\to 0\)(využili jsme známé limity z úlohy Přehledem používaných limit posloupností)a tedy i \(y \to 0\) a limitu přepíšeme jako:

  \[=\lim_{y \to 0}\arcsin{y}=0\]

  Hledanou limitu v \(-\infty\) určíme ze sudosti funkce, jako:

  \[\lim_{x \to -\infty_{+}}=\lim_{x \to +\infty_{-}}=0\]

  Z tohoto zjištění plyne, že je funkce omezená v nule.

• Nápověda 3.- První derivace a body podezřelé z extrémů

  Pomocí známých derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné nebo přímo z definice derivace vypočteme její hodnotu pro zkoumanou funkci. Následně za pomoci nutné podmínky existence lokálního extrému určíme body podezřelé z extrémů.

  Využijte zjištěné sudosti funkce.

• Nápověda 3.- Řešení - První derivace a body podezřelé z extrémů

  Například pomocí věty o derivaci složené funkce, věty o aritmetice derivace podílu, a známé derivace obecné mocninné funkce a funkce arcsin z úlohy Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné vypočítáme derivace zkoumané funkce jako:

  \[f^{\prime}(x)=\left(\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}\right)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)^2}}\cdot\left(\frac{4x(1+x^4)-2x^2(4x^3)}{(1+x^4)^2}\right)=\] \[=\frac{1}{\sqrt{\frac{(1+x^4)^2-4x^4}{(1+x^4)^2}}}\cdot\frac{4x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}=\frac{|1+x^4|}{\sqrt{1+2x^4-4x^4+x^8}}\cdot\frac{4x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}=\] \[=\frac{|1+x^4|}{\sqrt{(x^4-1)^2}}\cdot\frac{4x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}=\frac{|x^4+1|}{|x^4-1|}\cdot\frac{4x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}\]

  První derivace zkoumané funkce tedy nemá smysl pro x rovno 1 a -1.

  Nutnou podmínkou pro existenci lokálního extrému je, že pokud má funkce v daném bodě vlastní první derivaci, její hodnota je rovna 0. Hledáme tedy takové body/taková x, v nichž první derivace nabývá nulové hodnoty nebo v nichž neexistuje.

  Nyní určíme kořeny rovnice:

  \[0=\frac{|x^4+1|}{|x^4-1|}\cdot\frac{4x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}\]

  Na první pohled je zřejmé, že bod, v němž funkce nabývá nulových hodnot a je tedy podezřelá z extrémů je \(x=0\), neboť:

  \[f^{\prime}(0)=\frac{|0^4+1|}{|0^4-1|}\cdot\frac{4{\cdot} 0 \cdot (1-0^4)}{(1+0^4)^2}=0\]

  dalšími body, podezřelým z extreému, jsou x rovno 1 a -1, neboť v nich první derivace neexistuje.

• Nápověda 4.- Intervaly růstu a klesání, lokální extrémy

  Pomocí již známé první derivace a vlastnosti roztu/klesání funkce ve spojitosti právě s její první derivací určete intervaly růstu a klesání, jakmile tyto intervaly budou určeny, budete schopni rozhodnout z definice lokálního extrému, zdali jsou námi zjištěné body podezřelé z extrémů skutečně extrémy funkce či nikoli.

  Využijte zjištěné sudosti funkce.

• Nápověda 4.- Řešení - Intervaly růstu a klesání, lokální extrémy

  Vzhledem ke skutečnosti, že body podezřelé z extrému jsou \(-1\), \(1\) a v bodě 0 není první derivace definovaná, zkoumané intervaly budou tedy vypadat \((-\infty ,-1)\), \((-1 ,0)\), \((0{,}1)\) a \((1,+\infty)\) a následně ověříme, jakých hodnot na něm funkce nabývá(což provedeme metodou dosazení vnitřního bodu intervalu).

  Je patrné, že pro \(x \in(-\infty,-1)\) první derivace \(f^{\prime}(x)=\frac{|x^4+1|}{|(x^4-1)|}\cdot\frac{4x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}\) nabývá kladných hodnot, z věty o první derivace a monotonii funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce roztoucí.

  Dále opět dosazením zjišťujeme, že pro \(x \in(-1{,}0)\) první derivace \(f^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)=\frac{|x^4+1|}{|(x^4-1)|}\cdot\frac{4x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}\) nabývá záporných hodnot, z věty o první derivace a monotonii funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce klesající.

  Růst a klesání na zbývajících dvou intervalech určíme pomocí sudosti funkce a to tak, že pro \(x \in(0{,}1)\) je funkce roztoucí a pro \(x \in(1,\infty)\) je funkce klesající.

  Nyní víme, že existuje levé okolí bodu -1, v němž je zkoumaná funkce roztoucí a pravé okolí bodu -1, v němž je zkoumaná funkce klesající, z čehož a z definice lokálního minima plyne, že má zkoumaná funkce v bodě 1 lokální maximum.

  Dále víme, že existuje levé okolí bodu 0, v němž je zkoumaná funkce klesající a pravé okolí bodu 0, v němž je zkoumaná funkce roztoucí, z čehož a z definice lokálního minima plyne, že má zkoumaná funkce v bodě 2 lokální minimum.

  Také víme, že existuje levé okolí bodu 1, v němž je zkoumaná funkce roztoucí a pravé okolí bodu 1, v němž je zkoumaná funkce klesající, z čehož a z definice lokálního minima plyne, že má zkoumaná funkce v bodě 1 lokální maximum.

  Můžeme tedy udělat závěr, že funkce má v 1 a -1 lokální maxima a v 0 pak lokální minumum

  Zbývá určit jednostranné limity první derivace v bodech nespojitosti a to sice v x rovno 1(opět vyjdeme z definice jednostranných limit), limitu v x rovno -1 limity odvodíme ze sudosti funkce:

  \[\lim_{x \to 1_{-}}{\frac{|x^4+1|}{|(x^4-1)|}\cdot\frac{4x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}}={\frac{|1_+ +1|}{|(1_+ -1)|}\cdot\frac{4(1_+)(1-1_+)}{(1+1_+)^2}}=0\]

  protože je výraz v absolutní hodnotě ve jmenovateli kladný, můžeme jej vykrátit s výrazem v čitateli druhého zlomku o stejné hodnotě. Výsledná limita tedy bude rovna

  \[=\frac{8}{4}=2\]

  Nyní spočteme limitu z druhé strany:

  \[\lim_{x \to 1_{+}}{\frac{|x^4+1|}{|(x^4-1)|}\cdot\frac{4x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}}={\frac{1_- +1}{|(1_- -1)|}\cdot\frac{4(1_-)(1-1_-)}{(1+1_-)^2}}=\]

  vytkneme z rozdílu \((1-1_-)\) v čitateli druhého zlomku -1, docílíme tak toho, že bude jeho hodnota rovna výrazu hodnoty v jmenovateli prvního zlomku a my je tak budeme moci vykrátit, čímž obdržíme výslednou hodnotu limity:

  \[=-\frac{8}{4}=-2\]

  zbývající jednostranné limity odvodíme ze sudosti funkce jako:

  \[\lim_{x \to 1_{-}}f'(x)=\lim_{x \to -1_{+}}f'(x)=2\] \[\lim_{x \to 1_{-}}f'(x)=\lim_{x \to -1_{+}}f'(x)=-2\]

  O bodech -1 a 1 můžeme tedy vyvodit, že v nich existují ostré přechody funkce(zlomy).

• Nápověda 5.- druhá derivace a body podezřelé z inflexe.

  Pomocí známých derivací nebo přímo z definice derivace vypočteme její hodnotu pro zkoumanou funkci ze znalosti derivace první. Následně za pomoci nutné podmínky existence inflexe určíme body podezřelé z inflexe.

• Nápověda 5.- Řešení - druhá derivace a body podezřelé z inflexe.

  Například pomocí věty o derivaci složené funkce, věty o aritmetice derivace podílu, a známé derivace obecné mocninné funkce a funkce arcsin z úlohy Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné vypočítáme druhé derivace zkoumané funkce jako:

  \[f^{''}(x)=\left(\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}\right)^{''}=\left(\frac{|x^4+1|}{|x^4-1|}\cdot\frac{4x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}\right)^{\prime}=\]

  využijeme vlastnosti \(sgn(y)=\frac{|y|}{y}\)

  \[=\left(\frac{sgn(x^4+1)\cdot 4x(1-x^4)}{(1+x^4)|(x^4-1)|}\right)^{\prime}=\] \[=4\cdot sgn(x^4+1)\cdot \frac{(1-4x^3)|x^4-1|(1+x^4)-4x(1-x^4)(4x^3)|x^4-1|+4x^3 \cdot sign(x^4-1)(1+x^4))}{|x^4-1|^2(1+x^4)^2}=\] \[=4\frac{3x^8-4x^4+1}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}\]

  Nutnou podmínkou pro existenci inflexnho bodu je, že existuje-li druhá derivace v tomto bodě, pak je její hodnota 0, hledáme tedy takové body/taková x, v nichž druhá derivace nabývá nulové hodnoty nebo body, v nichž neexistuje.

  Hledejme tedy kořeny rovnice:

  \[0=4\frac{3x^8-4x^4+1}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}=\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)(3x^4-1)}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}\]

  kořeny této rovnice jsou hodnoty \(-\frac{1}{\sqrt[8]{3}})\), \(\frac{1}{\sqrt[8]{3}})\) a hodnoty +1 a -1, v nich navíc druhá derivace neexistuje a tedy také splňují podmínku pro výskyt inflexe.

  Body podezřelými z inflexe jsou x = \(-\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\),+1,-1

• Nápověda 6. - konvexita/konkávnost zkoumané funkce a inflexní body

  Pomocí již známé druhé derivace a vlastnosti konvexity/konkávnosti funkce ve spojitosti právě s druhou derivací určete intervaly konvexity/konkávnosti, jakmile tyto intervaly budou určeny, budete schopni rozhodnout z definice inflexního bodu, zdali jsou námi zjištěné body podezřelé z inflexe skutečně inflexními body funkce či nikoli.

  Využijte sudosti funkce.

• Nápověda 6. - Řešení - konvexita/konkávnost zkoumané funkce a inflexní body

  Vzhledem ke skutečnosti, že body podezřelé z inflexe jsou v x rovno \(-\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\),+1,-1 , zkoumané intervaly budou tedy vypadat \((-\infty ,-1)\), \((-1 ,-\frac{1}{\sqrt[8]{3}})\), \((-\frac{1}{\sqrt[8]{3}},\frac{1}{\sqrt[8]{3}})\), \((\frac{1}{\sqrt[8]{3}},1)\) a \((1,+\infty)\) Ověříme tedy, jakých hodnot na něm funkce nabývá(což provedeme metodou dosazení vnitřního bodu intervalu).

  Je patrné, že pro \(x \in (-\infty ,-1)\) druhá derivace \(f^{''}(x)=4\frac{3x^8-4x^4+1}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}\) nabývá kladných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konvexní.

  Je patrné, že pro \(x \in (-1,-\frac{1}{\sqrt[8]{3}})\) druhá derivace \(f^{''}(x)=4\frac{3x^8-4x^4+1}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}\) nabývá záporných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konkávní.

  Je patrné, že pro \(x \in (-\frac{1}{\sqrt[8]{3}} ,\frac{1}{\sqrt[8]{3}})\) druhá derivace \(f^{''}(x)=4\frac{3x^8-4x^4+1}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}\) nabývá kladných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konvexní.

  Je patrné, že pro \(x \in (\frac{1}{\sqrt[8]{3}} ,1)\) druhá derivace \(f^{''}(x)=4\frac{3x^8-4x^4+1}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}\) nabývá záporných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konkávní.

  Je patrné, že pro \(x \in (1,\infty)\) druhá derivace \(f^{''}(x)=4\frac{3x^8-4x^4+1}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}\) nabývá kladných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konvexní.

  Víme, že existuje pravé okolí bodu \(-\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\), v němž je zkoumaná funkce konkávní a levé okolí bodu \(-\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\), v němž je zkoumaná funkce konvexní, z čehož a z definice inflexního bodu plyne, že má zkoumaná funkce v bodě \(-\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\) inflexi.

  Víme, že existuje pravé okolí bodu \(\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\), v němž je zkoumaná funkce konvexní a levé okolí bodu \(\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\), v němž je zkoumaná funkce konkávní, z čehož a z definice inflexního bodu plyne, že má zkoumaná funkce v bodě \(\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\) inflexi.

  Další zkoumané body již nesplňují postačující podmínku existence inflexního bodu.

• Nápověda 7.- Asymptoty

  Z definice asymptoty a věty pro její určení určete rovnice obou těchto přímek.

  Využijte symetrie funkce.

• Nápověda 7.- Řešení - Asymptoty

  Víme, že pokud má funkce asymptoty, pak koeficienty a, b rovnice této přímky \(y=ax+b\) získáme jako(přičemž a, b jsou konečná reálná čísla):

  \[a=\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}\] \[b=\lim_{x \to +\infty}f(x)-ax\]

  pro asymptotu v plus nekonečnu

  \[a=\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}\] \[b=\lim_{x \to -\infty}f(x)-ax\]

  pro asymptotu v minus nekonečnu

  Nejprve určíme asymptotu v plus nekonečnu:

  Pro koeficient a tedy po dosazení do limity získáváme:

  \[a=\lim_{x \to +\infty}\frac{\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}}{x}=\lim_{x \to +\infty}\frac{\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}}{x}\frac{\frac{2x^2}{1+x^4}}{\frac{2x^2}{1+x^4}}=\]

  za předpokladu, že má pravá strana smysl limitu rozepíšeme dle věty o aritmetice limit součinu jako:

  \[=\lim_{x \to +\infty}\frac{\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}}{\frac{2x^2}{1+x^4}}\cdot\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{2x^2}{1+x^4}}{x}=\] \[=\lim_{x \to +\infty}\frac{\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}}{\frac{2x^2}{1+x^4}}\cdot\lim_{x \to +\infty}\frac{2x}{1+x^4}=\]

  využijeme věty o limitě složené funkce, substituce a známých limit z úlohy Přehledem používaných limit posloupností, kde zasubstituujeme v první limitě \(y:=\frac{2x^2}{1+x^4}\), přičemž platí \(x \to \infty \Rightarrow y\to 0\) a obdržíme tak výsledný tvar:

  \[=\lim_{y \to 0}\frac{\arcsin{y}}{1+x^4}\cdot\lim_{x \to +\infty}\frac{2x}{1+x^4}=1{\cdot} 0 =0\]

  nyní dopočteme koeficient b:

  \[b=\lim_{x \to +\infty}f(x)-ax=\lim_{x \to +\infty}\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}-0\cdot x=0\]

  jelikož z průběhu výpočtu koeficientu a již víme, že pro x jdoucí do nekonečna se hodnoty argumentu arcsinu blíží 0 a tedy i hodnota funkce arcsin se blíží 0.

  asymptota v plus nekonečnu bude mít rovnici:

  \[y=0\]

  Poté určíme asymptotu v minus nekonečnu ze symetrie funkce jako:

  \[y=0\]

• Nápověda 8.- Dopočtení důležitých hodnot

  Vypočítejte, jakých hodnot zkoumaná funkce nabývá ve svých případných průsečících s osami, extrémech, bodech nespojitosti a inflexních bodech

• Nápověda 8.- Řešení - Dopočtení důležitých hodnot

  Nyní prostým dosazením do \(\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}\) dopočteme zmíněné, pro graf podstatné, hodnoty.

  Průsečík s osou y tak, že za x dosadíme 0:

  \[f(0)=\arcsin{\left(\frac{2(0)^2}{1+(0)^4}\right)}=0\]

  Průsečíkem s osou y tedy bude bod \([0{,}0]\)

  Průsečíky z osou x zjistíme tak, že 0 dosadíme za y:

  \[0=\arcsin{\left(\frac{2(x)^2}{1+(x)^4}\right)}\]

  z čehož plyne, že tímto průsečíkem je opět bod [0,0].

  Body nespojitosti nebyly zjištěny.

  Funkce nabývá extrému a to v 0, -1 a 1, kde hodnota funkce v těchto bodech je:

  \[f(1)=\arcsin{\left(\frac{2(-1)^2}{1+(-1)^4}\right)}=\frac{\pi}{2}\] \[f(2)=\arcsin{\left(\frac{2(1)^2}{1+(1)^4}\right)}=\frac{\pi}{2}\]

  což jsme mohli určit i ze symetrie

  Zkoumaná funkce má inflexní bod v \(-\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\) a \(\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\), kde za pomoci symetrie vypočteme hodnoty jako:

  \[f(-\frac{1}{\sqrt[8]{3}})=f(\frac{1}{\sqrt[8]{3}})=\arcsin{\left(\frac{2(\frac{1}{\sqrt[8]{3}})^2}{1+(\frac{1}{\sqrt[8]{3}})^4}\right)}=\frac{5}{12}\pi\]

• Nápověda 9. - Graf

  Ze získaných údajů sestrojte co nejpřesnější graf zkoumané funkce.

• Nápověda 10.- Řešení - Graf

  

• Graf - Podrobný (pro kontrolu)

  

  Světle modře je znázorněna derivace první, tmavě modře pak derivace druhá, asymptotou je osa x, body A, B, C jsou lokálními extrémy(A, B lokální maximum a C lokální minimum - v tomto případě jsou zároveň etrémy globálními) a body D a E inflexními body.