Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Vyšetřete průběh funkce II.

Úloha číslo: 1255

Vyšetřete průběh funkce:

\[f(x)= \arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)} \]
  • Rozbor

    Co si přesně představit pod úlohami typu vyšetřete průběh funkce?

    Naším úkolem bude získat co nejvíce vlastností funkce, abychom měli co nepřesnější představu o jejím průběhu a abychom byli schopni nakreslit co možná nejpřesnější graf zadané funkce.

    Zejména nás budou zajímat tyto vlastnosti(zachována logická posloupnost vyšetřovaných vlastností):

    1. Určete definiční obor funkce a případné body nespojitosti.

    2. Ověřte, zdali je funkce sudá, lichá nebo periodická. V kladném případě můžeme další úkony omezit na nekladnou/nezápornou část osy nebo v případě, že je funkce periodická na interval jedné periody.

    3. Spočtěte jednostranné limity v hraničních bodech definičního oboru funkce a v případných bodech nespojitosti. Získáte tak představu o případné omezenosti/neomezenosti funkce.

    4. Určete první derivaci funkce a s ní spojené body podezřelé z extrémů.

    5. Pomocí záskané první derivace určete intervaly růstu a klesání funkce a její lokální maxima/minima

      Pokud to jde, určete jednostranné limity derivace zleva a zprava v těch bodech definičního oboru, kde první derivace neexistuje (určují sklon grafu funkce v těchto bodech)

    6. Určete druhou derivaci funkce a s tím spojené body podezřelé z inflexe.

    7. Pomocí záskané druhé derivace určete intervaly konvexnosti/konkávnosti funkce a její inflexní body

    8. Ověřte, zdali funkce nemá asymptoty(tečny v nekonečnu)

    9. Vypočítejte hodnoty, jichž funkce nabývá v důležitcý bodech - tj. v průsečících s osami, v bodech nespojitosti, v bodech extrémů funkce a v inflexních bodech.

    10. Za pomoci získaných informací sestrojte graf funkce

  • Nápověda 1. - definiční obor a body nespojitosti.

    Představte si, jak zkoumaná funkce vypadá, jak vypadají funkce z nichž je složena a uědomte si pro jaké hodnoty x jsou tyto funkce definovány, případně, pro které hodnoty x smysl nemají.

  • Nápověda 2. - Periodičnost, Sudost a Lichost.

    Zamyslete se nad tím, jaké funkce obvykle bývají periodicé, jestli může být tedy i zadaná funkce periodická, případně určete periodu.

    K vyšetření symetrie funkce je potřeba znát podobu grafu předem nebo vycházet z definice sudé/liché, případně periodické funkce.

  • Nápověda 2.- jednostranné limity v hraničních bodech a bodech nespojitosti

    S využitím definice jednostranných limit a vět pro počítání limit funkcí spočteme limity v hraničních bodech Df, což jsou v našem případě hodnoty plus a minus nekonečno.

    Využijte zjištěné symetrie funkce.

  • Nápověda 2.- Řešení - jednostranné limity v hraničních bodech a bodech nespojitosti

    Víme, že hraničními body Df jsou hodnoty \(-\infty\) a \(+\infty\).

    Hledanou limitu v \(+\infty\) vypočteme, dle definice jednostranné limity, jako:

    \[\lim_{x \to +\infty_{-}}{\arcsin{\left(\frac{2x^2}{1+x^4}\right)}}=\]

    za pomoci metody vytknutí převládajícího členu limitu přepíšeme jako:

    \[=\lim_{x \to +\infty_{-}}{\arcsin{\left(\frac{x^4}{x^4}\frac{\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^4}+1}\right)}}=\lim_{x \to +\infty_{-}}{\arcsin{\left(\frac{\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^4}+1}\right)}}\]

    využijeme věty o limitě složené funkce a provedeme substituci \(y:=\frac{\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^4}+1}\), kde víme, že pro \(x \to \infty\) platí \(\frac{\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^4}+1}\to 0\)(využili jsme známé limity z úlohy Přehledem používaných limit posloupností)a tedy i \(y \to 0\) a limitu přepíšeme jako:

    \[=\lim_{y \to 0}\arcsin{y}=0\]

    Hledanou limitu v \(-\infty\) určíme ze sudosti funkce, jako:

    \[\lim_{x \to -\infty_{+}}=\lim_{x \to +\infty_{-}}=0\]

    Z tohoto zjištění plyne, že je funkce omezená v nule.

  • Nápověda 3.- První derivace a body podezřelé z extrémů

    Pomocí známých derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné nebo přímo z definice derivace vypočteme její hodnotu pro zkoumanou funkci. Následně za pomoci nutné podmínky existence lokálního extrému určíme body podezřelé z extrémů.

    Využijte zjištěné sudosti funkce.

  • Nápověda 4.- Intervaly růstu a klesání, lokální extrémy

    Pomocí již známé první derivace a vlastnosti roztu/klesání funkce ve spojitosti právě s její první derivací určete intervaly růstu a klesání, jakmile tyto intervaly budou určeny, budete schopni rozhodnout z definice lokálního extrému, zdali jsou námi zjištěné body podezřelé z extrémů skutečně extrémy funkce či nikoli.

    Využijte zjištěné sudosti funkce.

  • Nápověda 5.- druhá derivace a body podezřelé z inflexe.

    Pomocí známých derivací nebo přímo z definice derivace vypočteme její hodnotu pro zkoumanou funkci ze znalosti derivace první. Následně za pomoci nutné podmínky existence inflexe určíme body podezřelé z inflexe.

  • Nápověda 6. - konvexita/konkávnost zkoumané funkce a inflexní body

    Pomocí již známé druhé derivace a vlastnosti konvexity/konkávnosti funkce ve spojitosti právě s druhou derivací určete intervaly konvexity/konkávnosti, jakmile tyto intervaly budou určeny, budete schopni rozhodnout z definice inflexního bodu, zdali jsou námi zjištěné body podezřelé z inflexe skutečně inflexními body funkce či nikoli.

    Využijte sudosti funkce.

  • Nápověda 6. - Řešení - konvexita/konkávnost zkoumané funkce a inflexní body

    Vzhledem ke skutečnosti, že body podezřelé z inflexe jsou v x rovno \(-\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\),+1,-1 , zkoumané intervaly budou tedy vypadat \((-\infty ,-1)\), \((-1 ,-\frac{1}{\sqrt[8]{3}})\), \((-\frac{1}{\sqrt[8]{3}},\frac{1}{\sqrt[8]{3}})\), \((\frac{1}{\sqrt[8]{3}},1)\) a \((1,+\infty)\) Ověříme tedy, jakých hodnot na něm funkce nabývá(což provedeme metodou dosazení vnitřního bodu intervalu).

    Je patrné, že pro \(x \in (-\infty ,-1)\) druhá derivace \(f^{''}(x)=4\frac{3x^8-4x^4+1}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}\) nabývá kladných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konvexní.

    Je patrné, že pro \(x \in (-1,-\frac{1}{\sqrt[8]{3}})\) druhá derivace \(f^{''}(x)=4\frac{3x^8-4x^4+1}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}\) nabývá záporných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konkávní.

    Je patrné, že pro \(x \in (-\frac{1}{\sqrt[8]{3}} ,\frac{1}{\sqrt[8]{3}})\) druhá derivace \(f^{''}(x)=4\frac{3x^8-4x^4+1}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}\) nabývá kladných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konvexní.

    Je patrné, že pro \(x \in (\frac{1}{\sqrt[8]{3}} ,1)\) druhá derivace \(f^{''}(x)=4\frac{3x^8-4x^4+1}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}\) nabývá záporných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konkávní.

    Je patrné, že pro \(x \in (1,\infty)\) druhá derivace \(f^{''}(x)=4\frac{3x^8-4x^4+1}{|x^4-1|(x^8+2x^4+1)}\) nabývá kladných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konvexní.

    Víme, že existuje pravé okolí bodu \(-\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\), v němž je zkoumaná funkce konkávní a levé okolí bodu \(-\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\), v němž je zkoumaná funkce konvexní, z čehož a z definice inflexního bodu plyne, že má zkoumaná funkce v bodě \(-\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\) inflexi.

    Víme, že existuje pravé okolí bodu \(\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\), v němž je zkoumaná funkce konvexní a levé okolí bodu \(\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\), v němž je zkoumaná funkce konkávní, z čehož a z definice inflexního bodu plyne, že má zkoumaná funkce v bodě \(\frac{1}{\sqrt[8]{3}}\) inflexi.

    Další zkoumané body již nesplňují postačující podmínku existence inflexního bodu.

  • Nápověda 7.- Asymptoty

    Z definice asymptoty a věty pro její určení určete rovnice obou těchto přímek.

    Využijte symetrie funkce.

  • Nápověda 8.- Dopočtení důležitých hodnot

    Vypočítejte, jakých hodnot zkoumaná funkce nabývá ve svých případných průsečících s osami, extrémech, bodech nespojitosti a inflexních bodech

  • Nápověda 9. - Graf

    Ze získaných údajů sestrojte co nejpřesnější graf zkoumané funkce.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze