Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita cyklometrické funkce II.

Úloha číslo: 1190

Určete limitu funkce

\[\lim_{x\to 0} \left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{1/x^2}.\]

Upozornění: Limitu nelze jednoduše řešit bez použití l’Hopitalova pravidla.

  • Řešení

    Určujeme limitu funkce

    \[\lim_{x\to 0} \left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{1/x^2}.\]

    Nejprve použijeme identity

    \[a^b = \exp\left(b\log a\right)\]

    platné pro každá a, b > 0.

    Podle ní platí, že

    \[\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{1/x^2} = \exp\left(\frac{1}{x^2}\cdot\log\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)\right).\]

    Nejprve určíme limitu uvnitř argumentu funkce \(\exp\), tedy

    \[\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\cdot\log\left(\frac{\arcsin x}{x}\right).\]

    Protože platí

    \[\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1,\] \[\lim_{y\to 1} \frac{\log y}{y-1} = 1,\] \[\frac{\arcsin x}{x} \neq 1 \qquad \textrm{na} \quad (-1{,}1)\setminus\{0\},\]

    podle věty o limitě složené funkce máme, že

    \[\lim_{x\to 0} \frac{\log\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)}{\frac{\arcsin x}{x}-1} = 1,\]

    a tedy podle věty o aritmetice limit

    \[\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\cdot\log\left(\frac{\arcsin x}{x}\right) = \] \[\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\cdot \left(\frac{\arcsin x}{x}-1\right)\cdot\frac{\log\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)}{\frac{\arcsin x}{x}-1} = \] \[\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\cdot \left(\frac{\arcsin x}{x}-1\right) = \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x-x}{x^3}.\]

    Limitu nelze jednoduše dopočítat elementárními prostředky, proto použijeme l’Hopitalova pravidla. Protože limita čitatele i jmenovatele je rovna nule, můžeme psát

    \[\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x-x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(\arcsin x-x\right)'}{(x^3)'},\]

    jestliže existují derivace a limita napravo. Máme však

    \[\lim_{x\to 0} \frac{\left(\arcsin x-x\right)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1}{3x^2} = \] \[\lim_{x\to 0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{3x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \]

    s využitím věty o aritmetice limit a spojitosti odmocniny máme

    \[\lim_{x\to 0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{3x^2}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{3x^2} \cdot 1 =\]

    a rozšířením odmocniny a opět pomocí věty o aritmetice limit a spojitosti odmocniny získáme

    \[ \lim_{x\to 0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{3x^2} \cdot \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}} =\] \[ \lim_{x\to 0} \frac{1-(1-x^2)}{3x^2} \cdot \frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}} =\] \[ \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{3x^2} \cdot \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{1-0}} = \frac{1}{6}.\]

    Nyní se vrátíme téměř na začátek: spočetli jsme, že

    \[\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\cdot\log\left(\frac{\arcsin x}{x}\right) = \frac{1}{6}.\]

    Protože funkce exp je spojitá, platí, že

    \[\lim_{x\to 0} \exp\left(\frac{1}{x^2}\cdot\log\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)\right) = \] \[ = \exp\left(\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\cdot\log\left(\frac{\arcsin x}{x}\right) \right) = \exp\left(\frac{1}{6}\right) = e^{1/6}\]

    Což je hledaný výsledek.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze