Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita cyklometrické funkce VII.
Úloha číslo: 1196
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{\log(n^2+4)-\log(n^2)}}{\textrm{arccotg}\,n}.\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{\log(n^2+4)-\log(n^2)}}{\textrm{arccotg}\,n}.\]Dle Heineho věty platí, že pokud existuje limita funkce
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{\log(x^2+4)-\log(x^2)}}{\textrm{arccotg}\,x},\]potom existuje i hledaná limita posloupnosti a je jí rovna.
Počítejme tedy limitu funkce. Nejprve užijeme pravidla, že rozdíl logaritmu je roven logaritmu podílu.
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{\log(x^2+4)-\log(x^2)}}{\textrm{arccotg}\,x} = \] \[= \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{\log\left(\frac{x^2+4}{x^2}\right)}}{\textrm{arccotg}\,x},\] \[= \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{\log\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}}{\textrm{arccotg}\,x}.\]Protože platí, že
\[\lim_{x\to +\infty} 1+\frac{4}{x^2} = 1,\]a
\[\lim_{y\to 0} \frac{\log(1+y)}{y} = 1,\]vyplyne z věty o limitě složené funkce, že
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{\log\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}{\frac{4}{x^2}} = 1.\]K tomu stačí ověřit poslední předpoklad této věty, a sice, že na nějakém prstencovém okolí plus nekonečna je
\[1+\frac{4}{x^2} \neq 1,\]což je ale pravda např. na intervalu \((0,+\infty)\).
Tudíž po rozšíření
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{\log\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}}{\textrm{arccotg}\,x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{\frac{\log\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}{\frac{4}{x^2}}\cdot \frac{4}{x^2}}}{\textrm{arccotg}\,x} = \]použití věty o aritmetice limit
\[ = \lim_{x\to +\infty} \sqrt{\frac{\log\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}{\frac{4}{x^2}}}\cdot \lim_{x\to +\infty} \frac{2}{x\,\textrm{arccotg}\,x} = \]díky spojitosti odmocniny a limitě odvozené v úloze Základní limity cyklometrických funkcí
\[ = \sqrt{\lim_{x\to +\infty} \frac{\log\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}{\frac{4}{x^2}}}\cdot \frac{2}{1} = \]a díky výše odvozené limitě máme
\[ = \sqrt{1}\cdot 2 = 2.\]
