Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita cyklometrické funkce VII.

Úloha číslo: 1196

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{\log(n^2+4)-\log(n^2)}}{\textrm{arccotg}\,n}.\]
  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{\log(n^2+4)-\log(n^2)}}{\textrm{arccotg}\,n}.\]

    Dle Heineho věty platí, že pokud existuje limita funkce

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{\log(x^2+4)-\log(x^2)}}{\textrm{arccotg}\,x},\]

    potom existuje i hledaná limita posloupnosti a je jí rovna.

    Počítejme tedy limitu funkce. Nejprve užijeme pravidla, že rozdíl logaritmu je roven logaritmu podílu.

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{\log(x^2+4)-\log(x^2)}}{\textrm{arccotg}\,x} = \] \[= \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{\log\left(\frac{x^2+4}{x^2}\right)}}{\textrm{arccotg}\,x},\] \[= \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{\log\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}}{\textrm{arccotg}\,x}.\]

    Protože platí, že

    \[\lim_{x\to +\infty} 1+\frac{4}{x^2} = 1,\]

    a

    \[\lim_{y\to 0} \frac{\log(1+y)}{y} = 1,\]

    vyplyne z věty o limitě složené funkce, že

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{\log\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}{\frac{4}{x^2}} = 1.\]

    K tomu stačí ověřit poslední předpoklad této věty, a sice, že na nějakém prstencovém okolí plus nekonečna je

    \[1+\frac{4}{x^2} \neq 1,\]

    což je ale pravda např. na intervalu \((0,+\infty)\).

    Tudíž po rozšíření

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{\log\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}}{\textrm{arccotg}\,x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{\frac{\log\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}{\frac{4}{x^2}}\cdot \frac{4}{x^2}}}{\textrm{arccotg}\,x} = \]

    použití věty o aritmetice limit

    \[ = \lim_{x\to +\infty} \sqrt{\frac{\log\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}{\frac{4}{x^2}}}\cdot \lim_{x\to +\infty} \frac{2}{x\,\textrm{arccotg}\,x} = \]

    díky spojitosti odmocniny a limitě odvozené v úloze Základní limity cyklometrických funkcí

    \[ = \sqrt{\lim_{x\to +\infty} \frac{\log\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}{\frac{4}{x^2}}}\cdot \frac{2}{1} = \]

    a díky výše odvozené limitě máme

    \[ = \sqrt{1}\cdot 2 = 2.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze