Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limity logaritmické funkce poprvé

Úloha číslo: 1179

Spočtěte následující limity:

a) \(\lim\limits_{x \to 0_+} \frac{\ln{(\cos {ax})}}{\ln{(\cos {bx})}}; b,a \in R\)

b) \(\lim\limits_{x \to 1} \ (1-x) : (\ln{x^2})\)

a) \(\lim\limits_{x \to a} \frac{\log_a{x}-\log_x{a}}{x-a}, \ a > 0, \ a\neq 1.\)

  • Rozbor

    Zřejmě výpočet povede na použití věty o limitě složené funkce (viz úlohu Věta o limitě složené funkce (alternativní verze)).

    Vhodnou strategií je v takovém případě využít „známých“ limit funkcí Přehled používaných užívaných limit funkcí k postupnému zjednodušování počítané limity.

    Budeme se tedy snažit počítané limity vhodně upravit či rozšířit tak, abychom v nich známé limity viděli a za pomoci substituce na ně řešený problém převedli.

  • a) Nápověda 1.

    Pokuste se problém převést vhodným rozšířením na známou limitu \(\lim\limits_{x \to 1}\frac{\ln{x}}{x-1}=1\) viz. úloha: Přehled používaných užívaných limit funkcí.

  • a) Nápověda 2.

    \(\lim\limits_{x \to 0_+} \frac{(\cos {ax}-1)}{(\cos {bx}-1)}\) řešte s využitím metody rozšíření, aritmetiky limit, věty o limitě složené funkce a známé limity \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\)

  • a) Řešení

    Dle postupu uvedeného v nápovědách rozšíříme celý výraz

    \[\lim_{x \to 0_+} \frac{\ln{(\cos {ax})}}{\ln{(\cos {bx})}} \cdot \frac {(\cos {bx}-1) \cdot (\cos {ax}-1)}{(\cos {bx}-1)\cdot(\cos {ax}-1)}\]

    a pomocí věty o aritmetice limit jej rozepíšeme jako součin

    \[\lim_{x \to 0_+} \frac{\ln{(\cos {ax})}}{\ln{(\cos {bx})}} \cdot \frac {(\cos {bx}-1) \cdot (\cos {ax}-1)}{(\cos {bx}-1)\cdot(\cos {ax}-1)}=\] \[=\lim_{x \to 0_+} \frac{\ln{(\cos {ax})}}{{(\cos {ax}-1)}} \cdot \lim_{x \to 0_+} \frac {(\cos {bx}-1) }{\ln ({\cos {bx})}}\cdot \lim_{x \to 0_+} \frac{(\cos {ax}-1)}{(\cos {bx}-1)} = \]

    Všechny tři limity byly vyčísleny v řešení obou nápověd.

    Pro celkovou limitu tedy získáváme:

    \[ = 1 \centerdot 1 \centerdot \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2}{b^2}.\]

    Čímž je mimochodem také odůvodněno, že věta o aritmetice limit byla v průběhu řešení úlohy vždy použita korektně.

  • b) Nápověda

    Využijte vlastností logaritmu.

  • b) Řešení

    Limitu \(\lim_{x \to 1} (1-x) : (\ln{x^2})\) přepíšeme jako limitu

    \[\lim_{x \to 1} (1-x)\cdot \frac{1}{2\ln{x}} = -\frac{1}{2}\centerdot\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{\ln{x}}.\]

    Tato limita je v podstatě jednou ze známých limit s prohozeným čitatelem a jmenovatelem (viz Přehled používaných užívaných limit funkcí), a tudíž

    \[-\frac{1}{2}\centerdot\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{\ln{x}} = -\frac{1}{2}\centerdot 1 = -\frac{1}{2}.\]
  • c) Nápověda

    Výraz vhodně upravte, tak aby se dalo využít známých limit. Použijte vlastnosti logaritmu, aritmetiku limit, větu o limitě složené funkce kombinovanou se vhodnou substitucí.

  • c) Řešení

    Limitu \(\lim\limits_{x \to a} \frac{\log_a{x}-\log_x{a}}{x-a}\) přepíšeme pomocí vztahu \(\log_u{v}=\frac{\ln{v}}{\ln{u}}\) na tvar

    \[\lim\limits_{x \to a} \frac{\log_a{x}-\log_b{x}}{x-a}=\lim\limits_{x \to a}\frac{\frac{\ln{x}}{\ln{a}}-\frac{\ln{a}}{\ln{x}}}{x-a}=\lim\limits_{x \to a}\frac{\frac{\ln{x} \ln{x}- \ln{a} \ln{a}}{\ln{a} \ln{x}}}{x-a}=\]

    \[= \lim\limits_{x \to a}\frac{\ln^2{x} - \ln^2{a} }{(\ln{a} \ln{x}) \cdot(x-a)}\]

    Užijeme vzorec \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) a limitu přepíšeme jako:

    \[\lim\limits_{x \to a}\frac{\ln^2{x} - \ln^2{a} }{(\ln{a} \ln{x}) \cdot(x-a)}=\lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{x}-\ln{a})(\ln{x}+\ln{a}) }{(\ln{a} \ln{x}) \cdot(x-a)}\]

    Limitu dále rozepíšeme jako:

    \[\lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{x}-\ln{a})(\ln{x}+\ln{a}) }{(\ln{a} \ln{x}) \cdot(x-a)}=\lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{x}-\ln{a})}{(x-a)}\cdot \frac {(\ln{x}+\ln{a})}{\ln{x} \ln{a}}\]

    Použijeme pravidlo, že rozdíl logaritmů je roven logaritmu podílu. Pak výraz rozšíříme a užijeme větu o aritmetice limit:

    \[\lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{\frac {x}{a}})}{(x-a)}\cdot \frac {(\ln{x}+\ln{a})}{\ln{x} \ln{a}}\cdot \frac{\frac{x}{a}-1}{\frac{x}{a}-1}=\] \[=\lim\limits_{x \to a}\frac{1}{(x-a)}\cdot \frac {(\ln{x}+\ln{a})}{\ln{x} \ln{a}}\cdot \frac{\frac{x}{a}-1}{1} \cdot \lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{\frac {x}{a}})}{\frac{x}{a}-1} = \] a další úpravou získáme \[=\lim\limits_{x \to a}\frac{1}{a}\cdot \frac {(\ln{x}+\ln{a})}{\ln{x} \ln{a}}\cdot \lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{\frac {x}{a}})}{\frac{x}{a}-1}.\]

    První limitu lze nyní vypočítat dosazením díky spojitosti logaritmu. Použijeme větu o limitě složené funkce na druhou limitu.

    Protože

    \[\lim_{x\to a} \frac{x}{a} = 1\]

    a na libovolném prstencovém okolí jedničky je \(\frac{x}{a} \neq 1,\), je

    \[\lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{\frac {x}{a}})}{\frac{x}{a}-1} = \lim\limits_{y \to 1}\frac{\ln y}{y-1},\]

    a tedy pro původní limitu dostáváme

    \[\lim\limits_{x \to a} \frac {1}{a} \cdot \frac {(\ln{x}+\ln{a})}{\ln{x} \ln{a}} \cdot \lim\limits_{y \to 1}\frac{\ln{y}}{y-1} = \] \[=\frac{2\ln{a}}{\ln^2{a}}\cdot \frac{1}{a} \cdot 1 = \frac{2}{a\cdot \ln{a}}\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze