Sbírka řešených úloh

Limity logaritmické funkce poprvé

Úloha číslo: 1179

• Rozbor

  Zřejmě výpočet povede na použití věty o limitě složené funkce.

  Vhodnou strategií je v takovém případě využít „známých“ limit funkcí Přehled používaných užívaných limit funkcí k postupnému zjednodušování počítané limity.

  Budeme se tedy snažit počítané limity vhodně upravit či rozšířit tak, abychom v nich známé limity viděli a za pomoci substituce na ně řešený problém převedli.

• a) Nápověda 1.

  Pokuste se problém převést vhodným rozšířením na známou limitu \(\lim\limits_{x \to 1}\frac{\ln{x}}{x-1}=1\) viz. úloha: Přehled používaných užívaných limit funkcí.

• a) Nápověda 1. - řešení

  Jak je možno převést výpočet limity \(\lim_{x \to 0_+} \frac{\ln{(\cos {ax})}}{\ln{(\cos {bx})}}; b,a \in R\) na výpočet známé limity \(\lim_{x \to 1}\frac{\ln{x}}{x-1}=1\)?

  Celý výraz rozšíříme:

  \[\lim_{x \to 0_+} \frac{\ln{(\cos {ax})}}{\ln{(\cos {bx})}} \cdot \frac {(\cos {bx}-1) \cdot (\cos {ax}-1)}{(\cos {bx}-1)\cdot(\cos {ax}-1)}\]

  Dle věty o aritmetice limit výraz rozepíšeme jako součin limit:

  \[\lim_{x \to 0_+} \frac{\ln{(\cos {ax})}}{\ln{(\cos {bx})}} \cdot \frac {(\cos {bx}-1) \cdot (\cos {ax}-1)}{(\cos {bx}-1)\cdot(\cos {ax}-1)}=\] \[=\lim_{x \to 0_+} \frac{\ln{(\cos {ax})}}{{(\cos {ax}-1)}} \cdot \lim_{x \to 0_+} \frac {(\cos {bx}-1) }{\ln ({\cos {bx})}}\cdot \lim_{x \to 0_+} \frac{(\cos {ax}-1)}{(\cos {bx}-1)} \]

  Pokud následnými výpočty ukážeme, že pravá strana má smysl, byla věta o aritmetice limit použita korektně.

  Třetí limitě se budeme věnovat v následujících částech řešení, zde vypočteme první dvě.

  V argumentu logaritmické funkce se vyskytuje funkce goniometrická a v jejím argumentu pak funkce lineární. Využijeme tedy věty o limitě složené funkce. Protože obě limity mají velmi podobný tvar, odvodíme podrobně pouze první z nich.

  Použijeme přitom substituci \(y = \cos(ax)\).

  Protože díky spojitosti kosinu je

  \[\lim_{x\to 0_+} \cos(ax) = \cos(0) = 1,\]

  a limitu

  \[\lim_{y\to 1} \frac{\ln y}{y-1} = 1\]

  známe (viz úlohu Přehled používaných užívaných limit funkcí), vyplývá odtud, že

  \[\lim_{x\to 0_+} \frac{\ln(\cos(ax))}{\cos(ax)-1} = 1,\]

  pokud ověříme podmínku (S) nebo podmínku (P) ve větě o limitě složené funkce. Podmínku (S) ověřit nelze, neboť v bodě 1 není vnější funkce definována. Zkusme tedy ověřit podmínku (P).

  Ptáme se tedy, zda existuje pravé prstencové okolí bodu 0 tak, že \(\cos(ax)\neq 1\) na tomto okolí. To splňuje například volba pravého prstencového okolí jako intervalu \((0,|\frac{1}{a}|)\), neboť v hodnotách argumentu mezi minus jedničkou a jedničkou nabývá kosinus hodnoty 1 pouze v nule.

  Zcela analogicky se odvodí, že

  \[\lim_{x\to 0_+} \frac{\ln(\cos(bx))}{\cos(bx)-1} = 1,\]

  a tedy i limita převráceného zlomku je rovna jedné.

• a) Nápověda 2.

  \(\lim\limits_{x \to 0_+} \frac{(\cos {ax}-1)}{(\cos {bx}-1)}\) řešte s využitím metody rozšíření, aritmetiky limit, věty o limitě složené funkce a známé limity \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\)

• a) Nápověda 2. - řešení

  Rozšíříme chytrou jedničkou na:

  \[\lim\limits_{x \to 0_+} \frac{(\cos {ax}-1)}{(\cos {bx}-1)}\cdot \frac{(ax)^2 \cdot (bx)^2}{(ax)^2 \cdot (bx)^2}=\lim\limits_{x \to 0_+} \frac{(\cos {ax}-1)}{(ax)^2}\cdot \frac{(bx)^2}{(\cos {bx}-1)}\cdot \frac{(ax)^2}{(bx)^2}\]

  Kterou opět pomocí aritmetiky limit rozepíšeme na součin

  \[=\lim\limits_{x \to 0_+} \frac{(\cos {ax}-1)}{(ax)^2}\cdot \lim\limits_{x \to 0_+} \frac{(bx)^2}{(\cos {bx}-1}\cdot \lim\limits_{x \to 0_+} \frac{(ax)^2}{(bx)^2}=\]

  Ve třetí limitě se pokrátí x a pak jde o limitu konstantní funkce.

  První dvě limity je možné určit pomocí věty o limitě složené funkce analogickými postupy, provedeme tedy pouze první z nich.

  Víme, že

  \[\lim\limits_{x\to 0_+} ax = 0,\] \[\lim_{y\to 0} \frac{\cos y-1}{y^2} = -\frac{1}{2},\]

  a protože je také splněna podmínka (P), tedy že existuje pravé prstencové okolí nuly takové, že \(ax \neq 0\) na tomto okolí (lze vzít libovolné pravé prstencové okolí), vyplývá odtud

  \[\lim\limits_{x\to 0_+} \frac{\cos(ax)-1}{(ax)^2} = -\frac{1}{2}.\]

  Zcela analogicky se odvodí, že

  \[\lim\limits_{x\to 0_+} \frac{\cos(bx)-1}{(bx)^2} = -\frac{1}{2}.\]

  Z provedených výpočtů vyplývá, že

  \[=\lim\limits_{x \to 0_+} \frac{(\cos {ax}-1)}{(ax)^2}\cdot \lim\limits_{x \to 0_+} \frac{(bx)^2}{(\cos {bx}-1}\cdot \lim\limits_{x \to 0_+} \frac{(ax)^2}{(bx)^2}=\] \[=-\frac{1}{2} \cdot \frac{-2}{1} \cdot \frac{a^2}{b^2}=\frac{a^2}{b^2}.\]

• a) Řešení

  Dle postupu uvedeného v nápovědách rozšíříme celý výraz

  \[\lim_{x \to 0_+} \frac{\ln{(\cos {ax})}}{\ln{(\cos {bx})}} \cdot \frac {(\cos {bx}-1) \cdot (\cos {ax}-1)}{(\cos {bx}-1)\cdot(\cos {ax}-1)}\]

  a pomocí věty o aritmetice limit jej rozepíšeme jako součin

  \[\lim_{x \to 0_+} \frac{\ln{(\cos {ax})}}{\ln{(\cos {bx})}} \cdot \frac {(\cos {bx}-1) \cdot (\cos {ax}-1)}{(\cos {bx}-1)\cdot(\cos {ax}-1)}=\] \[=\lim_{x \to 0_+} \frac{\ln{(\cos {ax})}}{{(\cos {ax}-1)}} \cdot \lim_{x \to 0_+} \frac {(\cos {bx}-1) }{\ln ({\cos {bx})}}\cdot \lim_{x \to 0_+} \frac{(\cos {ax}-1)}{(\cos {bx}-1)} = \]

  Všechny tři limity byly vyčísleny v řešení obou nápověd.

  Pro celkovou limitu tedy získáváme:

  \[ = 1 \centerdot 1 \centerdot \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2}{b^2}.\]

  Čímž je mimochodem také odůvodněno, že věta o aritmetice limit byla v průběhu řešení úlohy vždy použita korektně.

• b) Nápověda

  Využijte vlastností logaritmu.

• b) Řešení

  Limitu \(\lim_{x \to 1} (1-x) : (\ln{x^2})\) přepíšeme jako limitu

  \[\lim_{x \to 1} (1-x)\cdot \frac{1}{2\ln{x}} = -\frac{1}{2}\centerdot\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{\ln{x}}.\]

  Tato limita je v podstatě jednou ze známých limit s prohozeným čitatelem a jmenovatelem (viz Přehled používaných užívaných limit funkcí), a tudíž

  \[-\frac{1}{2}\centerdot\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{\ln{x}} = -\frac{1}{2}\centerdot 1 = -\frac{1}{2}.\]

• c) Nápověda

  Výraz vhodně upravte, tak aby se dalo využít známých limit. Použijte vlastnosti logaritmu, aritmetiku limit, větu o limitě složené funkce kombinovanou se vhodnou substitucí.

• c) Řešení

  Limitu \(\lim\limits_{x \to a} \frac{\log_a{x}-\log_x{a}}{x-a}\) přepíšeme pomocí vztahu \(\log_u{v}=\frac{\ln{v}}{\ln{u}}\) na tvar

  \[\lim\limits_{x \to a} \frac{\log_a{x}-\log_b{x}}{x-a}=\lim\limits_{x \to a}\frac{\frac{\ln{x}}{\ln{a}}-\frac{\ln{a}}{\ln{x}}}{x-a}=\lim\limits_{x \to a}\frac{\frac{\ln{x} \ln{x}- \ln{a} \ln{a}}{\ln{a} \ln{x}}}{x-a}=\]

  \[= \lim\limits_{x \to a}\frac{\ln^2{x} - \ln^2{a} }{(\ln{a} \ln{x}) \cdot(x-a)}\]

  Užijeme vzorec \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) a limitu přepíšeme jako:

  \[\lim\limits_{x \to a}\frac{\ln^2{x} - \ln^2{a} }{(\ln{a} \ln{x}) \cdot(x-a)}=\lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{x}-\ln{a})(\ln{x}+\ln{a}) }{(\ln{a} \ln{x}) \cdot(x-a)}\]

  Limitu dále rozepíšeme jako:

  \[\lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{x}-\ln{a})(\ln{x}+\ln{a}) }{(\ln{a} \ln{x}) \cdot(x-a)}=\lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{x}-\ln{a})}{(x-a)}\cdot \frac {(\ln{x}+\ln{a})}{\ln{x} \ln{a}}\]

  Použijeme pravidlo, že rozdíl logaritmů je roven logaritmu podílu. Pak výraz rozšíříme a užijeme větu o aritmetice limit:

  \[\lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{\frac {x}{a}})}{(x-a)}\cdot \frac {(\ln{x}+\ln{a})}{\ln{x} \ln{a}}\cdot \frac{\frac{x}{a}-1}{\frac{x}{a}-1}=\] \[=\lim\limits_{x \to a}\frac{1}{(x-a)}\cdot \frac {(\ln{x}+\ln{a})}{\ln{x} \ln{a}}\cdot \frac{\frac{x}{a}-1}{1} \cdot \lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{\frac {x}{a}})}{\frac{x}{a}-1} = \] a další úpravou získáme \[=\lim\limits_{x \to a}\frac{1}{a}\cdot \frac {(\ln{x}+\ln{a})}{\ln{x} \ln{a}}\cdot \lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{\frac {x}{a}})}{\frac{x}{a}-1}.\]

  První limitu lze nyní vypočítat dosazením díky spojitosti logaritmu. Použijeme větu o limitě složené funkce na druhou limitu.

  Protože

  \[\lim_{x\to a} \frac{x}{a} = 1\]

  a na libovolném prstencovém okolí jedničky je \(\frac{x}{a} \neq 1,\), je

  \[\lim\limits_{x \to a}\frac{(\ln{\frac {x}{a}})}{\frac{x}{a}-1} = \lim\limits_{y \to 1}\frac{\ln y}{y-1},\]

  a tedy pro původní limitu dostáváme

  \[\lim\limits_{x \to a} \frac {1}{a} \cdot \frac {(\ln{x}+\ln{a})}{\ln{x} \ln{a}} \cdot \lim\limits_{y \to 1}\frac{\ln{y}}{y-1} = \] \[=\frac{2\ln{a}}{\ln^2{a}}\cdot \frac{1}{a} \cdot 1 = \frac{2}{a\cdot \ln{a}}\]