Sbírka řešených úloh

Limita funkce umocněné na jinou funkci II.

Úloha číslo: 1219

• Nápověda 1

  Umocněte čitatel i jmenovatel a dle aritmetiky limit přepište limitu podílu jako podíl limit.

• Řešení nápovědy 1

  Provedeme naznačené mocnění na čitatel a jmenovatel. Dle věty o aritmetice limit můžeme psát \[ \lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1+\mathrm{tg}\, x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}= \lim\limits_{x\to 0} \frac{\left(1+\mathrm{tg}\, x\right)^{\frac{1}{\sin x}}}{\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}}} = \frac{\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\mathrm{tg}\, x\right)^{\frac{1}{\sin x}}}{\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}}}, \] pokud bude mít výraz na pravé straně smysl.

• Nápověda 2

  Vypočtěte nejprve limitu ve jmenovateli. Zaveďte substituci \(y = \sin x\) a limitu dořešte.

• Řešení nápovědy 2

  Nejprve vypočítáme limitu ve jmenovateli \[ \lim_{x\to 0}\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}}.\]

  ---

  Neboť \(\lim_{x\to 0} \sin x = 0\) a současně existujte prstencové okolí \(0\), na kterém platí \[\sin x \neq 0,\] je splněna podmínka (P) Věta o limitě složené funkce. Díky tomu lze zavést substituci \(y=\sin x\) a psát \[ \lim_{x\to 0} (1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}} = \lim_{y\to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}}. \] Užitím známé ekvivalence \[ \lim_{y\to0+}f(y) = L \Leftrightarrow \lim_{z\to\infty}f\left(\frac{1}{z}\right) = L \] limitu dopočítáme \[ \lim_{y\to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}} =\lim_{z\to \infty} \left(1+\frac{1}{z}\right)^{z}= e. \]

• Nápověda 3

  Vypočtěte limitu v čitateli. Užijte exponenciální trik a známé limity pro logaritmus.

• Řešení nápovědy 3

  Nejprve aplikujeme exponenciální trik \[ \lim_{x\to 0} (1+\mathrm{tg}\, x)^\frac{1}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \exp \left[{\frac{1}{\sin x}\cdot \ln (1+\mathrm{tg}\, x)}\right]. \] Neboť exponenciála je spojitá na \(\mathbb{R}\), lze limitu „vnořit“ (viz Věta o limitě složené funkce) \[ \lim_{x\to 0} \exp \left[{\frac{1}{\sin x}\cdot \ln (1+\mathrm{tg}\, x)}\right] = \exp \lim_{x\to 0} \left[{\frac{1}{\sin x}\cdot \ln (1+\mathrm{tg}\, x)}\right].\] Výraz vhodně rozšíříme, aby vedl po substituci na známou \(\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}=1\) \[ \exp \lim_{x\to 0} \left[{\frac{1}{\sin x}\cdot \ln (1+\mathrm{tg}\, x)}\right] = \exp \lim_{x\to 0} \left[{\frac{1+\mathrm{tg}\, x - 1}{\sin x}\cdot \frac{\ln (1+\mathrm{tg}\, x)}{1+\mathrm{tg}\, x - 1}}\right].\] Výrazy zjednodušíme a současně použijeme větu o aritmetice limit \[\exp \lim_{x\to 0} \left[{\frac{1+\mathrm{tg}\, x - 1}{\sin x}\cdot \frac{\ln(1+\mathrm{tg}\, x)}{1+ \mathrm{tg}\, x - 1}}\right]= \exp \left[{\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+\mathrm{tg}\, x)}{\mathrm{tg}\, x}}\right]. \] Aritmetika limit byla použita správně, bude-li mít výraz smysl.

  Neboť platí \[ \lim_{x\to 0} (1+\mathrm{tg}\, x) = 1\] a existuje prstencové okolí \(0\) takové, že \[(1+\mathrm{tg}\, x)\neq 1,\] např. \((-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2})\setminus {0}\), je splněn předpoklad (P) věty o aritmetice limit a zavedením subtituce \(u = 1 + \mathrm{tg}\, x\) a užitím známé limity pro logaritmus lze limitu dopočítat

  \[\exp \left[{\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+\mathrm{tg}\, x)}{\mathrm{tg}\, x}}\right]= \exp \left[{\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\cdot \lim_{u\to 1}\frac{\ln u}{u-1}}\right]= \] \[=\exp [1{\cdot} 1] = e.\]

• Nápověda 4

  Nyní máme vypočítanou limitu čitatele a limitu jmenovatele. Bude-li mít výsledný výraz smysl, bude zadaná limita podílu rovna podílu limit. Proveďte.

• Řešení nápovědy 4

  Již jsme vypočítali limity \[ \lim_{x\to 0} (1+\mathrm{tg}\, x)^\frac{1}{\sin x} = e, \] \[ \lim\limits_{x\to 0}\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}}=e.\] Vrátíme se na začátek a vypočítané limity jednoduše dosadíme \[ \lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1+\mathrm{tg}\, x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}= \lim\limits_{x\to 0} \frac{\left(1+\mathrm{tg}\, x\right)^{\frac{1}{\sin x}}}{\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}}} = \frac{\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\mathrm{tg}\, x\right)^{\frac{1}{\sin x}}}{\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}}} = \frac{e}{e} = 1. \]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Provedeme naznačené mocnění na čitatel a jmenovatel. Dle věty o aritmetice limit můžeme psát \[ \lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1+\mathrm{tg}\, x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}= \lim\limits_{x\to 0} \frac{\left(1+\mathrm{tg}\, x\right)^{\frac{1}{\sin x}}}{\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}}} = \frac{\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\mathrm{tg}\, x\right)^{\frac{1}{\sin x}}}{\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}}}, \]

  pokud bude mít výraz na pravé straně smysl.

  Nejprve vypočítáme limitu ve jmenovateli \[ \lim\limits_{x\to 0}\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}}.\]

  ---

  Neboť \(\lim\limits_{x\to 0} \sin x = 0\) a současně existujte prstencové okolí \(0\), na kterém platí \[\sin x \neq 0,\] je splněna podmínka (P) Věta o limitě složené funkce. Díky tomu lze zavést substituci \(y=\sin x\) a psát \[ \lim_{x\to 0} (1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}} = \lim_{y\to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}}. \] Užitím známe ekvivalence \[ \lim_{y\to0+}f(y) = L \Leftrightarrow \lim_{z\to\infty}f\left(\frac{1}{z}\right) = L \] limitu dopočítáme \[ \lim_{y\to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}} =\lim_{z\to \infty} \left(1+\frac{1}{z}\right)^{z}= e. \]

  ---

  Dále vypočítáme limitu v čitateli. Nejprve aplikujeme exponenciální trik \[ \lim_{x\to 0} (1+\mathrm{tg}\, x)^\frac{1}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \exp \left[{\frac{1}{\sin x}\cdot \ln (1+\mathrm{tg}\, x)}\right]. \] Neboť exponenciála je spojitá na \(\mathbb{R}\), lze limitu „vnořit“ (viz Věta o limitě složené funkce) \[ \lim_{x\to 0} \exp \left[{\frac{1}{\sin x}\cdot \ln (1+\mathrm{tg}\, x)}\right] = \exp \lim_{x\to 0} \left[{\frac{1}{\sin x}\cdot \ln (1+\mathrm{tg}\, x)}\right].\] Výraz vhodně rozšíříme, aby vedl po substituci na známou \(\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}=1\) \[ \exp \lim_{x\to 0} \left[{\frac{1}{\sin x}\cdot \ln (1+\mathrm{tg}\, x)}\right] = \exp \lim_{x\to 0} \left[{\frac{1+\mathrm{tg}\, x - 1}{\sin x}\cdot \frac{\ln (1+\mathrm{tg}\, x)}{1+\mathrm{tg}\, x - 1}}\right].\] Výrazy zjednodušíme a současně použijeme větu o aritmetice limit \[\exp \lim_{x\to 0} \left[{\frac{1+\mathrm{tg}\, x - 1}{\sin x}\cdot \frac{\ln (1+\mathrm{tg}\, x)}{1+\mathrm{tg}\, x - 1}}\right]= \exp \left[{\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+\mathrm{tg}\, x)}{\mathrm{tg}\, x}}\right]. \] Aritmetika limit byla použita správně, bude-li mít výraz smysl.

  Neboť platí \[ \lim_{x\to 0} (1+\mathrm{tg}\, x) = 1\] a existuje prstencové okolí \(0\) takové, že \[(1+\mathrm{tg}\, x)\neq 1,\] např. \((-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2})\setminus {0}\), je splněn předpoklad (P) věty o aritmetice limit a zavedením subtituce \(u = 1 + \mathrm{tg}\, x\) a užitím známé limity pro logaritmus lze limitu dopočítat

  \[\exp \left[{\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+\mathrm{tg}\, x)}{\mathrm{tg}\, x}}\right]= \exp \left[{\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\cdot \lim_{u\to 1}\frac{\ln u}{u-1}}\right]= \] \[=\exp [1{\cdot} 1] = e.\]

  ---

  Již jsme vypočítali limity \[ \lim_{x\to 0} (1+\mathrm{tg}\, x)^\frac{1}{\sin x} = e, \] \[ \lim\limits_{x\to 0}\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}}=e.\] Vrátíme se na začátek a vypočítané limity jednoduše dosadíme \[ \lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1+\mathrm{tg}\, x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}= \lim\limits_{x\to 0} \frac{\left(1+\mathrm{tg}\, x\right)^{\frac{1}{\sin x}}}{\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}}} = \frac{\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\mathrm{tg}\, x\right)^{\frac{1}{\sin x}}}{\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x}}} = \frac{e}{e} = 1. \]

• Výsledek

  \[ \lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1+\mathrm{tg}\, x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}} =1\mathrm{.} \]