Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I.

Úloha číslo: 1478

Vydělte polynom \(P(x)=x^3+4x-2\) polynomem \(Q(x)=x^2+3\)

  • Motivace

    Dělení polynomu polynomem je algoritmus vedoucí k zjednodušení racionálních lomených funkcí, obvykle využívaný v kombinaci s metodou rozkladu na parciální zlomky při integraci lomených racionálních funkcí.

    Proces je obdobný jako při běžném dělení. Jeho výsledkem je obvykle polynom plus lomená racionální funkce s nižším stupněm polynomu v čitateli než před začátkem procesu (v podstatě analogie zbytku po dělení).

    Nevýhodou dělení polynomu polenomem metodou, známou ze střední školy, je poměrně nepříjemná zdlouhavost celého procesu s možností snadno se dopustit chyby, zejména v příapdě polynomů vyšších stupňů.

    V této úloze si ukážeme, jak mnohdy prosté přičtení chytré nuly, tedy vhodně zvoleného výrazu, jehož celková hodnota je nulová, může vést rychle ke kýženému výsledku.

    Vše v rámci hesla: Matematik si svou práci co možná nejvíce zjednodušuje.

    V této úloze si ukážeme složitější případ než v úloze Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly, kdy si stupně polynomů navzájem neodpovídají.

  • Vhodný zápis výrazu

    Výraz zapište jako lomenou racionální funkci.

  • Chytrá nula

    Polynom v čitateli zlomku vhodně upravte a rozšiřte pomocí chytré nuly.

  • Konečné dělení

    Námi upravený zlomek nyní rozdělme na dva zlomky tak, aby byl celkový výsledek dělení původních polynomů patrný na první pohled (ve formě polynom plus zbytek po dělení polynomů).

  • Řešení

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{x^3+4x-2}{x^2+3}=\]

    Našim cílem (obdobně jako v úloze Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly) bude upravit polynom v čitateli tak, aby obsahoval polynom ze jmenovatele (i vícekrát) a zároveň tak, abychom následným krácením došli k výsledku ve tvaru polynom plus zbytek po dělení polynomů. Oproti odkazované úloze je zde polynom v čitateli vyššího stupně než ve jmenovateli, proto bude pravděpodobně nutné rozšířit chytrou nulou vícekrát.

    Začneme s úpravou vedoucího tj. kubického členu polynomu v čitateli zlomku.

    Pro přehlednost si zmíněný člen vyznačme červenou závorkou.

    \[=\frac{\color{red}{(}x^3\color{red}{)}+4x-2}{x^2+3}\]

    Abychom v závorce získali stejný výraz jako je ve jmenovateli, musíme z ní nejprve vytknout x a poté do ní přidat chytrou nulu v podobě \((+3-3)\).

    \[=\frac{x\color{red}{(}x^2+\color{blue}{3}-\color{green}{3}\color{red}{)}+4x-2}{x^2+3}\]

    Z červené závorky nyní vyhodíme zelenou trojku, modrou ponecháme, čímž obdržíme polynom ze jmenovatele.

    \[=\frac{x\color{red}{(}x^2+3\color{red}{)}+x-2}{x^2+3}\]

    Je patrné, že jsme u konce, neboť členy v čitateli vně červenou závorku tvoří dohromady polynom stupně nižšího než ve jmenovateli a tedy po vydělení zbytek v kýžené podobě.

    Vydělíme-li výraz v červené závorce výrazem ve jmenovateli, je zjevné, že jako výsledek obdržíme \(x\). Pro přehlednost uzavřeme oranžovou závorkou všechny sčítance vně červené závorky.

    \[=\frac{x\color{red}{(}x^2+3\color{red}{)}+\color{orange}{(}x-2\color{orange}{)}}{x^2+3}\]

    Celý zlomek nyní roztrhneme na zlomek obsahující červenou a na zlomek obsahují oranžovou závorku. Je zjevné, že zpětným sečtením takto získaných zlomků opět obdržíme původní zlomek.

    \[=\frac{x\color{red}{(}x^2+3\color{red}{)}}{x^2+3}+\frac{\color{orange}{(}x-2\color{orange}{)}}{x^2+3}\]

    Co lze zkrátit, zkraťme. Získáme tak kýžený výsledek, v požadované formě, operace dělení polynomů.

    \[=x+\frac{\color{black}{}x-2\color{black}{}}{x^2+3}\]

    Polynom stupně jedna plus zbytek, tedy lomenou racionální funkci, kde polynom v čitateli má stupeň nižší než původní polynom v čitateli a zároveň nižší stupeň než polynom ve jmenovateli.

  • Výsledek

    \[=x+\frac{\color{black}{}x-2\color{black}{}}{x^2+3}\]
  • Další úloha v sérii

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze