Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I.
Úloha číslo: 1478
Vydělte polynom \(P(x)=x^3+4x-2\) polynomem \(Q(x)=x^2+3\)
Motivace
Dělení polynomu polynomem je algoritmus vedoucí k zjednodušení racionálních lomených funkcí, obvykle využívaný v kombinaci s metodou rozkladu na parciální zlomky při integraci lomených racionálních funkcí.
Proces je obdobný jako při běžném dělení. Jeho výsledkem je obvykle polynom plus lomená racionální funkce s nižším stupněm polynomu v čitateli než před začátkem procesu (v podstatě analogie zbytku po dělení).
Nevýhodou dělení polynomu polenomem metodou, známou ze střední školy, je poměrně nepříjemná zdlouhavost celého procesu s možností snadno se dopustit chyby, zejména v příapdě polynomů vyšších stupňů.
V této úloze si ukážeme, jak mnohdy prosté přičtení chytré nuly, tedy vhodně zvoleného výrazu, jehož celková hodnota je nulová, může vést rychle ke kýženému výsledku.
Vše v rámci hesla: Matematik si svou práci co možná nejvíce zjednodušuje.
V této úloze si ukážeme složitější případ než v úloze Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly, kdy si stupně polynomů navzájem neodpovídají.
Vhodný zápis výrazu
Výraz zapište jako lomenou racionální funkci.
Chytrá nula
Polynom v čitateli zlomku vhodně upravte a rozšiřte pomocí chytré nuly.
Konečné dělení
Námi upravený zlomek nyní rozdělme na dva zlomky tak, aby byl celkový výsledek dělení původních polynomů patrný na první pohled (ve formě polynom plus zbytek po dělení polynomů).
Řešení
\[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{x^3+4x-2}{x^2+3}=\]Našim cílem (obdobně jako v úloze Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly) bude upravit polynom v čitateli tak, aby obsahoval polynom ze jmenovatele (i vícekrát) a zároveň tak, abychom následným krácením došli k výsledku ve tvaru polynom plus zbytek po dělení polynomů. Oproti odkazované úloze je zde polynom v čitateli vyššího stupně než ve jmenovateli, proto bude pravděpodobně nutné rozšířit chytrou nulou vícekrát.
Začneme s úpravou vedoucího tj. kubického členu polynomu v čitateli zlomku.
Pro přehlednost si zmíněný člen vyznačme červenou závorkou.
\[=\frac{\color{red}{(}x^3\color{red}{)}+4x-2}{x^2+3}\]Abychom v závorce získali stejný výraz jako je ve jmenovateli, musíme z ní nejprve vytknout x a poté do ní přidat chytrou nulu v podobě \((+3-3)\).
\[=\frac{x\color{red}{(}x^2+\color{blue}{3}-\color{green}{3}\color{red}{)}+4x-2}{x^2+3}\]Z červené závorky nyní vyhodíme zelenou trojku, modrou ponecháme, čímž obdržíme polynom ze jmenovatele.
\[=\frac{x\color{red}{(}x^2+3\color{red}{)}+x-2}{x^2+3}\]Je patrné, že jsme u konce, neboť členy v čitateli vně červenou závorku tvoří dohromady polynom stupně nižšího než ve jmenovateli a tedy po vydělení zbytek v kýžené podobě.
Vydělíme-li výraz v červené závorce výrazem ve jmenovateli, je zjevné, že jako výsledek obdržíme \(x\). Pro přehlednost uzavřeme oranžovou závorkou všechny sčítance vně červené závorky.
\[=\frac{x\color{red}{(}x^2+3\color{red}{)}+\color{orange}{(}x-2\color{orange}{)}}{x^2+3}\]Celý zlomek nyní roztrhneme na zlomek obsahující červenou a na zlomek obsahují oranžovou závorku. Je zjevné, že zpětným sečtením takto získaných zlomků opět obdržíme původní zlomek.
\[=\frac{x\color{red}{(}x^2+3\color{red}{)}}{x^2+3}+\frac{\color{orange}{(}x-2\color{orange}{)}}{x^2+3}\]Co lze zkrátit, zkraťme. Získáme tak kýžený výsledek, v požadované formě, operace dělení polynomů.
\[=x+\frac{\color{black}{}x-2\color{black}{}}{x^2+3}\]Polynom stupně jedna plus zbytek, tedy lomenou racionální funkci, kde polynom v čitateli má stupeň nižší než původní polynom v čitateli a zároveň nižší stupeň než polynom ve jmenovateli.
Výsledek
\[=x+\frac{\color{black}{}x-2\color{black}{}}{x^2+3}\]Další úloha v sérii
