Variace konstant a aplikace wronskiánu
Úloha číslo: 1888
Určete obecné řešení rovnice \(y''-2y'+y=\frac{\mathrm{e}^x}{x}\).
Teoretický rozbor
Stejně jako v případě lineárních rovnic prvního řádu i nyní máme možnost pomocí variace konstant ze znalosti obecného řešení \(y_h\) homogenní rovnice
\[a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+\cdots + a_0(x)y = 0;\, a_{n}\ne 0\]určit jedno konkrétní řešení \(y_p\) příslušné rovnice s pravou stranou
\[a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+\cdots + a_0(x)y = b(x) \,.\]Konkrétně, je-li
\[y_h=c_1y_1+c_2y_2+\cdots + c_ny_n = \sum_{k=1}^n c_k y_k;\, c_1, c_2, \cdots , c_2 \in \mathbb{R} \,,\]pak \(y_p\) hledáme nahrazením konstant \( c_1, c_2, \cdots , c_n \) funkcemi \(c_1(x), c_2(x), \cdots , c_n(x)\), nebo-li
\[y_p=c_1(x)y_1+c_2(x)y_2+\cdots + c_n(x)y_n =\sum_{k=1}^n c_k(x) y_k\,.\]Celý problém tak přechází v hledání vhodných funkcí \(c_1(x), c_2(x), \cdots , c_n(x)\).
Vzhledem ke skutečnosti, že hledáme libovolné jedno řešení \(y_p\) rovnice s pravou stranou, můžeme na funkce \(c_1(x), c_2(x), \cdots , c_n(x)\) klást podmínky tak, aby cesta k nim byla co nejsnazší.
Uvědomíme si, že při užití hrubé síly bychom do řešené rovnice dosazovali \(y_p\) v příslušných derivacích. Podmínky proto budeme volit tak, aby vztahy pro derivace byly co nejjednodušší. Pro první derivaci \(y'_p\) tak dle věty o derivaci součtu platí
\[y'_p=\sum_{k=1}^n c'_k(x) y_k+\sum_{k=0}^n c_k(x) y'_k\,.\]Požadujeme-li však, aby \(\sum_{k=1}^n c'_k(x) y_k=0\), předchozí výraz se zjednoduší na
\[y'_p=\sum_{k=1}^n c_k(x) y'_k\,.\]Pro druhou derivaci \(y''_p\) bude dále platit
\[y''_p=\sum_{k=1}^n c'_k(x) y'_k+\sum_{k=0}^n c_k(x) y''_k\,.\]Požadujeme-li však aby \(\sum_{k=0}^n c'_k(x) y'_k=0\), předchozí výraz se zjednoduší na
\[y''_p=+\sum_{k=1}^n c_k(x) y''_k\,.\]Zobecníme-li náš požadavek na \(\sum_{k=0}^n c'_k(x) y^{(j)}_k=0;\, j= 0{,}1, \cdots , n-2\), získáme obdobně
\[y^{(j)}_p=\sum_{k=1}^n c_k(x) y^{(j)}_k;\,j= 0{,}1, \cdots , n-1\,.\]Konečně pak pro \(y^{(n)}\) obdržíme vztah
\[y^{(n)}_p=\sum_{k=1}^n c'_k(x) y^{(n-1)}_k+\sum_{k=0}^n c_k(x) y^{(n)}_k\,.\]Tímto způsobem jsme pro funkce \(c_1(x), c_2(x), \cdots, c_n(x)\) určili \(n-1\) podmínek. Poslední \(n\)-tá podmínka vyplývá ze skutečnosti, že navrhované \(y_p\) je řešením rovnice s pravou stranou, a tedy
\[\begin{align*} a_{n}y_p^{(n)}+a_{n-1}(x)y_p^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y_p^{(n-2)}+\cdots + a_0(x)y_p &= b(x)\\ a_{n}(x)\left(\sum_{k=1}^n c'_k(x) y^{(n-1)}_k+\sum_{k=1}^n c_k(x) y^{(n)}_k\right) +\\ +\cdots + a_1(x)\sum_{k=1}^n c_k(x) y'_k +a_0(x)\sum_{k=1}^n c_k(x) y_k &= b(x)\\ a_{n}(x)\sum_{k=1}^n c'_k(x) y^{(n-1)}_k+ \Biggl(\sum_{k=1}^n c_k(x) a_{n}(x)y^{(n)}_k +\\ +\cdots + \sum_{k=1}^n c_k(x) a_{1}(x) y'_k +\sum_{k=1}^n c_k(x)a_0(x) y_k \Biggr)&= b(x)\\ a_{n}(x)\sum_{k=1}^n c'_k(x) y^{(n-1)}_k+ \sum_{k=1}^n c_k(x) \sum_{j=0}^n a_{j}(x)y^{(j)}_k &= b(x)\,. \end{align*}\]Povšimneme si, že pro každé \(k = 1{,}2, \cdots ,n\) má příslušný sčítanec vnější sumy tvar \(c_k(x)\sum_{j=0}^n a_{j}(x)y^{(j)}_k \). Nebo-li \(c_k(x)\) krát homogenní rovnice po dosazení \(y_k\). Využijeme-li následně, že \(y_k\) řeší homogenní rovnici, získáme
\[\begin{align*} a_{n}(x)\sum_{k=1}^n c'_k(x) y^{(n-1)}_k &= b(x)\\ \sum_{k=1}^n c'_k(x) y^{(n-1)}_k &= \frac{b(x)}{a_n(x)}\,. \end{align*}\]Našich \(n\) podmínek na funkce \(c_1(x), c_2(x), \cdots, c_n(x)\) v podstatě představuje soustavu \(n\) lineárních rovnic
\[\begin{align*} c'_1(x) y_1 + c'_2(x) y_2 +\cdots + c'_n(x)y_n &=0 \\ c'_1(x) y'_1 + c'_2(x) y'_2 +\cdots + c'_n(x)y'_n &=0 \\ \vdots~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&\vdots \\ c'_1(x) y^{(n-1)}_1+c'_2(x) y^{(n-1)}_2+ \cdots + c'_n(x) y^{(n-1)}_n & = \frac{b(x)}{a_n(x)}\,. \end{align*}\]Determinantem matice této soustavy je wronskián \(W(y_1, y_2, \cdots, y_n)(x)\), který je dle předpokladu, že \(y_1, y_2, \cdots ,y_n\) tvoří fundamentální systém rovnice, nenulový. V řeči lineární algebry tato skutečnost ovšem znamená, že funkce \(c_1'(x),c_2'(x), \cdots , c_n'(x)\) jsou z rovnic daných námi zvolenými podmínkami určeny jednoznačně.
Funkce \(c_1(x),c_2(x), \cdots , c_n(x)\) konečně získáme jako příslušné primitivní funkce funkcí \(c_1'(x),c_2'(x), \cdots , c_n'(x)\).
Pro určení \(c'_1(x),c'_2(x), \cdots , c'_n(x)\) můžeme využít také Cramerovo pravidlo, kdy
\[c'_i = w^{-1}\bigl(y_1, y_2, \cdots , y_n\bigr)(x) \begin{vmatrix} y_1(x)& \cdots & 0 & y_i+1(x) &\cdots & y_n(x) \\ y'_1(x)& \cdots & 0 & y'_i+1 & \cdots & y'_n(x) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ y^{(n-1)}_1(x)& \cdots &\frac{b(x)}{a_n(x)} & y^{(n-1)}_i+1 & \cdots & y^{(n-1)}_n(x) \end{vmatrix} \,.\]Homogenní rovnice
Určete řešení příslušné homogenní rovnice v souladu s Homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty.
Rovnice s pravou stranou pomocí Variace konstant
Pomocí variace konstant určete podobu partikulárního řešení rovnice (tj. sérií vhodně stanovených podmínek pro derivace navrhovaného řešení).
Rovnice s pravou stranou pomocí Wronskiánu
V souladu s rozborem úlohy se nyní pokuste k témuž výsledku dojít i pomocí wronskiánu.
Řešení
Řešení
Nejprve určíme v souladu s charakteristickou rovnici příslušné homogenní rovnice
\[\begin{align*} \lambda^2-2\lambda +1 & = 0\\ (\lambda-1)^2 &= 0 \,. \end{align*}\]Vidíme, že charakteristické rovnici přísluší dvojnásobný kořen \(\lambda =1\). Její obecné řešení proto vyjádříme ve tvaru
\[y_h= c_1\mathrm{e}^x +c_2x\mathrm{e}^x\,.\]Abychom určili jedno konkrétní řešení rovnice s pravou stranou \(y_p\), použijeme variaci konstant
\[y_p= c_1(x)\mathrm{e}^x +c_2(x)x\mathrm{e}^x \,.\]Následně vyjádříme \(y_p\) jako
\[y^{\prime}_p= c^{\prime}_1(x)\mathrm{e}^x + c_1(x)\mathrm{e}^x +c^{\prime}_2(x)x\mathrm{e}^x+c_2(x)\mathrm{e}^x +c_2(x)x\mathrm{e}^x \]a stanovíme první podmínku pro hledané funkce
\[c^{\prime}_1(x)\mathrm{e}^x +c^{\prime}_2(x)x\mathrm{e}^x = 0 \,.\]S ohledem na naši podmínku pak vztah pro $ y^{\prime}_p $ upravíme na
\[y^{\prime}_p= c_1(x)\mathrm{e}^x + c_2(x)\mathrm{e}^x +c_2(x)x\mathrm{e}^x \,.\]Dále vyjádříme $ y^{\prime\prime}_p $ jako
\[y^{\prime\prime}_p= c^{\prime}_1(x)\mathrm{e}^x+ c_1(x)\mathrm{e}^x + c^{\prime}_2(x)\mathrm{e}^x + c_2(x)\mathrm{e}^x+ c^{\prime}_2(x)x\mathrm{e}^x +c_2(x)\mathrm{e}^x +c_2(x)x\mathrm{e}^x\,,\]s přihlédnutím k naší podmínce pak
\[y^{\prime\prime}_p= c_1(x)\mathrm{e}^x + c_2(x)\mathrm{e}^x+ c^{\prime}_2(x)\mathrm{e}^x +c_2(x)\mathrm{e}^x +c_2(x)x\mathrm{e}^x\,.\]Stanovíme druhou podmínku, že \(y_p\) je řešením rovnice s pravou stranou a získané \(y_p\), \(y^{\prime}_p\) a \(y^{\prime\prime}_p\) dosadíme do řešené nehomogenní rovnice, obdržíme tak
\[\bigl(c_1(x)\mathrm{e}^x + c_2(x)\mathrm{e}^x+ c^{\prime}_2(x)\mathrm{e}^x +c_2(x)\mathrm{e}^x +c_2(x)x\mathrm{e}^x\bigr)-2\bigl(c_1(x)\mathrm{e}^x+ \] \[+ c_2(x)\mathrm{e}^x +c_2(x)x\mathrm{e}^x\bigr)+\bigl(c_1(x)\mathrm{e}^x +c_2(x)x\mathrm{e}^x\bigr)=\frac{\mathrm{e}^x}{x} \,,\]po úpravách pak
\[c^{\prime}_2(x)=\frac{1}{x} \,.\]Což je diferenciální rovnice vedoucí na přímou integraci
\[\begin{align*} c_2(x)&=\int\frac{1}{x}\mathrm{d} x\\ c_2(x)&=\ln |x| + K_1 \,. \end{align*}\]Konstantu \(K_1\) položíme rovnu nule, neboť hledáme jedno konkrétní řešení rovnice s pravou stranou. Můžeme si navíc povšimnout, že konstanta \(K_1\) bude zastoupena v obecném řešení.
Do podmínky \(c^{\prime}_1(x)\mathrm{e}^x +c'_2(x)x\mathrm{e}^x = 0\) dosadíme \(c^{\prime}_2(x)=\frac{1}{x} \) a získáme tak diferenciální rovnici vedoucí opět na přímou integraci
\[\begin{align*} c^{\prime}_1(x)\mathrm{e}^x +\frac{1}{x}x\mathrm{e}^x &= 0\\ c^{\prime}_1(x\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x &= 0\\ c^{\prime}_1(x) &= -1\\ c_1(x) &= -\int 1 \mathrm{d} x\\ c_1(x) &= -x + K_2 \,. \end{align*}\]Konstantu \(K_2\) ze stejného důvodu jako konstantu \(K_1\) pokládáme rovnu nule, rovněž ta bude zastoupena v obecném řešení.
S přihlédnutí k podobě funkcí \(c_1(x)\), \(c_2(x)\) konečně určíme partikulární řešení
\[y_p= -x\mathrm{e}^x +\ln |x|x\mathrm{e}^x \,.\]Pro hledané obecné řešení tak celkově bude platit
\[y=y_h+y_p = c_1\mathrm{e}x +c_2x\mathrm{e}^x -x\mathrm{e}^x +\ln |x|x\mathrm{e}^x \,.\]Procvičme ještě pro úplnost využití wronskiánu. V tomto případě konkrétně
\[w\bigl(y_1,y_2\bigr)(x)= \begin{vmatrix} \mathrm{e}^x & \mathrm{e}^xx \\ \mathrm{e}^x & \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^xx \end{vmatrix}= \mathrm{e}^{2x} \Rightarrow w^{-1}\bigl(y_1,y_2\bigr)(x)=\mathrm{e}^{-2x}\,.\]Pro \(c'_1(x)\), \(c'_2(x)\) pak platí
\[\begin{align*} c'_1(x)&= w^{-1}\bigl(y_1,y_2\bigr)(x) \begin{vmatrix} 0 & \mathrm{e}^xx \\ \frac{1}{x}\mathrm{e}^x & \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^xx \end{vmatrix} &= \mathrm{e}^{-2x}\left(-\frac{1}{x}\mathrm{e}^x\mathrm{e}^xx\right)= -1\\ c'_2(x)&= w^{-1}\bigl(y_1,y_2\bigr)(x) \begin{vmatrix} \mathrm{e}^x & 0 \\ \mathrm{e}^x & \frac{1}{x}\mathrm{e}^x \end{vmatrix} \\ &=\mathrm{e}^{-2x}\left(\frac{1}{x}\mathrm{e}^x\mathrm{e}^x\right) = \frac{1}{x} \,. \end{align*}\]Touto cestou jsme dospěli ke stejným výsledkům pro \(c'_1(x)\), \(c'_2(x)\) jako v předchozím případě, další postup by již byl shodný s dřívějším. Vedl by k témuž obecnému řešení
\[y=y_h+y_p = c_1\mathrm{e}^x +c_2x\mathrm{e}^x -x\mathrm{e}^x +\ln |x|x\mathrm{e}^x \,.\]
