Limity goniometrických funkcí poprvé
Úloha číslo: 1178
Spočtěte následující limity:
a) \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{1-\cos {x}}\)
b) \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos {x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{\sin^2 {x}}\)
c) \(\lim\limits_{x \to a} \frac{\frac{1}{\sin {x}}-\frac{1}{\sin {a}}}{x-a}\)
Rozbor
Je vidět, že se nejspíše neobejdeme bez věty o limitě složené funkce, neboť v počítané limitě se vyskytuje funkce v argumentu jiné funkce.
Budeme se tedy snažit počítané limity vhodně upravit či rozšířit tak, abychom obsažené výrazy postupně zjednodušili. Pro tento účel obecně užíváme specifické vztahy pro goniometrické funkce, v rámci rozšíření obsažené odmocniny pak vzorec \(A^n-B^n\) a užívané limity funkcí, viz Přehled používaných užívaných limit funkcí.
a) Nápověda
Pokuste se počítanou limitu \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{1-\cos {x}}\) vhodně rozšířit tak, abyste ji převedli na výpočet známé limity \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\).
a) Řešení
Počítanou limitu \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{1-\cos {x}}\) musíme vhodně rozšířit tak, abychom ji převedli na výpočet známé limity \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\).
Všimněme si, že ve jmenovateli již máme výraz (\(1-\cos {x}\)).
K převodu problému na známou limitu \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\) nám chybí tento výraz rozšířit zlomkem \(\frac{1}{x^2}\), proto užijeme metody chytré jedničy a celý výraz rozšíříme \(\frac{x^2}{x^2}\):
\[\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{1-\cos {x}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{1-\cos {x}} \cdot \frac {x^2}{x^2}=\]
\[=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{x^2}}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\frac{(1-\cos {x^2})}{x^4}}}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}}\]
Limitu nyní rozepíšeme dle aritmetiky limit součinu na dvě limity:
\[\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\frac{(1-\cos {x^2})}{x^4}}}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}}=\lim\limits_{x \to 0}\sqrt{\frac{(1-\cos {x^2})}{x^4}} \cdot \lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}}\]
Pokud po dokončení výpočtu zjistíme, že pravá strana má smysl, je splněna podmínka použití této věty.
U první z limit provedeme substituci \(y:=x^2\):
\[\lim\limits_{y \to 0}\sqrt{\frac{(1-\cos {y})}{y^2}} \cdot \lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}}\]Druhou z limit určíme pomocí věty o limitě podílu a známé limity \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\) (viz úloha Přehled používaných užívaných limit funkcí), neboť
\[\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}} =\frac{1}{ \lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos {x}}{x^2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2.\]V první limitě určíme nejprve limitu vnitřku odmocniny, tedy limitu
\[\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x^2}{x^4}.\]Použijeme substituci \(y = x^2\). Protože
\[\lim_{x\to 0} x^2 = 0,\]převedeme původní limitu touto substitucí na limitu
\[\lim_{y\to 0} = \frac{1-\cos y}{y^2} = \frac{1}{2}.\]Užití substituce bylo korektní, pokud je splněna jedna ze dvou podmínek ve větě složené funkce. Buď musí být vnější funkce (tj. \(\frac{1-\cos y}{y^2}\)) spojitá v nule, což není, neboť v tomto bodě není definována. Anebo musí existovat prstencové okolí nuly takové, aby na něm vnitřní funkce nenabývala své limitní hodnoty. Tj. aby
\[x^2 \neq 0\]na nějakém prstencovém okolí nuly. Což je ovšem pravda dokonce pro každé prstencové okolí nuly, tato podmínka tedy splněna je.
Tím jsme tedy vypočetli, že
\[\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x^2}{x^4} = \frac{1}{2}.\]A protože druhá odmocnina je funkce spojitá na svém definičním oboru, speciálně tedy v bodě \(\frac{1}{2}\), platí
\[\lim_{x\to 0} \sqrt{\frac{1-\cos x^2}{x^4}} = \sqrt{\frac{1}{2}}.\]Tím jsou obě limity určeny a výpočet jednoduše dokončíme.
\[\lim\limits_{x \to 0}\sqrt{\frac{(1-\cos {x^2})}{x^4}} \cdot \lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}\cdot 2 = \sqrt{2}.\]b) Nápověda
Pokuste se počítanou limitu \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos {x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{\sin^2 {x}}\) vhodně rozšířit a upravit tak, abyste ji převedli na výpočet známých limit \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\) a \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin {x}}{x}=1\).
b) Řešení
Navážeme tam, kde skončilo řešení předcházející nápovědy, tedy u limity
\[\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{\sin x \cdot \sin x}{x\cdot x }}\cdot \lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\] \[\cdot \lim_{x \to 0} \frac{-\cos^2 x}{\sqrt[2]{\cos x})^5\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^0+(\sqrt[2]{\cos x})^4 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^1+(\sqrt[2]{\cos x})^3 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^2 + \cdots } \] \[\frac{}{+\cdots(\sqrt[2]{\cos x})^2 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^3+(\sqrt[2]{\cos x})^1 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^4 + (\sqrt[2]{\cos x})^0\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^5}\]Aritmetika limit byla použita korektně, pokud následující výpočty ukáží, že výraz na pravé straně má smysl.
Opětovným použitím aritmetiky limit u první a třetí limity, díky spojitosti odmocniny, spojitosti kosinu a známých limit \(\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\), \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin {x}}{x}=1\) obdržíme
\[\frac{1}{1 {\cdot} 1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{-1{\cdot} 1^2}{\sqrt[2]{1})^5\cdot (\sqrt[3]{1})^0+(\sqrt[2]{1})^4 \cdot (\sqrt[3]{1})^1+(\sqrt[2]{1})^3 \cdot (\sqrt[3]{1})^2 + (\sqrt[2]{1})^2 \cdot (\sqrt[3]{1})^3+(\sqrt[2]{1})^1 \cdot (\sqrt[3]{1})^4 + (\sqrt[2]{1})^0\cdot (\sqrt[3]{1})^5}=\]
\[=\frac{-1}{2\cdot (1+1+1+1+1+1)}=-\frac{1}{12}\]
c) Nápověda
Pokuste se počítanou limitu \(\lim\limits_{x \to a} \frac{\frac{1}{\sin {x}}-\frac{1}{\sin {a}}}{x-a}\) vhodně rozepsat tak, abyste ji převedli na výpočet známých limit \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\) a \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin {x}}{x}=1\).
c) Řešení
Řešení navážeme tam, kde skončilo řešení předcházející nápovědy.
Určujeme tedy rozdíl limit
\[=\lim\limits_{x \to a} \frac{\sin x[(\cos(a-x)-1]}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}-\lim\limits_{x \to a}\frac{ \sin(a-x)\cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}\]První z limit dále upravíme rozšířením chytrou jedničkou první limity na:
\[\lim_{x \to a} \frac{\sin x[(\cos(a-x)-1]}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}\cdot \frac {(x-a)}{(x-a)}-\lim_{x \to a}\frac{ \sin(a-x)\cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}=\] \[\lim_{x \to a} \frac{\sin x[(\cos(a-x)-1]}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)^2}\cdot \frac {(x-a)}{1}-\lim_{x \to a}\frac{ \sin(a-x)\cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}\]V první limitě zkrátíme \(\sin x\) a rozepíšeme ji dle aritmetiky limit součinu, stejně jako rozepíšeme dle aritmetiky limit součinu i druhou limitu:
\[\lim_{x \to a} \frac{\cos(a-x)-1}{(x-a)^2} \cdot \lim_{x \to a} \frac{(x-a)}{\sin a}-\lim_{x \to a}\frac{ \sin(a-x)}{(x-a)}\cdot \lim_{x \to a} \frac{(\cos x)}{\sin x \cdot \sin a}\]První a třetí limitu vypočteme pomocí substituce \(y:=x-a\). Protože \(x\rightarrow a\), vyplývá odtud, že \(y \to 0\), neboť
\[\lim_{x\to a} x-a = 0.\]Podle věty o limitě složené funkce pak z následujících odvozených nebo známých předpokladů
\[\lim_{x\to a} x-a = 0,\] \[\lim_{y\to 0} \frac{\cos y-1}{y^2} = -\frac{1}{2}\]a faktu, že na libovolném prstencovém okolí bodu a platí, že \(x-a\neq 0\), vyplývá, že
\[\lim_{x\to a} \frac{\cos(x-a)-1}{(x-a)^2} = -\frac{1}{2}.\]Podle stejné věty z následujících odvozených nebo známých předpokladů
\[\lim_{x\to a} x-a = 0,\] \[\lim_{y\to 0} \frac{\sin(y)}{-y} = -1\]a faktu, že na libovolném prstencovém okolí bodu a platí, že \(x-a\neq 0\), vyplývá, že
\[\lim_{x\to a} \frac{\sin(x-a)}{a-x} = -1.\]Pomocí těchto dvou částečných výsledků můžeme psát
\[\lim_{x \to a} \frac{\cos(a-x)-1}{(x-a)^2} \cdot \lim_{x \to a} \frac{(x-a)}{\sin a}-\lim_{x \to a}\frac{ \sin(a-x)}{(x-a)}\cdot \lim_{x \to a} \frac{(\cos x)}{\sin x \cdot \sin a} = \] \[ = -\frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to a} \frac{(x-a)}{\sin a}-(-1)\cdot \lim_{x \to a} \frac{(\cos x)}{\sin x \cdot \sin a}\]Zbylé limity vypočteme prostým dosazením a za x v případě druhé a čtvrté limity, neboť příslušné funkce jsou v tomto bodě spojité. Máme tak
\[= -\frac{1}{2} \cdot \frac{(a-a)}{\sin a}-(-1)\cdot \frac{(\cos a)}{\sin a \cdot \sin a} = \frac{\cos a}{\sin^2a}.\]
