Sbírka řešených úloh

Limity goniometrických funkcí poprvé

Úloha číslo: 1178

• Rozbor

  Je vidět, že se nejspíše neobejdeme bez věty o limitě složené funkce, neboť v počítané limitě se vyskytuje funkce v argumentu jiné funkce.

  Budeme se tedy snažit počítané limity vhodně upravit či rozšířit tak, abychom obsažené výrazy postupně zjednodušili. Pro tento účel obecně užíváme specifické vztahy pro goniometrické funkce, v rámci rozšíření obsažené odmocniny pak vzorec $A^n-B^n$ a užívané limity funkcí, viz Přehled používaných užívaných limit funkcí.

• a) Nápověda

  Pokuste se počítanou limitu $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{1-\cos {x}}$ vhodně rozšířit tak, abyste ji převedli na výpočet známé limity $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}$.

• a) Nápověda - řešení

  Počítanou limitu $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{1-\cos {x}}$ vhodně rozšíříme tak, abychom ji převedli na výpočet známé limity $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}$.

  Všimněme si, že ve jmenovateli již máme výraz ($1-\cos {x}$).

  K převodu problému na známou limitu $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}$ nám chybí tento výraz rozšířit zlomkem $\frac{1}{x^2}$, proto celý výraz rozšíříme $\frac{x^2}{x^2}$:

  $$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{1-\cos {x}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{1-\cos {x}} \cdot \frac {x^2}{x^2}=$$

  $$=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{x^2}}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\frac{(1-\cos {x^2})}{x^4}}}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}}$$

  Povšimněme si, že přenásobení výrazu zlomkem $\frac{x^2}{x^2}$ vlastně vyřešilo i náš problém s převodem výrazu $\sqrt{(1-\cos {x^2})}$ v čitateli původní limity na známou limitu $\lim_{y \to 0}\frac{1-\cos{y}}{y^2}=\frac{1}{2}$, pokud substituujeme $y = x^2$.

• a) Řešení

  Počítanou limitu $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{1-\cos {x}}$ musíme vhodně rozšířit tak, abychom ji převedli na výpočet známé limity $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}$.

  Všimněme si, že ve jmenovateli již máme výraz ($1-\cos {x}$).

  K převodu problému na známou limitu $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}$ nám chybí tento výraz rozšířit zlomkem $\frac{1}{x^2}$, proto užijeme metody chytré jedničy a celý výraz rozšíříme $\frac{x^2}{x^2}$:

  $$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{1-\cos {x}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{1-\cos {x}} \cdot \frac {x^2}{x^2}=$$

  $$=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{\sqrt{(1-\cos {x^2})}}{x^2}}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\frac{(1-\cos {x^2})}{x^4}}}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}}$$

  Limitu nyní rozepíšeme dle aritmetiky limit součinu na dvě limity:

  $$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\frac{(1-\cos {x^2})}{x^4}}}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}}=\lim\limits_{x \to 0}\sqrt{\frac{(1-\cos {x^2})}{x^4}} \cdot \lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}}$$

  Pokud po dokončení výpočtu zjistíme, že pravá strana má smysl, je splněna podmínka použití této věty.

  U první z limit provedeme substituci $y:=x^2$:

  $$\lim\limits_{y \to 0}\sqrt{\frac{(1-\cos {y})}{y^2}} \cdot \lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}}$$

  Druhou z limit určíme pomocí věty o limitě podílu a známé limity $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}$ (viz úloha Přehled používaných užívaných limit funkcí), neboť

  $$\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}} =\frac{1}{ \lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos {x}}{x^2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2.$$

  V první limitě určíme nejprve limitu vnitřku odmocniny, tedy limitu

  $$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x^2}{x^4}.$$

  Použijeme substituci $y = x^2$. Protože

  $$\lim_{x\to 0} x^2 = 0,$$

  převedeme původní limitu touto substitucí na limitu

  $$\lim_{y\to 0} = \frac{1-\cos y}{y^2} = \frac{1}{2}.$$

  Užití substituce bylo korektní, pokud je splněna jedna ze dvou podmínek ve větě složené funkce. Buď musí být vnější funkce (tj. $\frac{1-\cos y}{y^2}$) spojitá v nule, což není, neboť v tomto bodě není definována. Anebo musí existovat prstencové okolí nuly takové, aby na něm vnitřní funkce nenabývala své limitní hodnoty. Tj. aby

  $$x^2 \neq 0$$

  na nějakém prstencovém okolí nuly. Což je ovšem pravda dokonce pro každé prstencové okolí nuly, tato podmínka tedy splněna je.

  Tím jsme tedy vypočetli, že

  $$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x^2}{x^4} = \frac{1}{2}.$$

  A protože druhá odmocnina je funkce spojitá na svém definičním oboru, speciálně tedy v bodě $\frac{1}{2}$, platí

  $$\lim_{x\to 0} \sqrt{\frac{1-\cos x^2}{x^4}} = \sqrt{\frac{1}{2}}.$$

  Tím jsou obě limity určeny a výpočet jednoduše dokončíme.

  $$\lim\limits_{x \to 0}\sqrt{\frac{(1-\cos {x^2})}{x^4}} \cdot \lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{1-\cos {x}}{x^2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}\cdot 2 = \sqrt{2}.$$

• b) Nápověda

  Pokuste se počítanou limitu $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos {x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{\sin^2 {x}}$ vhodně rozšířit a upravit tak, abyste ji převedli na výpočet známých limit $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}$ a $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin {x}}{x}=1$.

• b) Nápověda - řešení

  Počítanou limitu $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos {x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{\sin^2 {x}}$ musíme vhodně rozšířit tak, abychom ji převedli na výpočet známých limit $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}$ a $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin {x}}{x}=1$.

  Všimněme si, že ve jmenovateli již máme výraz $\sin^2 {x}$, což je defakto výraz:$\sin {x} \cdot \sin{x}$.

  K převodu problému na známou limitu $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin {x}}{x}=1$ nám chybí tento výraz rozšířit zlomkem $\frac{1}{x^2}$, proto užijeme metody chytré jedničy a celý výraz rozšíříme $\frac{x^2}{x^2}$:

  $$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos {x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{\sin^2 {x}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos {x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{\sin^2 {x}} \cdot \frac {x^2}{x^2}$$

  Dále je potřeba zbavit se v čitately výrazu s odmocninami. Užijeme tedy metody chytré jedničky a vzorce $A^6-B^6=(A-B)(A^5+A^4B+A^3B^2+A^2B^3+AB^4+B^5)$, kde v našem případě výraz (A-B) supluje výraz $\sqrt{\cos {x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}$. Šestou mocninu volíme proto, že je to nejmenší společný násobek dvojky a trojky (a my máme ve výrazu druhou a třetí odmocninu).

  $$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos {x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{\sin^2 {x}} \cdot \frac {x^2}{x^2} \cdot \frac{(\sqrt[2]{\cos x})^5\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^0+(\sqrt[2]{\cos x})^4 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^1+(\sqrt[2]{\cos x})^3 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^2 + (\sqrt[2]{\cos x})^2 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^3+(\sqrt[2]{\cos x})^1 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^4 + (\sqrt[2]{\cos x})^0\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^5}{(\sqrt[2]{\cos x})^5\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^0+(\sqrt[2]{\cos x})^4 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^1+(\sqrt[2]{\cos x})^3 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^2 + (\sqrt[2]{\cos x})^2 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^3+(\sqrt[2]{\cos x})^1 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^4 + (\sqrt[2]{\cos x})^0\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^5}=$$

  $$\lim\limits_{x \to 0} \frac{(\cos {x})^3-(\cos{x})^2}{\sin^2 {x}} \cdot \frac {x^2}{x^2} \cdot \frac{1}{(\sqrt[2]{\cos x})^5\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^0+(\sqrt[2]{\cos x})^4 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^1+(\sqrt[2]{\cos x})^3 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^2 + (\sqrt[2]{\cos x})^2 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^3+(\sqrt[2]{\cos x})^1 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^4 + (\sqrt[2]{\cos x})^0\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^5}$$

  Z výrazu v čitateli vytkneme $-\cos^2x$ a dle aritmetiky limit součinu limitu rozepíšeme na:

  $$\lim\limits_{x \to 0} \frac{-\cos^2 x(1-\cos{x})}{\sin^2 {x}} \cdot \frac {x^2}{x^2} \cdot \frac{1}{(\sqrt[2]{\cos x})^5\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^0+(\sqrt[2]{\cos x})^4 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^1+(\sqrt[2]{\cos x})^3 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^2 + (\sqrt[2]{\cos x})^2 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^3+(\sqrt[2]{\cos x})^1 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^4 + (\sqrt[2]{\cos x})^0\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^5}=$$

  $$=\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{\sin x \cdot \sin x}{x\cdot x }}\cdot \lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot$$ $$\cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\cos^2 x}{\sqrt[2]{\cos x})^5\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^0+(\sqrt[2]{\cos x})^4 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^1+(\sqrt[2]{\cos x})^3 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^2 + (\sqrt[2]{\cos x})^2 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^3+(\sqrt[2]{\cos x})^1 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^4 + (\sqrt[2]{\cos x})^0\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^5}$$

  Tyto limity již snadno dopočteme. Všimněte si, že aritmetika limit součinu byla vhodně použita, protože všechny tři limity pravé strany mají smysl.

• b) Řešení

  Navážeme tam, kde skončilo řešení předcházející nápovědy, tedy u limity

  $$\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\frac{\sin x \cdot \sin x}{x\cdot x }}\cdot \lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot$$ $$\cdot \lim_{x \to 0} \frac{-\cos^2 x}{\sqrt[2]{\cos x})^5\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^0+(\sqrt[2]{\cos x})^4 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^1+(\sqrt[2]{\cos x})^3 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^2 + \cdots }$$ $$\frac{}{+\cdots(\sqrt[2]{\cos x})^2 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^3+(\sqrt[2]{\cos x})^1 \cdot (\sqrt[3]{\cos x})^4 + (\sqrt[2]{\cos x})^0\cdot (\sqrt[3]{\cos x})^5}$$

  Aritmetika limit byla použita korektně, pokud následující výpočty ukáží, že výraz na pravé straně má smysl.

  Opětovným použitím aritmetiky limit u první a třetí limity, díky spojitosti odmocniny, spojitosti kosinu a známých limit $\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}$, $\lim_{x \to 0}\frac{\sin {x}}{x}=1$ obdržíme

  $$\frac{1}{1 {\cdot} 1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{-1{\cdot} 1^2}{\sqrt[2]{1})^5\cdot (\sqrt[3]{1})^0+(\sqrt[2]{1})^4 \cdot (\sqrt[3]{1})^1+(\sqrt[2]{1})^3 \cdot (\sqrt[3]{1})^2 + (\sqrt[2]{1})^2 \cdot (\sqrt[3]{1})^3+(\sqrt[2]{1})^1 \cdot (\sqrt[3]{1})^4 + (\sqrt[2]{1})^0\cdot (\sqrt[3]{1})^5}=$$

  $$=\frac{-1}{2\cdot (1+1+1+1+1+1)}=-\frac{1}{12}$$

• c) Nápověda

  Pokuste se počítanou limitu $\lim\limits_{x \to a} \frac{\frac{1}{\sin {x}}-\frac{1}{\sin {a}}}{x-a}$ vhodně rozepsat tak, abyste ji převedli na výpočet známých limit $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}$ a $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin {x}}{x}=1$.

• c) Nápověda - řešení

  Pro výpočet $\lim\limits_{x \to a} \frac{\frac{1}{\sin {x}}-\frac{1}{\sin {a}}}{x-a}$ je třeba znát vlastnosti goniometrických funkcí, jako jsou například součtové vzorce pro sinus.

  Nejprve sečtěme zlomky v čitateli:

  $$\lim\limits_{x \to a} \frac{\frac{1}{\sin {x}}-\frac{1}{\sin {a}}}{x-a}=\lim\limits_{x \to a} \frac{\frac{\sin a - \sin x}{\sin x \cdot \sin a}}{x-a}$$

  Výraz $\frac{\sin a - \sin x}{\sin x \cdot \sin a}$ upravme za pomoci přičtení a odečtení stejné hodnoty na výraz $\frac{\sin (x+(a-x)) - \sin x}{\sin x \cdot \sin a}$, celou limitu tedy přepišme jako limitu:

  $$\lim\limits_{x \to a} \frac{\frac{\sin a - \sin x}{\sin x \cdot \sin a}}{x-a}=\lim\limits_{x \to a} \frac{\frac{\sin (x+(a-x)) - \sin x}{\sin x \cdot \sin a}}{x-a}=\lim\limits_{x \to a} \frac{\sin (x+(a-x)) - \sin x}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}$$

  Nyní pro výraz $\sin (x+(a-x))$ v čitateli použijeme součtový vzorec pro funkci sinus:

  $$\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$$

  Celou limitu přepíšeme jako limitu:

  $$\lim\limits_{x \to a} \frac{\sin (x+(a-x)) - \sin x}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}=\lim\limits_{x \to a} \frac{\sin x \cdot \cos(a-x)-\cos x \cdot \sin(a-x)- \sin x}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}$$

  V čitateli k sobě dáme členy $\sin x \cdot \cos(a-x))$ a $-\sin x$ a pak dále upravíme vytknutím $\sin x$ na:

  $$\lim\limits_{x \to a} \frac{\sin x[(\cos(a-x)-1] - \sin(a-x)\cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin a \cdot \sin(x-a)}$$

  Čímž získáme náznak známé limity funkce $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}$ v prvním členu součtu v čitateli a ve druhém pak náznak limity $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin {x}}{x}=1$.

  Limitu rozepíšeme na rozdíl limit podle věty o aritmetice limit:

  $$\lim\limits_{x \to a} \frac{\sin x[(\cos(a-x)-1] - \sin(a-x)\cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}=$$ $$=\lim\limits_{x \to a} \frac{\sin x[(\cos(a-x)-1]}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}-\lim\limits_{x \to a}\frac{ \sin(a-x)\cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}$$

  Pokud dalšími výpočty ukážeme, že pravá strana má smysl, byla věta o aritmetice limit užita korektně.

  Obě limity však snadno dopočteme za pomoci známých limit funkcí $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}$ a $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin {x}}{x}=1$, což bylo i cílem všech úprav.

• c) Řešení

  Řešení navážeme tam, kde skončilo řešení předcházející nápovědy.

  Určujeme tedy rozdíl limit

  $$=\lim\limits_{x \to a} \frac{\sin x[(\cos(a-x)-1]}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}-\lim\limits_{x \to a}\frac{ \sin(a-x)\cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}$$

  První z limit dále upravíme rozšířením chytrou jedničkou první limity na:

  $$\lim_{x \to a} \frac{\sin x[(\cos(a-x)-1]}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}\cdot \frac {(x-a)}{(x-a)}-\lim_{x \to a}\frac{ \sin(a-x)\cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}=$$ $$\lim_{x \to a} \frac{\sin x[(\cos(a-x)-1]}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)^2}\cdot \frac {(x-a)}{1}-\lim_{x \to a}\frac{ \sin(a-x)\cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin a \cdot (x-a)}$$

  V první limitě zkrátíme $\sin x$ a rozepíšeme ji dle aritmetiky limit součinu, stejně jako rozepíšeme dle aritmetiky limit součinu i druhou limitu:

  $$\lim_{x \to a} \frac{\cos(a-x)-1}{(x-a)^2} \cdot \lim_{x \to a} \frac{(x-a)}{\sin a}-\lim_{x \to a}\frac{ \sin(a-x)}{(x-a)}\cdot \lim_{x \to a} \frac{(\cos x)}{\sin x \cdot \sin a}$$

  První a třetí limitu vypočteme pomocí substituce $y:=x-a$. Protože $x\rightarrow a$, vyplývá odtud, že $y \to 0$, neboť

  $$\lim_{x\to a} x-a = 0.$$

  Podle věty o limitě složené funkce pak z následujících odvozených nebo známých předpokladů

  $$\lim_{x\to a} x-a = 0,$$ $$\lim_{y\to 0} \frac{\cos y-1}{y^2} = -\frac{1}{2}$$

  a faktu, že na libovolném prstencovém okolí bodu a platí, že $x-a\neq 0$, vyplývá, že

  $$\lim_{x\to a} \frac{\cos(x-a)-1}{(x-a)^2} = -\frac{1}{2}.$$

  Podle stejné věty z následujících odvozených nebo známých předpokladů

  $$\lim_{x\to a} x-a = 0,$$ $$\lim_{y\to 0} \frac{\sin(y)}{-y} = -1$$

  a faktu, že na libovolném prstencovém okolí bodu a platí, že $x-a\neq 0$, vyplývá, že

  $$\lim_{x\to a} \frac{\sin(x-a)}{a-x} = -1.$$

  Pomocí těchto dvou částečných výsledků můžeme psát

  $$\lim_{x \to a} \frac{\cos(a-x)-1}{(x-a)^2} \cdot \lim_{x \to a} \frac{(x-a)}{\sin a}-\lim_{x \to a}\frac{ \sin(a-x)}{(x-a)}\cdot \lim_{x \to a} \frac{(\cos x)}{\sin x \cdot \sin a} =$$ $$= -\frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to a} \frac{(x-a)}{\sin a}-(-1)\cdot \lim_{x \to a} \frac{(\cos x)}{\sin x \cdot \sin a}$$

  Zbylé limity vypočteme prostým dosazením a za x v případě druhé a čtvrté limity, neboť příslušné funkce jsou v tomto bodě spojité. Máme tak

  $$= -\frac{1}{2} \cdot \frac{(a-a)}{\sin a}-(-1)\cdot \frac{(\cos a)}{\sin a \cdot \sin a} = \frac{\cos a}{\sin^2a}.$$