Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Skrytá rovnice prvního řádu

Úloha číslo: 1861

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(x^2y''= (y')^2\).

  • Skrytá rovnice prvního řádu

    Rovnice typu \(y^{(n)}=f\left(x, y^{(n-1)}\right)\) v sobě skrývají návrat k rovnicím prvního řádu. Po zavedením substituce

    \[z(x)= y^{(n-1)}(x)\,,\]

    kde příslušná derivace má podobu

    \[z'= y^{(n)}\,,\]

    řešená rovnice přechází na rovnici

    \[z'=\tilde{f}(x,z) \,,\]

    tedy skutečně na diferenciální rovnici prvního řádu. Řešením této rovnice získáme funkci \(z(x)\), s jejíž pomocí pak skrze \((n-1)\) násobnou integraci vyjádříme i hledanou funkci

    \[y=\underbrace{ \int \biggl( \int \biggl( \cdots \biggl( \int}_{(n-1)\text{-krát}}z(x)\underbrace{\mathrm{d} x \biggr) \mathrm{d} x \biggr) \cdots \biggr)\mathrm{d} x}_{(n-1)\text{-krát}} \,. \]
  • Přechod na rovnici prvního řádu

    V souladu s teorií v úvodu úlohy přejděte k rovnici prvního řádu.

  • Řešení získané rovnice

    Jelikož jsme získali rovnici se separovanými proměnnými postupujeme obdobně jako v úloze Separace proměnných.

  • Hledaná funkce

    Pomocí užitého substitučního vztahu nyní přejděte zpět k původní hledané funkci \(y(x)\).

  • Řešení

    Pro \(x \ne 0\) nejprve rovnici dělíme \(x^2\), získáme tak

    \[y''= \left(\frac{y'}{x}\right)^2 \,.\]

    Následně zavedeme substituci

    \[z(x)= y'(x) \,,\]

    poté

    \[z'= y''\,.\]

    Obě strany získané rovnice \(z'= \left(\frac{z}{x}\right)^2\) pro \(z\ne 0\) obdržíme

    \[\frac{z'}{z^2}= \frac{1}{x^2} \,.\]

    Na obou stranách rovnice se nacházejí spojité funkce, rovnici proto lze integrovat

    \[\begin{align*} \int \frac{\mathrm{d} z}{z^2}&= \int \frac{\mathrm{d} x}{x^2}\\ -\frac{1}{z}&= -\frac{1}{x}+C;\, C\in \mathbb{R}\,. \end{align*}\]

    Pro pomocnou funkci \(z(x)\) tak po úpravách získáme předpis

    \[z= \frac{x}{1-Cx}\,.\]

    K hledané funkci \(y(x)\) konečně přejdeme skrze užitý substituční vztah jednonásobnou integrací

    \[y= \int \frac{x}{1-Cx}\,\mathrm{d} x \,.\]

    Integrovanou racionální funkci nejprve upravíme pomocí dělení polynomů na

    \[\begin{align*} y&= -\frac{1}{C}\int \left(1-\frac{1}{1-Cx} \right)\,\mathrm{d} x\\ y&= -\frac{1}{C}\int 1 \,\mathrm{d} x + \frac{1}{C}\int \frac{1}{1-Cx}\,\mathrm{d} x\,. \end{align*}\]

    Následně druhý z integrálů na pravé straně převedeme zavedením substituce \(w = 1-Cx \), kde\( \,\mathrm{d} w = -C\,\mathrm{d}x\) , na tabulkový integrál \(\frac{1}{C^2}\int\frac{1}{w}\,\mathrm{d} w\). Po vyřešení obou integrálů a následné zpětné substituci pak konečně pro hledanou funkci získáme vztah

    \[y= -\frac{1}{C}x - \frac{1}{C^2} \ln|1-Cx| +K\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze