Skrytá rovnice prvního řádu
Úloha číslo: 1861
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(x^2y''= (y')^2\).
Skrytá rovnice prvního řádu
Rovnice typu \(y^{(n)}=f\left(x, y^{(n-1)}\right)\) v sobě skrývají návrat k rovnicím prvního řádu. Po zavedením substituce
\[z(x)= y^{(n-1)}(x)\,,\]kde příslušná derivace má podobu
\[z'= y^{(n)}\,,\]řešená rovnice přechází na rovnici
\[z'=\tilde{f}(x,z) \,,\]tedy skutečně na diferenciální rovnici prvního řádu. Řešením této rovnice získáme funkci \(z(x)\), s jejíž pomocí pak skrze \((n-1)\) násobnou integraci vyjádříme i hledanou funkci
\[y=\underbrace{ \int \biggl( \int \biggl( \cdots \biggl( \int}_{(n-1)\text{-krát}}z(x)\underbrace{\mathrm{d} x \biggr) \mathrm{d} x \biggr) \cdots \biggr)\mathrm{d} x}_{(n-1)\text{-krát}} \,. \]Přechod na rovnici prvního řádu
V souladu s teorií v úvodu úlohy přejděte k rovnici prvního řádu.
Řešení získané rovnice
Jelikož jsme získali rovnici se separovanými proměnnými postupujeme obdobně jako v úloze Separace proměnných.
Hledaná funkce
Pomocí užitého substitučního vztahu nyní přejděte zpět k původní hledané funkci \(y(x)\).
Řešení
Pro \(x \ne 0\) nejprve rovnici dělíme \(x^2\), získáme tak
\[y''= \left(\frac{y'}{x}\right)^2 \,.\]Následně zavedeme substituci
\[z(x)= y'(x) \,,\]poté
\[z'= y''\,.\]Obě strany získané rovnice \(z'= \left(\frac{z}{x}\right)^2\) pro \(z\ne 0\) obdržíme
\[\frac{z'}{z^2}= \frac{1}{x^2} \,.\]Na obou stranách rovnice se nacházejí spojité funkce, rovnici proto lze integrovat
\[\begin{align*} \int \frac{\mathrm{d} z}{z^2}&= \int \frac{\mathrm{d} x}{x^2}\\ -\frac{1}{z}&= -\frac{1}{x}+C;\, C\in \mathbb{R}\,. \end{align*}\]Pro pomocnou funkci \(z(x)\) tak po úpravách získáme předpis
\[z= \frac{x}{1-Cx}\,.\]K hledané funkci \(y(x)\) konečně přejdeme skrze užitý substituční vztah jednonásobnou integrací
\[y= \int \frac{x}{1-Cx}\,\mathrm{d} x \,.\]Integrovanou racionální funkci nejprve upravíme pomocí dělení polynomů na
\[\begin{align*} y&= -\frac{1}{C}\int \left(1-\frac{1}{1-Cx} \right)\,\mathrm{d} x\\ y&= -\frac{1}{C}\int 1 \,\mathrm{d} x + \frac{1}{C}\int \frac{1}{1-Cx}\,\mathrm{d} x\,. \end{align*}\]Následně druhý z integrálů na pravé straně převedeme zavedením substituce \(w = 1-Cx \), kde\( \,\mathrm{d} w = -C\,\mathrm{d}x\) , na tabulkový integrál \(\frac{1}{C^2}\int\frac{1}{w}\,\mathrm{d} w\). Po vyřešení obou integrálů a následné zpětné substituci pak konečně pro hledanou funkci získáme vztah
\[y= -\frac{1}{C}x - \frac{1}{C^2} \ln|1-Cx| +K\,.\]
