Bernoulliova nerovnost (důkaz matematickou indukcí)
Úloha číslo: 1141
(a) Dokažte, že pro každé \(x\geq-1\) a \(n\) přirozené platí nerovnost
\[(1+x)^n \geq 1+nx.\](b*) Tvrzení platí i pro \(x \geq -2\). Dokažte to.
Matematická indukce
Matematická indukce
je cesta, po níž se ubíráme, chcme-li dokázat věty, které hovoří o přirozených číslech nebo o téměř všech přírozených číslech. (Například o každém třetím přirozeném čísle, každém sudém, každém stém, každém \(n^2\), atd...)
V řeči matematických symbolů tedy matematickou indukci použáváme pro věty typu
\[V: \exists n_0 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: n \geq n_0 :T(n)\,,\]kde \(n_0\) rozumíme první přirozené číslo, pro nějž platí tvrzení \(T\).
Důkaz tvrzení \(T\) matematickou indukcí je poté proveden ve dvou krocích:
- Platnost \(T\) ověříme pro \(n_0\).
- Předpokládáme, že \(T\) platí pro \(n\geq n_0\) (indukční předpoklad) a ověříme, že platí i pro \(n+1\).
Ověřit platnost kroků 1. a 2. pro paltnost \(T\) stačí, neboť v prípadě, že vlasnost platí pro \(n_0\) (1.), můžeme pomocí (2.) dojít k \(n_0 +1\), od něj pak opět skrze (2.) k \(n_0+2\) a tímto způsobem pokračovat, dokud nepokryjeme všechna přirozená čísla.
Nápověda pro část (a)
Důkaz proveďte pomocí matematické indukce, tj. nejprve ověřte platnost pro nejmensí číslo (\(n=1\)), posléze skrze indukční předpoklad (\(n\to n+1\)) dojděte k platnosti pro všechna ostaní přirozená čísla.
Nápověda pro část (b)*
Část (b)* dokažte obdobně jako část (a) pomocí matematické indukce.
Řešení
Část (a)
Dokazujeme matematickou indukcí, že pro každé \(x\geq-1\) a \(n\) přirozené platí nerovnost
\[(1+x)^n \geq 1+nx.\]Pro \(n=1\) tvrzení zjevně platí, neboť je
\[(1+x)^1 = 1+x.\]Předpokládáme tedy, že tvrzení platí pro \(\color{red}{n}\) a dokazujeme jej pro \(n+1\). Konkrétně
\[\color{blue}{(1+x)^{n+1}} = \color{red}{(1+x)^n} \cdot (1+x) \geq \]je dle indukčního předpokladu (platnosti tvrzení pro \(\color{red}{n}\), tj. \(\color{red}{(1+x)^n\geq (1+nx)}\))
\[\geq \color{red}{(1+nx)}(1+x) = 1+nx+x+nx^2 = 1+(n+1)x+nx^2 \color{blue}{\geq 1+(n+1)x},\]neboť v posledním kroku vypuštěné \(nx^2\geq 0\).
Spojíme-li nyní modře označené části, získáme kýženou nerovnost
\[\color{blue}{(1+x)^{n+1}\geq 1+ (n+1)x}.\]Část (b)*
Důkaz podobně jako v části (a) neprojde, neboť pro \(x\) menší než jedna nelze použít indukční předpoklad stejným způsobem. Konkrétně, nebude obecně platná nerovnost
\[(1+x)^n \cdot (1+x) \geq (1+nx)(1+x),\]v případě, že \((1+x)\) je záporné číslo.
(Například pro \(n=2\) a \(x=-2\), získáme \(-1\geq 3\))
Budeme tedy opět dokazovat matematickou indukcí, ale namísto kroku od \(n\) k \(n+1\) použijeme krok od \(n\) k \(n+2\).
Abychom vyčerpali všechna přirozená čísla, je potřeba ověřit, že tvrzení platí nejen pro \(n=1\), ale také pro \(n=2\).
(Tímto způsobem totiž pokryjeme všechna přirozená čísla, neboť pro \(n=1\) dojdeme krokem od \(n\) k \(n+2\) ke všem lichým číslům a pro \(n=2\) ke všem číslům sudým.)
To lze přímo, neboť
\[(1+x)^2 = 1+2x+x^2 \geq 1+2x\,,\]jelikož jsme vypustili člen \(x^2\geq 0\).
Nyní můžeme přikročit k důkazu zmíněného indukčního kroku.
Předpokládáme tedy, že tvrzení platí pro \(\color{red}{n}\) a dokazujeme jej pro \(n+2\). Konkrétně
\[\color{blue}{(1+x)^{n+2}} = \color{red}{(1+x)^n} \cdot (1+x)^2 \geq \]je dle indukčního předpokladu (platnosti tvrzení pro \(\color{red}{n}\), tj. \(\color{red}{(1+x)^n\geq (1+nx)}\))
\[\geq \color{red}{(1+nx)}(1+x)^2 = (1+nx)(1+2x+x^2) = \] \[ = 1+nx+2x+2nx^2+x^2+nx^3 = \color{blue}{1+(n+2)x + x^2(1+2n+nx)}.\]Spojíme-li nyní modře označené části, obdržíme kýženou nerovnsot
\[\color{blue}{(1+x)^{n+2}\geq }\color{blue}{1+(n+2)x + x^2(1+2n+nx)}\,.\]Zbývá dokázat, že poslední člen je větší nebo roven nule. K tomu stačí ukázat, že
\[1+2n+nx \geq 0\,,\]jinými slovy,
\[2n+nx \geq 0\,,\]protože \(x^2\geq 0\) pro libovolné \(x\).
Úpravou poslední nerovnosti dostaneme podmínku
\[nx\geq -2n\,,\] \[2+x \geq 0\,,\] \[x \geq -2\,,\]o níž předpokládáme, že platí.
