Sbírka řešených úloh

Limita posloupnosti - komplexní úloha III

Úloha číslo: 852

• Řešení

  Určujeme limitu posloupnosti

  $$\lim_{\small n\to\infty} \ \left(n^2+\sin(n+1)\right)\,\left(\sqrt{n^4+2}-\sqrt{n^4+1}\right) =$$

  rozšířením odmocniny pak dostaneme, že

  $$= \lim_{\small n\to\infty} \ \left(n^2+\sin(n+1)\right)\,\left(\sqrt{n^4+2}-\sqrt{n^4+1}\right) \cdot \frac{\sqrt{n^4+2}+\sqrt{n^4+1}}{\sqrt{n^4+2}+\sqrt{n^4+1}} =$$ $$= \lim_{\small n\to\infty} \ \left(n^2+\sin(n+1)\right) \cdot \frac{(n^4+2)-(n^4+1)}{\sqrt{n^4+2}+\sqrt{n^4+1}} =$$ $$= \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2+\sin(n+1)}{\sqrt{n^4+2}+\sqrt{n^4+1}} =$$

  a nyní vytknutím nejrychleji rostoucího členu z čitatele i ze jmenovatele získáme

  $$= \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2+\sin(n+1)}{\sqrt{n^4}\sqrt{1+2/n^4}+\sqrt{n^4}\sqrt{1+1/n^4}} =$$ $$= \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2\left(1+\frac{\sin(n+1)}{n^2}\right)}{n^2\left(\sqrt{1+2/n^4}+\sqrt{1+1/n^4}\right)} =$$ $$= \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1+\frac{\sin(n+1)}{n^2}}{\sqrt{1+2/n^4}+\sqrt{1+1/n^4}}.$$

  Nyní si uvědomme, že

  $$\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sin(n+1)}{n^2} = \lim_{\small n\to\infty} \sin(n+1)\cdot\frac{1}{n^2} = 0$$

  podle úlohy Věta o limitě součinu omezené a nulové posloupnosti, neboť

  $$-1 \leq \sin(n+1) \leq 1, \qquad \lim \ \frac{1}{n^2} = 0.$$

  Podle úlohy Limita pod odmocninou I také máme

  $$\lim \ \sqrt{1+2/n^4} = \sqrt{\lim\left(1+2/n^4\right)} = \sqrt{1+0} = 1,$$ $$\lim \ \sqrt{1+1/n^4} = \sqrt{\lim\left(1+1/n^4\right)} = \sqrt{1+0} = 1.$$

  Dáme-li všechny tyto výsledky dohromady, pomocí věty o aritmetice limit získáme

  $$\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1+\frac{\sin(n+1)}{n^2}}{\sqrt{1+2/n^4}+\sqrt{1+1/n^4}} = \frac{1+0}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}} = \frac{1}{2}.$$