Filtr seznamu úloh?
Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.
Škály
Úroveň náročnosti
Štítky
Obecné
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti - komplexní úloha III
Úloha číslo: 852
Určete limitu posloupnosti
limn→∞ (n2+sin(n+1))(√n4+2−√n4+1).Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
limn→∞ (n2+sin(n+1))(√n4+2−√n4+1)=rozšířením odmocniny pak dostaneme, že
=limn→∞ (n2+sin(n+1))(√n4+2−√n4+1)⋅√n4+2+√n4+1√n4+2+√n4+1= =limn→∞ (n2+sin(n+1))⋅(n4+2)−(n4+1)√n4+2+√n4+1= =limn→∞ n2+sin(n+1)√n4+2+√n4+1=a nyní vytknutím nejrychleji rostoucího členu z čitatele i ze jmenovatele získáme
=limn→∞ n2+sin(n+1)√n4√1+2/n4+√n4√1+1/n4= =limn→∞ n2(1+sin(n+1)n2)n2(√1+2/n4+√1+1/n4)= =limn→∞ 1+sin(n+1)n2√1+2/n4+√1+1/n4.Nyní si uvědomme, že
limn→∞sin(n+1)n2=limn→∞sin(n+1)⋅1n2=0podle úlohy Věta o limitě součinu omezené a nulové posloupnosti, neboť
−1≤sin(n+1)≤1,lim 1n2=0.Podle úlohy Limita pod odmocninou I také máme
lim √1+2/n4=√lim(1+2/n4)=√1+0=1, lim √1+1/n4=√lim(1+1/n4)=√1+0=1.Dáme-li všechny tyto výsledky dohromady, pomocí věty o aritmetice limit získáme
limn→∞ 1+sin(n+1)n2√1+2/n4+√1+1/n4=1+0√1+0+√1+0=12.