Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Obecné
«
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Limita posloupnosti - komplexní úloha III

Úloha číslo: 852

Určete limitu posloupnosti

limn (n2+sin(n+1))(n4+2n4+1).
  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    limn (n2+sin(n+1))(n4+2n4+1)=

    rozšířením odmocniny pak dostaneme, že

    =limn (n2+sin(n+1))(n4+2n4+1)n4+2+n4+1n4+2+n4+1= =limn (n2+sin(n+1))(n4+2)(n4+1)n4+2+n4+1= =limn n2+sin(n+1)n4+2+n4+1=

    a nyní vytknutím nejrychleji rostoucího členu z čitatele i ze jmenovatele získáme

    =limn n2+sin(n+1)n41+2/n4+n41+1/n4= =limn n2(1+sin(n+1)n2)n2(1+2/n4+1+1/n4)= =limn 1+sin(n+1)n21+2/n4+1+1/n4.

    Nyní si uvědomme, že

    limnsin(n+1)n2=limnsin(n+1)1n2=0

    podle úlohy Věta o limitě součinu omezené a nulové posloupnosti, neboť

    1sin(n+1)1,lim 1n2=0.

    Podle úlohy Limita pod odmocninou I také máme

    lim 1+2/n4=lim(1+2/n4)=1+0=1, lim 1+1/n4=lim(1+1/n4)=1+0=1.

    Dáme-li všechny tyto výsledky dohromady, pomocí věty o aritmetice limit získáme

    limn 1+sin(n+1)n21+2/n4+1+1/n4=1+01+0+1+0=12.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze