Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti - komplexní úloha III

Úloha číslo: 852

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{\small n\to\infty} \ \left(n^2+\sin(n+1)\right)\,\left(\sqrt{n^4+2}-\sqrt{n^4+1}\right).\]
  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \left(n^2+\sin(n+1)\right)\,\left(\sqrt{n^4+2}-\sqrt{n^4+1}\right) = \]

    rozšířením odmocniny pak dostaneme, že

    \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \left(n^2+\sin(n+1)\right)\,\left(\sqrt{n^4+2}-\sqrt{n^4+1}\right) \cdot \frac{\sqrt{n^4+2}+\sqrt{n^4+1}}{\sqrt{n^4+2}+\sqrt{n^4+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \left(n^2+\sin(n+1)\right) \cdot \frac{(n^4+2)-(n^4+1)}{\sqrt{n^4+2}+\sqrt{n^4+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2+\sin(n+1)}{\sqrt{n^4+2}+\sqrt{n^4+1}} = \]

    a nyní vytknutím nejrychleji rostoucího členu z čitatele i ze jmenovatele získáme

    \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2+\sin(n+1)}{\sqrt{n^4}\sqrt{1+2/n^4}+\sqrt{n^4}\sqrt{1+1/n^4}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2\left(1+\frac{\sin(n+1)}{n^2}\right)}{n^2\left(\sqrt{1+2/n^4}+\sqrt{1+1/n^4}\right)} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1+\frac{\sin(n+1)}{n^2}}{\sqrt{1+2/n^4}+\sqrt{1+1/n^4}}.\]

    Nyní si uvědomme, že

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sin(n+1)}{n^2} = \lim_{\small n\to\infty} \sin(n+1)\cdot\frac{1}{n^2} = 0\]

    podle úlohy Věta o limitě součinu omezené a nulové posloupnosti, neboť

    \[-1 \leq \sin(n+1) \leq 1, \qquad \lim \ \frac{1}{n^2} = 0.\]

    Podle úlohy Limita pod odmocninou I také máme

    \[\lim \ \sqrt{1+2/n^4} = \sqrt{\lim\left(1+2/n^4\right)} = \sqrt{1+0} = 1,\] \[\lim \ \sqrt{1+1/n^4} = \sqrt{\lim\left(1+1/n^4\right)} = \sqrt{1+0} = 1.\]

    Dáme-li všechny tyto výsledky dohromady, pomocí věty o aritmetice limit získáme

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1+\frac{\sin(n+1)}{n^2}}{\sqrt{1+2/n^4}+\sqrt{1+1/n^4}} = \frac{1+0}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}} = \frac{1}{2}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze