Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti - komplexní úloha III
Úloha číslo: 852
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \left(n^2+\sin(n+1)\right)\,\left(\sqrt{n^4+2}-\sqrt{n^4+1}\right).\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \left(n^2+\sin(n+1)\right)\,\left(\sqrt{n^4+2}-\sqrt{n^4+1}\right) = \]rozšířením odmocniny pak dostaneme, že
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \left(n^2+\sin(n+1)\right)\,\left(\sqrt{n^4+2}-\sqrt{n^4+1}\right) \cdot \frac{\sqrt{n^4+2}+\sqrt{n^4+1}}{\sqrt{n^4+2}+\sqrt{n^4+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \left(n^2+\sin(n+1)\right) \cdot \frac{(n^4+2)-(n^4+1)}{\sqrt{n^4+2}+\sqrt{n^4+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2+\sin(n+1)}{\sqrt{n^4+2}+\sqrt{n^4+1}} = \]a nyní vytknutím nejrychleji rostoucího členu z čitatele i ze jmenovatele získáme
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2+\sin(n+1)}{\sqrt{n^4}\sqrt{1+2/n^4}+\sqrt{n^4}\sqrt{1+1/n^4}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2\left(1+\frac{\sin(n+1)}{n^2}\right)}{n^2\left(\sqrt{1+2/n^4}+\sqrt{1+1/n^4}\right)} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1+\frac{\sin(n+1)}{n^2}}{\sqrt{1+2/n^4}+\sqrt{1+1/n^4}}.\]Nyní si uvědomme, že
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sin(n+1)}{n^2} = \lim_{\small n\to\infty} \sin(n+1)\cdot\frac{1}{n^2} = 0\]podle úlohy Věta o limitě součinu omezené a nulové posloupnosti, neboť
\[-1 \leq \sin(n+1) \leq 1, \qquad \lim \ \frac{1}{n^2} = 0.\]Podle úlohy Limita pod odmocninou I také máme
\[\lim \ \sqrt{1+2/n^4} = \sqrt{\lim\left(1+2/n^4\right)} = \sqrt{1+0} = 1,\] \[\lim \ \sqrt{1+1/n^4} = \sqrt{\lim\left(1+1/n^4\right)} = \sqrt{1+0} = 1.\]Dáme-li všechny tyto výsledky dohromady, pomocí věty o aritmetice limit získáme
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1+\frac{\sin(n+1)}{n^2}}{\sqrt{1+2/n^4}+\sqrt{1+1/n^4}} = \frac{1+0}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}} = \frac{1}{2}.\]
