Primitivní funkce 1.

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Určete:

\[\int{\mathrm{tg}\,^2{x}}dx\]

Rozbor

Ač se tato úloha jeví jako typová úloha na goniometrické substituce - v argumetnu funkce se vyskytují, po úpravě, goniometrické funkce, dá se celá práce vhodnou trikovou úpravou velmi zjednodušit a celá substituce obejít. Je ovšem třeba znát vztahy pro goniometrické funkce.
Nápověda
Pomocí definice funkce tangens, známých neurčitých integrálů Přehled základních primitivních funkcí, známých základních derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné a vztahů pro goniometrické funkce určete zadaný neurčitý integrál.
řešení nápovědy
Pomocí definice funkce tangens \(\mathrm{tg}\,{y}=\frac{\sin{y}}{\cos{y}}\), upravte integrál jako:
\[\int\mathrm{tg}\,^2{x}dx=\int \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}dx=\]
Využijme rovnosti \(1=\sin^2{y}+\cos^2{y}\)
\[=\int\frac{1-\cos^2{x}}{\cos^2{x}}dx=\]
následně pomocí základní vlastnosti integrálů, integrál rozepíšeme jako součet dvou integrálů:
\[=\int\frac{1}{\cos^2{x}}dx-\int{1}dx=\]
a nakonec pomocí Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné určíme hledanou primitivní funkci:
\[=\mathrm{tg}\,{x}-x+c; \,\, c \in R\]