Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita racionální posloupnosti s parametrem

Úloha číslo: 818

Určete následující limitu v závislosti na hodnotě reálného parametru α

\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2+n+1}{n^\alpha}.\]
  • Nápověda

    Použijte úlohy Limita obecné racionální posloupnosti. Alternativně vytkněte nejvyšší mocninu z čitatele a rozeberte případy, kdy α je větší, menší nebo rovno této mocnině.

  • Řešení

    Určujeme limitu v závislosti na hodnotě reálného parametru α

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2+n+1}{n^\alpha}.\]

    Limitu upravíme vytknutím n2 v čitateli na tvar

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^\alpha}\cdot \frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1} = \]

    a použijeme větu o aritmetice limit

    \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^\alpha}\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1} = \]

    přičemž druhou můžeme ihned vyčíslit a dostaneme tak

    \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^\alpha}\cdot \frac{1+0+0}{1} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^\alpha}.\]

    Poslední limita je rovna pro α = 2

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^2} = \lim_{\small n\to\infty} 1 = 1,\]

    pro α > 2

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^\alpha} = \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{n^{\alpha-2}} = 0\]

    a pro α < 2

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^\alpha} = \lim_{\small n\to\infty} n^{2-\alpha} = +\infty,\]

    kde jsme použili výsledků (a) a (b) z úlohy Základní limity posloupností II.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze