Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita racionální posloupnosti s parametrem
Úloha číslo: 818
Určete následující limitu v závislosti na hodnotě reálného parametru α
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2+n+1}{n^\alpha}.\]Nápověda
Použijte úlohy Limita obecné racionální posloupnosti. Alternativně vytkněte nejvyšší mocninu z čitatele a rozeberte případy, kdy α je větší, menší nebo rovno této mocnině.
Řešení
Určujeme limitu v závislosti na hodnotě reálného parametru α
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^2+n+1}{n^\alpha}.\]Limitu upravíme vytknutím n2 v čitateli na tvar
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^\alpha}\cdot \frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1} = \]a použijeme větu o aritmetice limit
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^\alpha}\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1} = \]přičemž druhou můžeme ihned vyčíslit a dostaneme tak
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^\alpha}\cdot \frac{1+0+0}{1} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^\alpha}.\]Poslední limita je rovna pro α = 2
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^2} = \lim_{\small n\to\infty} 1 = 1,\]pro α > 2
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^\alpha} = \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{n^{\alpha-2}} = 0\]a pro α < 2
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^2}{n^\alpha} = \lim_{\small n\to\infty} n^{2-\alpha} = +\infty,\]kde jsme použili výsledků (a) a (b) z úlohy Základní limity posloupností II.
