Limita rekurentně zadané posloupnosti V
Úloha číslo: 878
Rozhodněte, zda existuje nebo neexistuje limita posloupnosti zadané rekurentně vztahy
\[x_1 = 0, \qquad x_{n+1} = x_n + \frac{1}{2}(a-x_n^2),\]kde 0 ≤ a ≤ 1, a pokud existuje, určete ji v závislosti na hodnotě parametru a !
Řešení
Pokud a = 0, pak je posloupnost identicky nulová a vše je jasné.
Nechť tedy a ≠ 0 a nechť 0 < xn < √a. Tato nerovnost jistě platí pro x1. Odvodíme indukcí, že poté platí také
\[0 < x_{n+1} < \sqrt{a}.\]Máme totiž, že
\[x_{n+1} = x_n + \frac{1}{2}(a-x_n^2),\]což lze upravit na tvar
\[x_{n+1} = -\frac{1}{2}x_n^2 + x_n + \frac{1}{2}a,\] \[x_{n+1} = -\frac{1}{2}\left(x_n^2 - 2x_n\right) + \frac{1}{2}a,\] \[x_{n+1} = -\frac{1}{2}\left(x_n - 1\right)^2 + \frac{1}{2}(a+1).\]Druhá mocnina bude nejmenší pro co nejmenší kladné xn, tudíž
\[x_{n+1} < -\frac{1}{2}\left(0 - 1\right)^2 + \frac{1}{2}(a+1) = \frac{1}{2}a < \sqrt{a}\]za předpokladů na a.
Z toho ale vyplývá, že
\[x_{n+1}-x_n = \frac{1}{2}(a-x_n^2) > 0,\]a tudíž posloupnost {xn} je rostoucí.
Z toho plyne, že posloupnost je konvergentní a existuje její vlastní limita L. Z toho plyne, že musí platit
\[\lim x_{n+1} = \lim (x_n + \frac{1}{2}(a-x_n^2))\] \[L = L+\frac{1}{2}(a-L^2)\] \[L^2 = a\] \[L = \pm\sqrt a.\]Protože ale všechny členy posloupnosti jsou kladné, připadá v úvahu pouze
\[L = \sqrt a.\]Snadno se ověří, že výsledek platí i pro speciální případ a = 0.
