Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita pod odmocninou II

Úloha číslo: 788

Dokažte následující tvrzení o limitě reálné posloupnosti {an}:

(a) Pokud q je racionální číslo a lim an > 0 (a je vlastní), potom

\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = \left(\lim_{\small n\to\infty} a_n \right)^q.\]

(b) Pokud q je kladné racionální číslo, lim an = 0 a an ≥ 0, potom

\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = 0.\]

Je-li naopak q záporné racionální číslo, lim an = 0 a an > 0, potom

\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = +\infty.\]

(c) Pokud q je kladné racionální číslo a lim an = +∞, potom

\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = +\infty.\]

(d) Pokud q je záporné racionální číslo a lim an = +∞, potom

\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = 0.\]

Poznámka: Všechna tvrzení (a)-(d) zůstávají v platnosti, pokud v nich uvažujeme q reálné, nikoliv pouze racionální.

Aby limita vůbec měla smysl, musí být an nezáporná čísla, neboť racionální mocnina záporného čísla není definována. Stejně tak není definován výraz 00. Limita posloupnosti an, existuje-li, je tedy nutně nezáporné číslo a jiné než uvedené případy tedy nemá smysl uvažovat, kromě následujícího triviálního: pokud je q = 0 a koeficienty an jsou kladné, potom je zřejmě lim an = 1.

  • Komentář k úloze

    Řešení úlohy úzce navazuje na předchozí úlohy Limita pod odmocninou IVěta o aritmetice limit pro posloupnosti.
  • Řešení části (a)

    (a) Dokazujeme následující tvrzení: pokud q je racionální číslo a lim an > 0 (a je vlastní), potom

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = \left(\lim_{\small n\to\infty} a_n \right)^q.\]

    Jestliže q je racionální číslo, potom jej lze psát jako podíl celého čísla z a přirozeného čísla k

    \[q = \frac{z}{k}.\]

    Pak lze psát

    \[a_n^q = \sqrt[m]{a_n^z}.\]

    Podle úlohy Věta o aritmetice limit pro posloupnosti víme, že pokud existuje lim an a je různá od nuly, pak pro libovolné celé číslo platí, že

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n^z = \left(\lim_{\small n\to\infty} a_n\right)^z.\tag{1}\]

    Z toho také vyplývá, že pokud lim an je kladné číslo, potom také lim anz je kladné číslo. Položme

    \[b_n = a_n^z.\]

    Potom tedy lim bn > 0 a podle části (a) úlohy Limita pod odmocninou I dostáváme

    \[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{b_n} = \sqrt[k]{\lim_{\small n\to\infty} b_n}.\]

    Dosazením za bn vlevo i vpravo dostáváme rovnost

    \[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{a_n^z} = \sqrt[k]{\lim_{\small n\to\infty} a_n^z}.\]

    Nalevo lze psát aq namísto anz. Napravo použitím rovnosti (1) dostaneme

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = \lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{a_n^z} = \sqrt[k]{\lim_{\small n\to\infty} a_n^z} = \sqrt[k]{\left(\lim_{\small n\to\infty} a_n\right)^z}.\]

    A protože

    \[\sqrt[k]{\left(\lim_{\small n\to\infty} a_n\right)^z} = \left(\lim_{\small n\to\infty} a_n\right)^q,\]

    je důkaz části (a) hotov.

  • Řešení části (b)

    (b1) Pokud q je kladné racionální číslo, lim an = 0 a an ≥ 0, potom

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = 0.\]

    (b2) Je-li naopak q záporné racionální číslo, lim an = 0 a an > 0, potom

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = +\infty.\]

    Dokazujme nejprve tvrzení (b1). To lze udělat zcela analogicky jako část (a). Jestliže q je kladné racionální číslo, potom jej lze psát jako podíl přirozených čísel l a k

    \[q = \frac{l}{k}.\]

    Pak lze psát

    \[a_n^q = \sqrt[k]{a_n^l}.\]

    Podle úlohy Věta o aritmetice limit pro posloupnosti víme, že pokud existuje lim an, pak pro libovolné přirozené číslo l platí, že

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n^l = \left(\lim_{\small n\to\infty} a_n\right)^l.\tag{1}\]

    Z toho také vyplývá, že pokud lim an = 0, potom také lim anl = 0. Položme

    \[b_n = a_n^l.\]

    Potom tedy lim bn = 0 a přitom bn ≥ 0. Tudíž podle části (b) úlohy Limita pod odmocninou I dostáváme

    \[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{b_n} = 0.\]

    Dosazením za bn vlevo dostáváme rovnost

    \[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{a_n^l} = 0,\]

    což samozřejmě znamená, že

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = 0.\]

    Tím je důkaz části (b1) hotov.

    Pro důkaz části (b2) využijeme tvrzení (b) v úloze Dělení nulou, které říká: pokud \[\lim_{\small n\to\infty} c_n = 0\] a zároveň cn > 0 (od nějakého n počínaje), potom

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{c_n} = +\infty.\]

    Jestliže totiž q je záporné racionální číslo, lze psát

    \[a_n^q = \frac{1}{a_n^{-q}},\]

    kde –q je kladné racionální číslo. Označíme-li

    \[c_n = a_n^{-q},\]

    potom podle předchozí části (b1) této úlohy víme, že

    \[\lim c_n = 0\]

    a zároveň, protože an > 0, je také cn > 0. Tudíž podle výše uvedeného tvrzení máme, že

    \[\lim a_n^q = \lim \frac{1}{a_n^{-q}} = \lim \frac{1}{c_n} = +\infty.\]
  • Řešení části (c)

    Dokazujeme: pokud q je kladné racionální číslo a lim an = +∞, potom

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = +\infty.\]

    Opět budeme postupovat analogicky části (b1).

    Jestliže q je kladné racionální číslo, potom jej lze psát jako podíl přirozených čísel l a k

    \[q = \frac{l}{k}.\]

    Pak lze psát

    \[a_n^q = \sqrt[k]{a_n^l}.\]

    Podle úlohy Věta o aritmetice limit pro posloupnosti víme, že lim an = +∞, pak pro libovolné přirozené číslo l platí, že

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n^l = +\infty.\tag{1}\]

    Položme

    \[b_n = a_n^l.\]

    Potom tedy lim bn = +∞. Tudíž podle části (e) úlohy Limita pod odmocninou I dostáváme

    \[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{b_n} = +\infty.\]

    Dosazením za bn vlevo dostáváme rovnost

    \[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{a_n^l} = +\infty,\]

    což samozřejmě znamená, že

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = +\infty.\]

    Tím je důkaz části (c) hotov.

  • Řešení části (d)

    Dokazujeme: pokud q je záporné racionální číslo a lim an = +∞, potom

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = 0.\]

    Z rovnosti \[a_n^q = 1/a_n^{-q}\] plyne, že lze psát

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{a_n^{-q}}.\]

    Pokud bude mít pravá strana smysl, podle věty o aritmetice limit platí

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{a_n^{-q}} = \frac{1}{\lim\limits_{\small n\to\infty} a_n^{-q}}.\]

    Podle části (c) máme

    \[\frac{1}{\lim\limits_{\small n\to\infty} a_n^{-q}} = \frac{1}{+\infty} = 0\]

    (viz poznámku 21 v zadání úlohy Věta o aritmetice limit pro posloupnosti). Protože pravá strana má smysl, je tím ospravedlněno použití věty o aritmetice limit v průběhu výpočtu.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze