Limita pod odmocninou II
Úloha číslo: 788
Dokažte následující tvrzení o limitě reálné posloupnosti {an}:
(a) Pokud q je racionální číslo a lim an > 0 (a je vlastní), potom
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = \left(\lim_{\small n\to\infty} a_n \right)^q.\](b) Pokud q je kladné racionální číslo, lim an = 0 a an ≥ 0, potom
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = 0.\]Je-li naopak q záporné racionální číslo, lim an = 0 a an > 0, potom
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = +\infty.\](c) Pokud q je kladné racionální číslo a lim an = +∞, potom
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = +\infty.\](d) Pokud q je záporné racionální číslo a lim an = +∞, potom
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = 0.\]Poznámka: Všechna tvrzení (a)-(d) zůstávají v platnosti, pokud v nich uvažujeme q reálné, nikoliv pouze racionální.
Aby limita vůbec měla smysl, musí být an nezáporná čísla, neboť racionální mocnina záporného čísla není definována. Stejně tak není definován výraz 00. Limita posloupnosti an, existuje-li, je tedy nutně nezáporné číslo a jiné než uvedené případy tedy nemá smysl uvažovat, kromě následujícího triviálního: pokud je q = 0 a koeficienty an jsou kladné, potom je zřejmě lim an = 1.
Komentář k úloze
Řešení úlohy úzce navazuje na předchozí úlohy Limita pod odmocninou I a Věta o aritmetice limit pro posloupnosti.Řešení části (a)
(a) Dokazujeme následující tvrzení: pokud q je racionální číslo a lim an > 0 (a je vlastní), potom
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = \left(\lim_{\small n\to\infty} a_n \right)^q.\]Jestliže q je racionální číslo, potom jej lze psát jako podíl celého čísla z a přirozeného čísla k
\[q = \frac{z}{k}.\]Pak lze psát
\[a_n^q = \sqrt[m]{a_n^z}.\]Podle úlohy Věta o aritmetice limit pro posloupnosti víme, že pokud existuje lim an a je různá od nuly, pak pro libovolné celé číslo platí, že
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^z = \left(\lim_{\small n\to\infty} a_n\right)^z.\tag{1}\]Z toho také vyplývá, že pokud lim an je kladné číslo, potom také lim anz je kladné číslo. Položme
\[b_n = a_n^z.\]Potom tedy lim bn > 0 a podle části (a) úlohy Limita pod odmocninou I dostáváme
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{b_n} = \sqrt[k]{\lim_{\small n\to\infty} b_n}.\]Dosazením za bn vlevo i vpravo dostáváme rovnost
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{a_n^z} = \sqrt[k]{\lim_{\small n\to\infty} a_n^z}.\]Nalevo lze psát aq namísto anz. Napravo použitím rovnosti (1) dostaneme
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = \lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{a_n^z} = \sqrt[k]{\lim_{\small n\to\infty} a_n^z} = \sqrt[k]{\left(\lim_{\small n\to\infty} a_n\right)^z}.\]A protože
\[\sqrt[k]{\left(\lim_{\small n\to\infty} a_n\right)^z} = \left(\lim_{\small n\to\infty} a_n\right)^q,\]je důkaz části (a) hotov.
Řešení části (b)
(b1) Pokud q je kladné racionální číslo, lim an = 0 a an ≥ 0, potom
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = 0.\](b2) Je-li naopak q záporné racionální číslo, lim an = 0 a an > 0, potom
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = +\infty.\]Dokazujme nejprve tvrzení (b1). To lze udělat zcela analogicky jako část (a). Jestliže q je kladné racionální číslo, potom jej lze psát jako podíl přirozených čísel l a k
\[q = \frac{l}{k}.\]Pak lze psát
\[a_n^q = \sqrt[k]{a_n^l}.\]Podle úlohy Věta o aritmetice limit pro posloupnosti víme, že pokud existuje lim an, pak pro libovolné přirozené číslo l platí, že
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^l = \left(\lim_{\small n\to\infty} a_n\right)^l.\tag{1}\]Z toho také vyplývá, že pokud lim an = 0, potom také lim anl = 0. Položme
\[b_n = a_n^l.\]Potom tedy lim bn = 0 a přitom bn ≥ 0. Tudíž podle části (b) úlohy Limita pod odmocninou I dostáváme
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{b_n} = 0.\]Dosazením za bn vlevo dostáváme rovnost
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{a_n^l} = 0,\]což samozřejmě znamená, že
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = 0.\]Tím je důkaz části (b1) hotov.
Pro důkaz části (b2) využijeme tvrzení (b) v úloze Dělení nulou, které říká: pokud \[\lim_{\small n\to\infty} c_n = 0\] a zároveň cn > 0 (od nějakého n počínaje), potom
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{c_n} = +\infty.\]Jestliže totiž q je záporné racionální číslo, lze psát
\[a_n^q = \frac{1}{a_n^{-q}},\]kde –q je kladné racionální číslo. Označíme-li
\[c_n = a_n^{-q},\]potom podle předchozí části (b1) této úlohy víme, že
\[\lim c_n = 0\]a zároveň, protože an > 0, je také cn > 0. Tudíž podle výše uvedeného tvrzení máme, že
\[\lim a_n^q = \lim \frac{1}{a_n^{-q}} = \lim \frac{1}{c_n} = +\infty.\]Řešení části (c)
Dokazujeme: pokud q je kladné racionální číslo a lim an = +∞, potom
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = +\infty.\]Opět budeme postupovat analogicky části (b1).
Jestliže q je kladné racionální číslo, potom jej lze psát jako podíl přirozených čísel l a k
\[q = \frac{l}{k}.\]Pak lze psát
\[a_n^q = \sqrt[k]{a_n^l}.\]Podle úlohy Věta o aritmetice limit pro posloupnosti víme, že lim an = +∞, pak pro libovolné přirozené číslo l platí, že
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^l = +\infty.\tag{1}\]Položme
\[b_n = a_n^l.\]Potom tedy lim bn = +∞. Tudíž podle části (e) úlohy Limita pod odmocninou I dostáváme
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{b_n} = +\infty.\]Dosazením za bn vlevo dostáváme rovnost
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[k]{a_n^l} = +\infty,\]což samozřejmě znamená, že
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = +\infty.\]Tím je důkaz části (c) hotov.
Řešení části (d)
Dokazujeme: pokud q je záporné racionální číslo a lim an = +∞, potom
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = 0.\]Z rovnosti \[a_n^q = 1/a_n^{-q}\] plyne, že lze psát
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n^q = \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{a_n^{-q}}.\]Pokud bude mít pravá strana smysl, podle věty o aritmetice limit platí
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{a_n^{-q}} = \frac{1}{\lim\limits_{\small n\to\infty} a_n^{-q}}.\]Podle části (c) máme
\[\frac{1}{\lim\limits_{\small n\to\infty} a_n^{-q}} = \frac{1}{+\infty} = 0\](viz poznámku 21 v zadání úlohy Věta o aritmetice limit pro posloupnosti). Protože pravá strana má smysl, je tím ospravedlněno použití věty o aritmetice limit v průběhu výpočtu.
