Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti – n-tá odmocnina II
Úloha číslo: 848
Dokažte, že
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1.\]Řešení
Pro každé n přirozené samozřejmě platí, že
\[\sqrt[n]{n} - 1 \geq 0.\]Pro odvození druhé nerovnosti použijeme Bernoulliovu nerovnost (viz úloha Bernoulliova nerovnost (důkaz matematickou indukcí))
\[(1+x)^m \geq 1+mx\]platnou pro každé m přirozené a x ≥ –1.
Díky ní platí odhad pro n sudé
\[\sqrt n = (\sqrt[n]{n})^{n/2} = (1+(\sqrt[n]{n}-1))^{n/2} \geq \] \[ \geq 1 + \frac{n}{2}((\sqrt[n]{n})-1) \geq 1 + \frac{n-1}{2}((\sqrt[n]{n})-1).\]Pro n liché lze postupovat podobně, pouze dva kroky budou přehozené a využije se monotonie funkce xn:
\[\sqrt n = (\sqrt[n]{n})^{n/2} = (1+(\sqrt[n]{n}-1))^{n/2} \geq \] \[\geq (1+(\sqrt[n]{n}-1))^{(n-1)/2} \geq 1 + \frac{n-1}{2}((\sqrt[n]{n})-1).\]Z obou odhadů plyne, že pro libovolné n přirozené platí
\[0\leq (\sqrt[n]{n}-1) \leq \frac{\sqrt n-1}{n} \to 0.\]Proto platí podle věty o dvou policajtech, že
\[\lim (\sqrt[n]{n}-1) = 0 \implies \lim \sqrt[n]{n} = 1.\]
