Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti – n-tá odmocnina II

Úloha číslo: 848

Dokažte, že

\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1.\]
  • Řešení

    Pro každé n přirozené samozřejmě platí, že

    \[\sqrt[n]{n} - 1 \geq 0.\]

    Pro odvození druhé nerovnosti použijeme Bernoulliovu nerovnost (viz úloha Bernoulliova nerovnost (důkaz matematickou indukcí))

    \[(1+x)^m \geq 1+mx\]

    platnou pro každé m přirozené a x ≥ –1.

    Díky ní platí odhad pro n sudé

    \[\sqrt n = (\sqrt[n]{n})^{n/2} = (1+(\sqrt[n]{n}-1))^{n/2} \geq \] \[ \geq 1 + \frac{n}{2}((\sqrt[n]{n})-1) \geq 1 + \frac{n-1}{2}((\sqrt[n]{n})-1).\]

    Pro n liché lze postupovat podobně, pouze dva kroky budou přehozené a využije se monotonie funkce xn:

    \[\sqrt n = (\sqrt[n]{n})^{n/2} = (1+(\sqrt[n]{n}-1))^{n/2} \geq \] \[\geq (1+(\sqrt[n]{n}-1))^{(n-1)/2} \geq 1 + \frac{n-1}{2}((\sqrt[n]{n})-1).\]

    Z obou odhadů plyne, že pro libovolné n přirozené platí

    \[0\leq (\sqrt[n]{n}-1) \leq \frac{\sqrt n-1}{n} \to 0.\]

    Proto platí podle věty o dvou policajtech, že

    \[\lim (\sqrt[n]{n}-1) = 0 \implies \lim \sqrt[n]{n} = 1.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze