Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Integrace lomené racionální funkce III.

Úloha číslo: 1488

Najděte primitivní funkci k

\[f(x)=\frac{2x+1}{x^2+1}\]
  • Motivace

    Někdy se stane, že v integrované lomené racionální funkci vidíme kombinaci dvou či více v předchozích úlohách (Integrace lomené racionální funkce I., Integrace lomené racionální funkce II.Integrace lomené racionální funkce IV.) uvedených základních, poměrně snadno integrovatelných, výrazů.

    V tomto případě využíváme vlastností integrálu jakožto lineárního zobrazení, integrovaný výraz dělíme na několik jednodušších známých integrálů a dle běžných zvyklostí separovaně integrujeme.

  • Zjednodušení integrálu

    Po bedlivém prozkoumání integrovaného výrazu rozdělte tento na součet dvou jednodušších integrálů, které již umíme integrovat.

  • Substituce

    Vhodnou substitucí převeďte zadaný výraz na součet výrazů typu konstanta krát \(\frac{1}{w}\) plus konstanta krát \(\frac{1}{1+z^2}\).

  • Integrace

    Za pomoci známých používaných primitivních funkcí substituovaný výraz zintegrujte.

  • Řešení

    Po zkusmé derivaci polynomu ze jmenovatele výrazu \(\frac{2x+1}{x^2+1}\) zjišťujeme, že námi obdržený výsledek se nápadně podobá polynomu ve jmenovateli, liší se pouze o konstantu +1. Není ovšem problém, výraz rozdělit na součet dvou zlomků následovným způsobem

    \[\frac{2x+1}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\]

    zpětným součtem můžeme ověřit platnost vzniklého rozkladu.

    Přičemž první zlomek připomíná výraz \(\frac{1}{w}\), druhý výraz pak \(\frac{1}{1+z^2}\), které již umíme integrovat.

    Řešené integrály vypadají následovně

    \[F(x)=\int\frac{2x}{x^2+1}dx+\int\frac{1}{x^2+1}dx\]

    Výraz \(\frac{2x}{x^2+1}\) už se sám o sobě chová jako výraz \(\frac{1}{w}\), substitujeme proto

    \[w=x^2+1\]

    jelikož je \(w\) funkce \(x\), bude pro derivaci \(w\) podle proměné \(x\) platit

    \[dw=2dx\]

    celkově po dosazení obdržíme

    \[\int\frac{2x}{x^2+1}dx=\int\frac{1}{w}dw\]

    Výraz \(\frac{1}{x^2+1}\) netřeba substituovat, protože už sám o sobě představuje známý integrál

    Vzniklé výrazy již snadno zintegrujeme v souladu s motivačním duchem úlohy.

    \[\int\frac{1}{w}dw+\int\frac{1}{1+x^2}dx=\] \[=\ln{|w|}+\mathrm{arctg}\,{x}+c\]

    a po zpětné substituci pak

    \[F(x)=\ln{|x^2+1|}+\mathrm{arctg}\,{x}+c\]
  • Výsledek

    \[F(x)=\ln{|x^2+1|}+\mathrm{arctg}\,{x}+c\]
  • Další úloha v sérii

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze