Sbírka řešených úloh

Integrace lomené racionální funkce III.

Úloha číslo: 1488

• Motivace

  Někdy se stane, že v integrované lomené racionální funkci vidíme kombinaci dvou či více v předchozích úlohách (Integrace lomené racionální funkce I., Integrace lomené racionální funkce II. a Integrace lomené racionální funkce IV.) uvedených základních, poměrně snadno integrovatelných, výrazů.

  V tomto případě využíváme vlastností integrálu jakožto lineárního zobrazení, integrovaný výraz dělíme na několik jednodušších známých integrálů a dle běžných zvyklostí separovaně integrujeme.

• Zjednodušení integrálu

  Po bedlivém prozkoumání integrovaného výrazu rozdělte tento na součet dvou jednodušších integrálů, které již umíme integrovat.

• Zjednodušení integrálu - řešení

  Po zkusmé derivaci polynomu ze jmenovatele výrazu \(\frac{2x+1}{x^2+1}\) zjišťujeme, že námi obdržený výsledek se nápadně podobá polynomu ve jmenovateli, liší se pouze o konstantu +1. Není ovšem problém, výraz rozdělit na součet dvou zlomků následovným způsobem

  \[\frac{2x+1}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\]

  zpětným součtem můžeme ověřit platnost vzniklého rozkladu.

  Přičemž první zlomek připomíná výraz \(\frac{1}{w}\), druhý výraz pak \(\frac{1}{1+z^2}\), které již umíme integrovat.

• Substituce

  Vhodnou substitucí převeďte zadaný výraz na součet výrazů typu konstanta krát \(\frac{1}{w}\) plus konstanta krát \(\frac{1}{1+z^2}\).

• Substituce - řešení

  Řešené integrály vypadají následovně

  \[F(x)=\int\frac{2x}{x^2+1}dx+\int\frac{1}{x^2+1}dx\]

  Výraz \(\frac{2x}{x^2+1}\) už se sám o sobě chová jako výraz \(\frac{1}{w}\), substitujeme proto

  \[w=x^2+1\]

  jelikož je \(w\) funkce \(x\), bude pro derivaci \(w\) podle proměné \(x\) platit

  \[dw=2xdx\]

  celkově po dosazení obdržíme

  \[\int\frac{2x}{x^2+1}dx=\int\frac{1}{w}dw\]

  Výraz \(\frac{1}{x^2+1}\) netřeba substituovat, protože už sám o sobě představuje známý integrál

  Vzniklé výrazy již snadno zintegrujeme v souladu s motivačním duchem úlohy.

• Integrace

  Za pomoci známých používaných primitivních funkcí substituovaný výraz zintegrujte.

• Integrace - řešení

  \[\int\frac{1}{w}dw+\int\frac{1}{1+x^2}dx=\] \[=\ln{|w|}+\mathrm{arctg}\,{x}+c\]

  a po zpětné substituci pak

  \[=\ln{|x^2+1|}+\mathrm{arctg}\,{x}+c\]

• Řešení

  Po zkusmé derivaci polynomu ze jmenovatele výrazu \(\frac{2x+1}{x^2+1}\) zjišťujeme, že námi obdržený výsledek se nápadně podobá polynomu ve jmenovateli, liší se pouze o konstantu +1. Není ovšem problém, výraz rozdělit na součet dvou zlomků následovným způsobem

  \[\frac{2x+1}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\]

  zpětným součtem můžeme ověřit platnost vzniklého rozkladu.

  Přičemž první zlomek připomíná výraz \(\frac{1}{w}\), druhý výraz pak \(\frac{1}{1+z^2}\), které již umíme integrovat.

  Řešené integrály vypadají následovně

  \[F(x)=\int\frac{2x}{x^2+1}dx+\int\frac{1}{x^2+1}dx\]

  Výraz \(\frac{2x}{x^2+1}\) už se sám o sobě chová jako výraz \(\frac{1}{w}\), substitujeme proto

  \[w=x^2+1\]

  jelikož je \(w\) funkce \(x\), bude pro derivaci \(w\) podle proměné \(x\) platit

  \[dw=2dx\]

  celkově po dosazení obdržíme

  \[\int\frac{2x}{x^2+1}dx=\int\frac{1}{w}dw\]

  Výraz \(\frac{1}{x^2+1}\) netřeba substituovat, protože už sám o sobě představuje známý integrál

  Vzniklé výrazy již snadno zintegrujeme v souladu s motivačním duchem úlohy.

  \[\int\frac{1}{w}dw+\int\frac{1}{1+x^2}dx=\] \[=\ln{|w|}+\mathrm{arctg}\,{x}+c\]

  a po zpětné substituci pak

  \[F(x)=\ln{|x^2+1|}+\mathrm{arctg}\,{x}+c\]

• Výsledek

  \[F(x)=\ln{|x^2+1|}+\mathrm{arctg}\,{x}+c\]

• Další úloha v sérii

  Integrace lomené racionální funkce IV.