Sbírka řešených úloh

Úloha o řetězovce (snižování řádu)

Úloha číslo: 1892

• Fyzikální rozbor a cesta k diferenciální rovnici

  

  Na řetězovce zvolíme bod $Q=\bigl[x, y(x)\bigr]$ a uvědomíme si, že velikost tíhové síly působící na část řetězu mezi počátkem $P$ a bodem $Q$ je přímo úměrná hmotnosti této části, a ta zase přímo úměrná její délce. Nebo-li

  $$F_g \sim m \sim l \,,$$

  kdy délku $l$ můžeme vyjádřit pomocí známého vztahu

  $$l=\int\limits_{0}^{x} \sqrt{1+{y'(t)}^2}\mathrm{d}t \,.$$

  Provedeme-li dále rozbor sil působících na pozorovaný segment řetězu mezi body $P$, $Q$, vypozorujeme, že v bodě $Q$ působí síla pnutí $T_Q$ ve směru tečny směrem od bodu $P$, v bodě $P$ pak na opačnou stranu taktéž ve směru tečny síla pnutí $T_P$ a v těžišti segmentu, tj. uprostřed, konečně ve směru osy $y$ směrem k zemi tíhová síla $F_g$, viz obrázek. Protože je řetěz ve statické poloze, tj. v rovnováze, účinky těchto sil se musejí nutně vzájemně rušit. Nebo-li

  $$\vec{F_g}+\vec{T_P}+\vec{T_Q} = 0 \,.$$

  Přesuneme-li všechny síly do bodu $Q$, viz obrázek, vidíme, že pro tangens úhlu $\alpha$ platí

  $$\mathrm{tg}\, \alpha = \frac{F_g}{T_P} \,.$$

  Vzpomeneme si dále, že derivace $y'$ v bodě $x$ odpovídá směrnici tečny v tomto bodě a dojdeme ke vztahu

  $$y'(x)=\mathrm{tg}\, \alpha \Rightarrow y'(x)=\frac{F_g}{T_P} \,.$$

  Protože je ale $F_g$ působící na segment přímo úměrná jeho délce, je této délce díky předchozímu závěru přímo úměrná i derivace $y'(x)$. Jinými slovy

  $$y'(x)=\frac{1}{c}\int\limits_{0}^{x} \sqrt{1+{y'(t)}^2}\mathrm{d} t\,.$$

  Derivujeme-li následně získanou rovnici dle proměnné $x$, obdržíme diferenciální rovnici druhého řádu

  $$y''=\frac{1}{c} \sqrt{1+{y'(x)}^2}\,.$$

• Snížení řádu

  V souladu s Úloha o řetězovce (snižování řádu) nejprve snižte řád řešené rovnice zavedením vhodné substituce.

• Snížení řádu

  Než začneme tuto rovnici řešit, nejprve snížíme její řád zavedením substituce $w(x)=y'(x)$. Přejdeme tak k rovnici se separovanými proměnnými

  $$\begin{align*} w'&=\frac{1}{c} \sqrt{1+{w}^2} \\ \frac{w'}{\sqrt{1+{w}^2}}&=\frac{1}{c} \,. \end{align*}$$

• Přímá integrace

  Pomocí přímé integrace vyřešte substitucí získanou rovnici.

• Přímá integrace

  Tuto rovnici dále integrujeme

  $$\int\frac{\mathrm{d} w}{\sqrt{1+{w}^2}}=\frac{1}{c}\int 1 \mathrm{d} x \,.$$

  Integrál na levé straně řešíme zavedením hyperbolické substituce $w=\sinh v$, kde $\mathrm{d} w=\cosh v \mathrm{d} v$ , získáme tak

  $$\int\frac{\cosh v \mathrm{d} v}{\sqrt{1+{\sinh v}^2}}=\frac{1}{c}\int 1 \mathrm{d} x \,.$$

  S využitím vztahu $1+\sinh v^2 = \cosh v ^2$ pak

  $$\int 1 \mathrm{d} v=\frac{1}{c}\int 1\mathrm{d} x \,.$$

  Po nalezení příslušných primitivních funkcí následně

  $$v=\frac{1}{c}x + k \,,$$

  a po zpětné substituci konečně

  $$\operatorname{arcsinh}\,w=\frac{1}{c}x + k \Rightarrow w=\sinh\left(\frac{1}{c}x + k\right)\,.$$

  Vzpomeneme si na námi zavedenou počáteční podmínku $y'(0) = 0$, tedy $w(0)=0$ a určíme konstantu $k$ jako

  $$0=\sinh(0 + k)\Rightarrow k =0 \,.$$

  K hledané funkci $y(x)$ nakonec přejdeme pomocí prvního užitého substitučního vztahu $y'(x)=w(x)$, nebo-li

  $$\begin{align*} y'&=\int \sinh \left(\frac{x}{c}\right) \mathrm{d} x \\ y(x)&=c \cosh \left(\frac{x}{c}\right) + L \,, \end{align*}$$

  kde konstanta $L$ určuje posunutí. Celkově tak můžeme říci, že řetězovka je grafem funkce $\cosh (x)$.

• Řešení

  Než začneme tuto rovnici řešit, nejprve snížíme její řád zavedením substituce $w(x)=y'(x)$. Přejdeme tak k rovnici se separovanými proměnnými

  $$\begin{align*} w'&=\frac{1}{c} \sqrt{1+{w}^2} \\ \frac{w'}{\sqrt{1+{w}^2}}&=\frac{1}{c} \,. \end{align*}$$

  Tuto rovnici dále integrujeme

  $$\int\frac{\mathrm{d} w}{\sqrt{1+{w}^2}}=\frac{1}{c}\int 1 \mathrm{d} x \,.$$

  Integrál na levé straně řešíme zavedením hyperbolické substituce $w=\sinh v$, kde $\mathrm{d} w=\cosh v \mathrm{d} v$ , získáme tak

  $$\int\frac{\cosh v \mathrm{d} v}{\sqrt{1+{\sinh v}^2}}=\frac{1}{c}\int 1 \mathrm{d} x \,.$$

  S využitím vztahu $1+\sinh v^2 = \cosh v ^2$ pak

  $$\int 1 \mathrm{d} v=\frac{1}{c}\int 1\mathrm{d} x \,.$$

  Po nalezení příslušných primitivních funkcí následně

  $$v=\frac{1}{c}x + k \,,$$

  a po zpětné substituci konečně

  $$\operatorname{arcsinh}\,w=\frac{1}{c}x + k \Rightarrow w=\sinh\left(\frac{1}{c}x + k\right)\,.$$

  Vzpomeneme si na námi zavedenou počáteční podmínku $y'(0) = 0$, tedy $w(0)=0$ a určíme konstantu $k$ jako

  $$0=\sinh(0 + k)\Rightarrow k =0 \,.$$

  K hledané funkci $y(x)$ nakonec přejdeme pomocí prvního užitého substitučního vztahu $y'(x)=w(x)$, nebo-li

  $$\begin{align*} y'&=\int \sinh \left(\frac{x}{c}\right) \mathrm{d} x \\ y(x)&=c \cosh \left(\frac{x}{c}\right) + L \,, \end{align*}$$

  kde konstanta $L$ určuje posunutí. Celkově tak můžeme říci, že řetězovka je grafem funkce $\cosh (x)$.