Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Věta o limitě posloupnosti a uspořádání

Úloha číslo: 845

Dokažte následující tvrzení:

(a) Jestliže {an} a {bn} jsou reálné posloupnosti a (od nějakého indexu počínaje) platí anbn, potom také platí

\[\lim_{\small n\to\infty} a_n \leq \lim_{\small n\to\infty} b_n\]

za předpokladu, že obě limity existují.

(b) Jestliže {an} a {bn} jsou reálné posloupnosti a platí

\[\lim_{\small n\to\infty} a_n < \lim_{\small n\to\infty} b_n\]

potom od nějakého indexu počínaje platí, že

\[a_n < b_n.\]

Výslovně zdůrazněme, že výše uvedené limity posloupností v obou částech (a) a (b) úlohy mohou být i nevlastní.

(c) Tvrzení (a) a (b) neplatí, pokud nahradíme obě neostré nerovnosti ostrými nebo naopak. Najděte protipříklady.

  • Řešení části (a)

    Dokazujeme následující tvrzení:

    (a) Jestliže {an} a {bn} jsou reálné posloupnosti a (od nějakého indexu počínaje) platí anbn, potom také platí

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n \leq \lim_{\small n\to\infty} b_n\]

    za předpokladu, že obě limity existují.

    Nejprve odbudeme případ nevlastních limit. Jestliže lim bn = +∞, potom není co dokazovat. Pokud lim bn = –∞, znamená to, že pro každé K reálné je posloupnost {bn} od nějakého člena počínaje menší než K, a tudíž od stejného členu počínaje to platí i pro posloupnost {an}. Z definice má tedy též limitu –∞.

    Jestliže je lim an = –∞, opět není co dokazovat. Pokud lim an = +∞, znamená to, že pro každé K reálné je posloupnost {an} od nějakého člena počínaje větší než K, a tudíž od stejného členu počínaje to platí i pro posloupnost {bn}. Z definice má tedy též limitu +∞.

    Můžeme tudíž předpokládat, že obě limity existují a jsou vlastní.

    V tom případě budeme dokazovat sporem. Předpokládejme tedy, že anbn od nějakého členu počínaje, že existují obě limity a přitom platí

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n > \lim_{\small n\to\infty} b_n.\]

    Označme nyní

    \[L_1 = \lim_{\small n\to\infty} a_n, \qquad L_2 = \lim_{\small n\to\infty} b_n.\]

    Volme

    \[\varepsilon = \frac{L_1-L_2}{3}.\]

    Zjevně je podle předpokladu ε > 0. Existují tudíž přirozená čísla N1 a N2 taková, že pro všechna přirozená n > N1, resp. n > N2 platí

    \[\left|a_n-L_1\right|<\varepsilon, \qquad \textrm{resp.} \qquad \left|b_n-L_2\right| < \varepsilon.\]

    Obě nerovnosti implikují, že

    \[a_n > L_1-\varepsilon, \qquad b_n < \varepsilon+L_2.\]

    Z toho ale vyplývá, že pro všechna přirozená n větší než obě čísla N1 a N2 platí

    \[a_n-b_n > L_1-\varepsilon-(\varepsilon+L_2) > L_1-L_2-2\varepsilon = \frac{L_1-L_2}{3} > 0,\]

    což je spor.

  • Řešení části (b)

    Stačí si uvědomit, že případ (b) je větou obměněnou vůči části (a). Okomentujme to nicméně podrobněji.

    V případě, že obě limity jsou vlastní, jsme během důkazu sporem v části (a) odvodili de facto tvrzení (b).

    Jestliže je nyní lim an = –∞, pak podle předpokladu musí být lim bn buď vlastní nebo rovna +∞. V prvním případě jsou členy posloupnosti {bn} od nějakého členu počínaje větší než limita této posloupnosti ponížená o libovolně zvolené ε. Ve druhém případě pak totéž platí pro libovolně zvolené reálné číslo, např. 0. Zároveň od nějakého členu počínaje jsou členy posloupnosti {an} podle definice nevlastní limity –∞ menší než jedno či druhé uvažované číslo.

    Jestliže je naopak lim bn = +∞, pak podle předpokladu musí být lim an buď vlastní nebo rovna –∞. V prvním případě jsou členy posloupnosti {an} od nějakého členu počínaje menší než limita této posloupnosti povýšená o libovolně zvolené ε. Ve druhém případě pak totéž platí pro libovolně zvolené reálné číslo, např. 0. Zároveň od nějakého členu počínaje jsou členy posloupnosti {bn} podle definice nevlastní limity +∞ větší než jedno či druhé uvažované číslo.

  • Řešení části (c)

    Protipříklad k části (a).

    Pro posloupnosti určené vztahy

    \[a_n = \frac{1}{n}, \qquad b_n = 0,\]

    platí, že an > bn a přesto

    \[\lim a_n = \lim b_n = 0.\]

    Protipříklad k části (b).

    Pro posloupnosti určené vztahy

    \[a_n = \frac{(-1)^n}{n}, \qquad b_n = 0,\]

    neplatí ani an > bn, ani an < bn a přesto

    \[\lim a_n = \lim b_n = 0.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze