Věta o limitě posloupnosti a uspořádání
Úloha číslo: 845
Dokažte následující tvrzení:
(a) Jestliže {an} a {bn} jsou reálné posloupnosti a (od nějakého indexu počínaje) platí an ≤ bn, potom také platí
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n \leq \lim_{\small n\to\infty} b_n\]za předpokladu, že obě limity existují.
(b) Jestliže {an} a {bn} jsou reálné posloupnosti a platí
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n < \lim_{\small n\to\infty} b_n\]potom od nějakého indexu počínaje platí, že
\[a_n < b_n.\]Výslovně zdůrazněme, že výše uvedené limity posloupností v obou částech (a) a (b) úlohy mohou být i nevlastní.
(c) Tvrzení (a) a (b) neplatí, pokud nahradíme obě neostré nerovnosti ostrými nebo naopak. Najděte protipříklady.
Řešení části (a)
Dokazujeme následující tvrzení:
(a) Jestliže {an} a {bn} jsou reálné posloupnosti a (od nějakého indexu počínaje) platí an ≤ bn, potom také platí
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n \leq \lim_{\small n\to\infty} b_n\]za předpokladu, že obě limity existují.
Nejprve odbudeme případ nevlastních limit. Jestliže lim bn = +∞, potom není co dokazovat. Pokud lim bn = –∞, znamená to, že pro každé K reálné je posloupnost {bn} od nějakého člena počínaje menší než K, a tudíž od stejného členu počínaje to platí i pro posloupnost {an}. Z definice má tedy též limitu –∞.
Jestliže je lim an = –∞, opět není co dokazovat. Pokud lim an = +∞, znamená to, že pro každé K reálné je posloupnost {an} od nějakého člena počínaje větší než K, a tudíž od stejného členu počínaje to platí i pro posloupnost {bn}. Z definice má tedy též limitu +∞.
Můžeme tudíž předpokládat, že obě limity existují a jsou vlastní.
V tom případě budeme dokazovat sporem. Předpokládejme tedy, že an ≤ bn od nějakého členu počínaje, že existují obě limity a přitom platí
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n > \lim_{\small n\to\infty} b_n.\]Označme nyní
\[L_1 = \lim_{\small n\to\infty} a_n, \qquad L_2 = \lim_{\small n\to\infty} b_n.\]Volme
\[\varepsilon = \frac{L_1-L_2}{3}.\]Zjevně je podle předpokladu ε > 0. Existují tudíž přirozená čísla N1 a N2 taková, že pro všechna přirozená n > N1, resp. n > N2 platí
\[\left|a_n-L_1\right|<\varepsilon, \qquad \textrm{resp.} \qquad \left|b_n-L_2\right| < \varepsilon.\]Obě nerovnosti implikují, že
\[a_n > L_1-\varepsilon, \qquad b_n < \varepsilon+L_2.\]Z toho ale vyplývá, že pro všechna přirozená n větší než obě čísla N1 a N2 platí
\[a_n-b_n > L_1-\varepsilon-(\varepsilon+L_2) > L_1-L_2-2\varepsilon = \frac{L_1-L_2}{3} > 0,\]což je spor.
Řešení části (b)
Stačí si uvědomit, že případ (b) je větou obměněnou vůči části (a). Okomentujme to nicméně podrobněji.
V případě, že obě limity jsou vlastní, jsme během důkazu sporem v části (a) odvodili de facto tvrzení (b).
Jestliže je nyní lim an = –∞, pak podle předpokladu musí být lim bn buď vlastní nebo rovna +∞. V prvním případě jsou členy posloupnosti {bn} od nějakého členu počínaje větší než limita této posloupnosti ponížená o libovolně zvolené ε. Ve druhém případě pak totéž platí pro libovolně zvolené reálné číslo, např. 0. Zároveň od nějakého členu počínaje jsou členy posloupnosti {an} podle definice nevlastní limity –∞ menší než jedno či druhé uvažované číslo.
Jestliže je naopak lim bn = +∞, pak podle předpokladu musí být lim an buď vlastní nebo rovna –∞. V prvním případě jsou členy posloupnosti {an} od nějakého členu počínaje menší než limita této posloupnosti povýšená o libovolně zvolené ε. Ve druhém případě pak totéž platí pro libovolně zvolené reálné číslo, např. 0. Zároveň od nějakého členu počínaje jsou členy posloupnosti {bn} podle definice nevlastní limity +∞ větší než jedno či druhé uvažované číslo.
Řešení části (c)
Protipříklad k části (a).
Pro posloupnosti určené vztahy
\[a_n = \frac{1}{n}, \qquad b_n = 0,\]platí, že an > bn a přesto
\[\lim a_n = \lim b_n = 0.\]Protipříklad k části (b).
Pro posloupnosti určené vztahy
\[a_n = \frac{(-1)^n}{n}, \qquad b_n = 0,\]neplatí ani an > bn, ani an < bn a přesto
\[\lim a_n = \lim b_n = 0.\]
