Rozklad na parciální zlomky IV.
Úloha číslo: 1483
Na parciállnní zlomky rozlož výraz
\[\frac{2x^2-x+1}{x^3-x^2-x+1}\]Motivace
V úlohách Rozklad na parciální zlomky I., Rozklad na parciální zlomky II. a Rozklad na parciální zlomky III. jsme si ukázali, jak si poradit s rozklady všech možných typů racionálních lomených výrazů nad reálnými čísly zvlášť. Tato úloha poslouží k procvičení námi nabytých dovedností.
Jak k problematice parciálních zlomků přistupovat obecněji?
Základem je rozklad na součin polynomu ve jmenovateli zlomku. Což vždy provedíme jako první.
Za pomoci získaného rozkladu vytvoříme smyslupný rozklad na parciální zlomky v obecné podobě. Přičemž se držíme zásady, že stupeň polynomu v čitateli námi navrhovaného parciálního zlomku je o jedna nižší než stupeň polynomu ve jmenovateli téhož parciálního zlomku.
Vzniká nám tak jistá libovůle ve volbě podoby jednotlivých členů navrhovaného rozkladu. Dbejme přitom však omezující podmínky, že společný jmenovatel navrhovaných parciálních zlomků musí být polynomem ze jmenovatele původního zlomku.
Součinový tvar
Polynom ve jmenovateli rozložte na součinový tvar.
Součinový tvar - řešení
\[x^3-x^2-x+1\]Zkusmo ověříme pravidlo dělitelnosti absolutního členu polynomu jeho celočíselným kořenem.
Zjišťujeme, že číslo 1 je kořenem polynomu, neboť 1 dělí 1 a platí
\[1^3-1^2-1+1=1-1-1+1=0\]Z této skutečnosti plyne, že z polynomu \(x^3-x^2-x+1\) můžeme vytknout výraz \((x-1)\).
Dělením polynomů zjistíme, co po vytknutí výrazu \((x-1)\) z polynomu zbude, přičemž můžeme polynomi prostě vydělit, jak jsme zvyklí ze střední školy nebo využít postupů osvojených z úloh Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly, Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I. a Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II..
\[\frac{x^3-x^2-x+1}{x-1}=\frac{x^2(x+1-1)-x^2-x+1}{x-1}=\] \[=\frac{x^2(x-1)+x^2-x^2-x+1}{x-1}=\frac{x^2(x-1)-(x-1)}{x-1}=\] \[=\frac{x^2(x-1)}{x-1}-\frac{(x-1)}{x-1}=x^2-1\] \[x^3-x^2-x+1=(x-1)(x^2-1)\]Pro rozklad výrazu \(x^2-1\) nakonec využijeme vzorce \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) a získáme tak
\[x^3-x^2-x+1=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)\]Rozklad na parciální zlomky
S využitím získaného rozkladu na součin polynomu ze jmenovatele výrazu připravte obecný rozklad výrazu na parciální zlomky v souladu s motivačním textem úlohy.
Konkrétní podoba rozkladu
Pomocí metody porovnávání koeficientů určete podobu konstant \(A,B,C\) tak, aby platila rovnost výše.
Řešení
Zkusmým ověřením pravidla dělitelnosti absolutního členu polynomu jeho celočíselným kořenem zjišťujeme, že číslo 1 je kořenem polynomu, neboť 1 dělí 1 a platí
\[1^3-1^2-1+1=1-1-1+1=0\]Z této skutečnosti plyne, že z polynomu \(x^3-x^2-x+1\) můžeme vytknout výraz \((x-1)\).
Dělením polynomů zjistíme, co po vytknutí výrazu \((x-1)\) z polynomu zbude, přičemž můžeme polynomi prostě vydělit, jak jsme zvyklí ze střední školy nebo využít postupů osvojených z úloh Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly, Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I. a Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II..
\[\frac{x^3-x^2-x+1}{x-1}=\frac{x^2(x+1-1)-x^2-x+1}{x-1}=\] \[=\frac{x^2(x-1)+x^2-x^2-x+1}{x-1}=\frac{x^2(x-1)-(x-1)}{x-1}=\] \[=\frac{x^2(x-1)}{x-1}-\frac{(x-1)}{x-1}=x^2-1\] \[x^3-x^2-x+1=(x-1)(x^2-1)\]Pro rozklad výrazu \(x^2-1\) nakonec využijeme vzorce \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) a získáme tak
\[x^3-x^2-x+1=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)\]S Využitím získaného součinového tvaru, můžeme celý výraz přepsat jako
\[\frac{2x^2-x+1}{x^3-x^2-x+1}=\frac{2x^2-x+1}{(x-1)^2(x+1)}\]Podržíme-li se teoretické základny z motivačního textu úlohy, bude návrh rozkladu výrazu na parciální zlomky vypadat následovně
\[\frac{2x^2-x+1}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x+1)}\]Takto získaný obecný rozklad připravíme pro metodu porovnávání koeficientů přenásobením obou stran rovnosti výrazem \((x-1)^2(x+1)\) a získáme tak
\[2x^2-x+1=A(x^2-1)+B(x+1)+C(x-1)^2\]závorky roznásobíme
\[2x^2-x+1=Ax^2-A + Bx+B+Cx^2-2Cx+C\] \[2x^2-x+1=(A+C)x^2+(B-2C)x+(-A+B+C)\]aby rovnost platila musí platit následující tři podmínky
(polynomy se sobě rovnají, rovnají-li se sobě navzájem si korespondující koeficienty)
\[2=A+C\] \[-1=B-2C\] \[1=-A+B+C\]Jedná se o soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých.
Z první rovnice získáváme
\[2-C=A\]dosazením do druhé a třetí rovnice pak
\[-1=B-2C\] \[3=2C+B\]následně pak sečtením takto vzniklých rovnic získáváme
\[2=2B\] \[B=1\]zpětným dosazením \(B\) do druhé rovnice obdržíme
\[C=1\]a konečně dosazením \(C\) do první
\[A=1\]Řešením soustavy je tak trojice
\[A=B=C=1\]čemuž odpovídá rozklad
\[\frac{2x^2-x+1}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x+1)}\]Výsledek
\[\frac{2x^2-x+1}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x+1)}\]Další úloha v sérii
