Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti - komplexní úloha II

Úloha číslo: 851

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{2^n + 3^n}}{\sqrt[2n]{4^n+\sqrt{n}}}.\]
  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{2^n + 3^n}}{\sqrt[2n]{4^n+\sqrt{n}}}.\]

    Z čitatele i jmenovatele vytkneme nejrychleji rostoucí člen

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{3^n}\cdot\sqrt[n]{(2/3)^n + 1}}{\sqrt[2n]{4^n}\cdot\sqrt[2n]{1+\frac{\sqrt{n}}{4^n}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{3\cdot\sqrt[n]{(2/3)^n + 1}}{\sqrt[2n]{2^{2n}}\cdot\sqrt[2n]{1+\frac{\sqrt{n}}{4^n}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{3\cdot\sqrt[n]{(2/3)^n + 1}}{2\cdot\sqrt[2n]{1+\frac{\sqrt{n}}{4^n}}} = \] \[ = \frac{3}{2}\cdot\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{(2/3)^n + 1}}{\sqrt[2n]{1+\frac{\sqrt{n}}{4^n}}} = \frac{3}{2},\]

    neboť záhy ukážeme, že limita čitatele i jmenovatele jsou rovny jedné.

    Začněme čitatelem. Podle úlohy Limita geometrické posloupnosti je

    \[\lim \ (2/3)^n = 0,\]

    tudíž podle věty o aritmetice limit je

    \[\lim \ 1+(2/3)^n = 1.\]

    Podle definice vlastní limity posloupnosti od nějakého členu počínaje platí, že

    \[1+(2/3)^n < 1+\varepsilon,\]

    kde ε lze volit libovolné kladné. Tudíž od jistého členu počínaje platí nerovnosti

    \[1 \leq 1+(2/3)^n \leq 1+\varepsilon,\]

    a tedy také nerovnosti

    \[\sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{1+(2/3)^n} \leq \sqrt[n]{1+\varepsilon}.\]

    Protože ale platí podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I, že

    \[\lim \ \sqrt[n]{1} = 1, \qquad \lim \ \sqrt[n]{1+\varepsilon} = 1,\]

    podle úlohy Věta o dvou policajtech máme také, že

    \[\lim \ \sqrt[n]{1+(2/3)^n} = 1.\]

    A nyní ke jmenovateli, použijeme podobný postup. Podle části (c) úlohy Limita posloupnosti - růstová škála je

    \[\lim \ \frac{\sqrt{n}}{4^n} = \lim \ \frac{n^{1/2}}{4^n} = 0,\]

    a dále postupujeme stejně jako výše u čitatele. Podle věty o aritmetice limit je

    \[\lim \ 1+(\sqrt{n}/4^n) = 1.\]

    Podle definice vlastní limity posloupnosti od nějakého členu počínaje platí, že

    \[1+(\sqrt{n}/4^n) < 1+\varepsilon,\]

    kde ε lze volit libovolné kladné. Tudíž od jistého členu počínaje platí nerovnosti

    \[1 \leq 1+(\sqrt{n}/4^n) \leq 1+\varepsilon,\]

    a tedy také nerovnosti

    \[\sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{1+(\sqrt{n}/4^n)} \leq \sqrt[n]{1+\varepsilon}.\]

    Protože ale platí podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I, že

    \[\lim \ \sqrt[n]{1} = 1, \qquad \lim \ \sqrt[n]{1+\varepsilon} = 1,\]

    podle úlohy Věta o dvou policajtech máme také, že

    \[\lim \ \sqrt[n]{1+(\sqrt{n}/4^n)} = 1.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze