Sbírka řešených úloh

Limita posloupnosti - komplexní úloha II

Úloha číslo: 851

• Řešení

  Určujeme limitu posloupnosti

  $$\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{2^n + 3^n}}{\sqrt[2n]{4^n+\sqrt{n}}}.$$

  Z čitatele i jmenovatele vytkneme nejrychleji rostoucí člen

  $$\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{3^n}\cdot\sqrt[n]{(2/3)^n + 1}}{\sqrt[2n]{4^n}\cdot\sqrt[2n]{1+\frac{\sqrt{n}}{4^n}}} =$$ $$= \lim_{\small n\to\infty} \frac{3\cdot\sqrt[n]{(2/3)^n + 1}}{\sqrt[2n]{2^{2n}}\cdot\sqrt[2n]{1+\frac{\sqrt{n}}{4^n}}} =$$ $$= \lim_{\small n\to\infty} \frac{3\cdot\sqrt[n]{(2/3)^n + 1}}{2\cdot\sqrt[2n]{1+\frac{\sqrt{n}}{4^n}}} =$$ $$= \frac{3}{2}\cdot\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{(2/3)^n + 1}}{\sqrt[2n]{1+\frac{\sqrt{n}}{4^n}}} = \frac{3}{2},$$

  neboť záhy ukážeme, že limita čitatele i jmenovatele jsou rovny jedné.

  Začněme čitatelem. Podle úlohy Limita geometrické posloupnosti je

  $$\lim \ (2/3)^n = 0,$$

  tudíž podle věty o aritmetice limit je

  $$\lim \ 1+(2/3)^n = 1.$$

  Podle definice vlastní limity posloupnosti od nějakého členu počínaje platí, že

  $$1+(2/3)^n < 1+\varepsilon,$$

  kde ε lze volit libovolné kladné. Tudíž od jistého členu počínaje platí nerovnosti

  $$1 \leq 1+(2/3)^n \leq 1+\varepsilon,$$

  a tedy také nerovnosti

  $$\sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{1+(2/3)^n} \leq \sqrt[n]{1+\varepsilon}.$$

  Protože ale platí podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I, že

  $$\lim \ \sqrt[n]{1} = 1, \qquad \lim \ \sqrt[n]{1+\varepsilon} = 1,$$

  podle úlohy Věta o dvou policajtech máme také, že

  $$\lim \ \sqrt[n]{1+(2/3)^n} = 1.$$

  A nyní ke jmenovateli, použijeme podobný postup. Podle části (c) úlohy Limita posloupnosti - růstová škála je

  $$\lim \ \frac{\sqrt{n}}{4^n} = \lim \ \frac{n^{1/2}}{4^n} = 0,$$

  a dále postupujeme stejně jako výše u čitatele. Podle věty o aritmetice limit je

  $$\lim \ 1+(\sqrt{n}/4^n) = 1.$$

  Podle definice vlastní limity posloupnosti od nějakého členu počínaje platí, že

  $$1+(\sqrt{n}/4^n) < 1+\varepsilon,$$

  kde ε lze volit libovolné kladné. Tudíž od jistého členu počínaje platí nerovnosti

  $$1 \leq 1+(\sqrt{n}/4^n) \leq 1+\varepsilon,$$

  a tedy také nerovnosti

  $$\sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{1+(\sqrt{n}/4^n)} \leq \sqrt[n]{1+\varepsilon}.$$

  Protože ale platí podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I, že

  $$\lim \ \sqrt[n]{1} = 1, \qquad \lim \ \sqrt[n]{1+\varepsilon} = 1,$$

  podle úlohy Věta o dvou policajtech máme také, že

  $$\lim \ \sqrt[n]{1+(\sqrt{n}/4^n)} = 1.$$