Limita posloupnosti - komplexní úloha II
Úloha číslo: 851
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{2^n + 3^n}}{\sqrt[2n]{4^n+\sqrt{n}}}.\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{2^n + 3^n}}{\sqrt[2n]{4^n+\sqrt{n}}}.\]Z čitatele i jmenovatele vytkneme nejrychleji rostoucí člen
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{3^n}\cdot\sqrt[n]{(2/3)^n + 1}}{\sqrt[2n]{4^n}\cdot\sqrt[2n]{1+\frac{\sqrt{n}}{4^n}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{3\cdot\sqrt[n]{(2/3)^n + 1}}{\sqrt[2n]{2^{2n}}\cdot\sqrt[2n]{1+\frac{\sqrt{n}}{4^n}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{3\cdot\sqrt[n]{(2/3)^n + 1}}{2\cdot\sqrt[2n]{1+\frac{\sqrt{n}}{4^n}}} = \] \[ = \frac{3}{2}\cdot\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{(2/3)^n + 1}}{\sqrt[2n]{1+\frac{\sqrt{n}}{4^n}}} = \frac{3}{2},\]neboť záhy ukážeme, že limita čitatele i jmenovatele jsou rovny jedné.
Začněme čitatelem. Podle úlohy Limita geometrické posloupnosti je
\[\lim \ (2/3)^n = 0,\]tudíž podle věty o aritmetice limit je
\[\lim \ 1+(2/3)^n = 1.\]Podle definice vlastní limity posloupnosti od nějakého členu počínaje platí, že
\[1+(2/3)^n < 1+\varepsilon,\]kde ε lze volit libovolné kladné. Tudíž od jistého členu počínaje platí nerovnosti
\[1 \leq 1+(2/3)^n \leq 1+\varepsilon,\]a tedy také nerovnosti
\[\sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{1+(2/3)^n} \leq \sqrt[n]{1+\varepsilon}.\]Protože ale platí podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I, že
\[\lim \ \sqrt[n]{1} = 1, \qquad \lim \ \sqrt[n]{1+\varepsilon} = 1,\]podle úlohy Věta o dvou policajtech máme také, že
\[\lim \ \sqrt[n]{1+(2/3)^n} = 1.\]A nyní ke jmenovateli, použijeme podobný postup. Podle části (c) úlohy Limita posloupnosti - růstová škála je
\[\lim \ \frac{\sqrt{n}}{4^n} = \lim \ \frac{n^{1/2}}{4^n} = 0,\]a dále postupujeme stejně jako výše u čitatele. Podle věty o aritmetice limit je
\[\lim \ 1+(\sqrt{n}/4^n) = 1.\]Podle definice vlastní limity posloupnosti od nějakého členu počínaje platí, že
\[1+(\sqrt{n}/4^n) < 1+\varepsilon,\]kde ε lze volit libovolné kladné. Tudíž od jistého členu počínaje platí nerovnosti
\[1 \leq 1+(\sqrt{n}/4^n) \leq 1+\varepsilon,\]a tedy také nerovnosti
\[\sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{1+(\sqrt{n}/4^n)} \leq \sqrt[n]{1+\varepsilon}.\]Protože ale platí podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I, že
\[\lim \ \sqrt[n]{1} = 1, \qquad \lim \ \sqrt[n]{1+\varepsilon} = 1,\]podle úlohy Věta o dvou policajtech máme také, že
\[\lim \ \sqrt[n]{1+(\sqrt{n}/4^n)} = 1.\]
