Lineární rovnice řádu n
Úloha číslo: 1862
Tato úloha slouží pouze jako úvod do problematiky lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu a výchozí odkaz pro další příklady. Vymezuje klíčové pojmy, jako je homogenní a nehomogenní rovncie a Wronskián.
Lineární rovnice a její řešení
Lineární diferenciální rovnicí řádu \(n\) rozumíme rovnici
\[a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+\cdots + a_0(x)y = b(x);\, a_{n}\ne 0\,.\]V případě, že \(b(x)\ne 0\) hovoříme o rovnici nehomogenní, respektive o rovnici s pravou stranou, v opačném případě, kdy \(b(x)\equiv 0\) pak o rovnici homogenní.
Zaměřme se nejprve na homogenní rovnici
\[a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots + a_0(x)y = 0\,.\]Stejně jako v případě lineárních rovnic prvního řádu, $ y=0 $ je vždy triviálním řešením této rovnice.
Jsou-li dále \(y_1\), \(y_2\) řešeními homogenní rovnice, pak i jim příslušná lineární kombinace \(y = c_1y_1+c_2y_2\) řeší též homogenní rovnici. Což snadno dokážeme přímým dosazením
\[a_{n}\bigl(c_1y_1+c_2y_2\bigr)^{(n)}+a_{n-1}(x)\bigl(c_1y_1+c_2y_2\bigr)^{(n-1)}+\cdots + a_0(x)\bigl( c_1y_1+c_2y_2\bigr) = 0\,.\]Za pomoci věty o derivaci součtu tak získáme
\[a_{n}c_1y_1^{(n)}+a_{n}c_2y_2^{(n)}+a_{n-1}(x)c_1y_1^{(n-1)}+a_{n-1}(x)c_2y_2^{(n-1)}+\] \[+\cdots + a_0(x) c_1y_1+a_0(x)c_2y_2 = 0\]a po následném přeuspořádání a přeuzávorkování pak
\[c_1\Bigl(a_{n}y_1^{(n)}+a_{n-1}(x)y_1^{(n-1)}+\cdots + a_0(x) y_1\Bigr)+ \] \[+c_2\Bigl(a_{n}y_2^{(n)}+a_{n-1}(x)y_2^{(n-1)}+\cdots + a_0(x) y_2\Bigr)= 0\,.\]Konečně využijeme předpokladu, že jak \(y_1\), tak \(y_2\) řeší původní homogenní rovnici, výrazy v závorkách jsou proto rovny nule
\[c_1\cdot(0)+c_2\cdot(0)=0 \,.\]V řeči lineární algebry námi učiněné poznatky poukazují na skutečnost, že množina všech řešení homogenní soustavy tvoří vektorový prostor. Dimenze tohoto prostoru odpovídá řádu rovnice \(n\) a přísluší mu báze \(\{ y_1, \cdots , y_n\}\), již v terminologii diferenciálních rovnic zveme fundamentální systém. Každé řešení homogenní rovnice tak lze vyjádřit jako lineární kombinaci
\[y_h=c_1y_1+c_2y_2+\cdots +c_ny_n\,.\]V případě lineárních rovnic prvního řádu (Lineární rovnice) jsme ukázali, že obecné řešení nehomogenní rovnice \(y\) lze vyjádřit jako součet
\[y= y_h+y_p \,,\]kde \(y_h\) značilo obecné řešení příslušné homogenní rovnice, \(y_p\) pak jedno konkrétní partikulární řešení rovnice s pravou stranou. V případě lineárních rovnic řádu \(n\) bychom při témže značení stejným postupem dospěli k témuž závěru.
Wronskián
Dalším významným pojmem na poli lineárních diferenciálních rovnic je Wronského determinant nebo též wronskián. Jak napovídá název, jedná se o determinant
\[W = w\bigl(f_1, f_2, \cdots , f_n\bigr)(x_0) =\begin{vmatrix} f_1(x_0) & f_2(x_0) & \cdots & f_n(x_0) \\ f'_1(x_0) & f'_2(x_0) & \cdots & f'_n(x_0) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ f^{(n-1)}_1(x_0) & f^{(n-1)}_2(x_0) & \cdots & f^{(n-1)}_n(x_0) \end{vmatrix} \,,\]kde \(f_1, f_2, \cdots, f_n\) jsou funkce, jež mají v bodě \(x_0\) derivaci do řádu \(n-1\) včetně.
Poznamenejme, že tvoří-li funkce \(y_1, y_2, \cdots, y_n\) fundamentální systém dané lineární rovnice, je nutně \(W = w\bigl(y_1, y_2, \cdots , y_n\bigr)(x)\ne 0\) v každém bodě \(x\) uvažovaného intervalu, na němž rovnici řešíme. Tyto funkce totiž musejí být lineárně nezávislé.
Další aplikace wronskiánu si ukážeme v některé z navazujících početních úloh.
