Lineární rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou III.
Úloha číslo: 1872
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(y''-y'=\mathrm{e}^{x}\cos x \).
Rovnice s pravou stranou
V úloze Lineární rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou I. jsme si ukázali jak postupovat v jednodušším případě, kdy \(\alpha, \beta =0\). Uvažme dále možnost, že jsou tyto konstanty libovolná reálná čísla, řešíme pak rovnici
\[a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\cdots + a_0y = \mathrm{e}^{\alpha x}\bigl(P_p(x)\cos \beta x + Q_q(x)\sin \beta x \bigr)\,.\] Nyní si však vystačíme si s tvrzením (více například v Kopacek J.: Matematická analýza nejen pro fyziky II., 2. vydání, vydavatelství MATFYZPRESS, Praha, 2007, ISBN 80-86732-10-X, strana 46 - 48), že je-li \(\lambda = \alpha + \beta i\) \(k\)-násobným kořenem charakteristické rovnice, hledáme partikulární řešení ve tvaru \[y_p=x^k \mathrm{e}^{\alpha x}\bigl(S_s(x)\cos \beta x + T_s(x)\sin \beta x \bigr) \,,\]kde \(s\) odpovídá většímu z čísel \(p,q\) a \(S_s\), \(T_s\) jsou obecné polynomy stupně \(s\).
Stejně jako v předchozím zjednodušeném přiblížení i nyní navrhované řešení \(y_p\) dosadíme do řešené rovnice a z následné rovnosti odpovídajících si koeficientů získáme soustavu rovnic, a jejím řešením pak i konkrétní podobu jednotlivých koeficientů.
Homogenní rovnice
Nejprve vyřešte příslušnou homogenní rovnici \(y''-y'=0\)
Poznamenjme, že tuto homogenní rovnici jsme již řešili v úloze Lineární rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou I., nebudeme proto opět uvádět kompletní cestu k jejímu řešení.
Partikulární řešení rovnice s pravou stranou
V souladu s teorií v úvodu úlohy a podoby pravé strany navrhněte vhodnou podobu partikulárního řešeního řešení rovnice s pravou stranou.
Konkrétní podoba partikulárního řešení
Pomocí metody porovnávání koeficientů a výchozí rovnice určete konkrétní podobu koeficientů obsažených ve vámi navrhovaném partikulárním řešení rovnice s pravou stranou.
Celková podoba obecného řešení
Pomocí získaného obecného řešení homogenní rovnice a získaného partikulárního řešení rovnice s pravou stranou nyní vyjádřete obecné řešení zadané rovnice.
Řešení
V úloze Lineární rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou I. jsme došli k následujícímu podobě obecného řešení příslušné homogenní rovnice
\[y_h=c_1+c_2\mathrm{e}^x \,.\]Zbývá určit partikulární řešení nehomogenní rovnice \(y_p\). Uvědomíme si, že jde o rovnici se speciální pravou stranou ve tvaru \(\mathrm{e}{\alpha x }\bigl(P_p(x)\cos \beta x + Q_q(x)\sin \beta x \bigr)\), kde \(P_0(x) = 1\), \(Q_0(x) \equiv 0\), \(\beta = 1\), \(\alpha= 1\) a nejvyšší v ní obsažený polynom má stupeň \(s=0\). Dále vzhledem ke skutečnosti, že \(\lambda = 1 + 1 i\) není kořenem charakteristické rovnice, pokládáme \(k = 0\). Hledané partikulární řešení tak celkově navrhujeme ve tvaru
\[y_p=x^0 \mathrm{e}^{1 x}\bigl( S_0(x)\cos (1 x) + T_0(x)\sin (1 x) \bigr)= \mathrm{e}^{x}\bigl( a\cos + b\sin x \bigr) \,.\]Pro derivace \(y'_p, y''_p\) bude platit
\[\begin{align*} y'_p&=\mathrm{e}^{x}( a\cos x + b\sin x )+\mathrm{e}^{x}( -a\sin x + b\cos x )\\ &=\mathrm{e}^{x}\bigl( (a+b)\cos x + (b-a)\sin x \bigr)\\ y''_p&=\mathrm{e}^{x}\bigl( (a+b)\cos x + (b-a)\sin x \bigr) + \mathrm{e}^{x}\bigl( -(a+b)\sin x + (b-a)\cos x \bigr)\\ &=\mathrm{e}^{x}( 2b\cos x + -2a\sin x )\,. \end{align*}\]Následným dosazením \(y'_p, y''_p\) do řešené rovnice tak obdržíme
\[\mathrm{e}^{x}( 2b\cos x + -2a\sin x )+ \] \[-\mathrm{e}^{x}\bigl( (a+b)\cos x + (b-a)\sin x \bigr)= \cos x \mathrm{e}^x\,.\]Po krácení výrazem \(\mathrm{e}^x\) a dalších úpravách pak
\[\begin{align*} (b-a)\cos x + (-b-a)\sin x & = \cos x \\ (b-a)\cos x + (-b-a)\sin x & =1 \cos x +0\sin x \,. \end{align*}\]Porovnáváním koeficientů u příslušných goniometrických funkcí dojdeme k soustavě rovnic
\[\begin{align*} b-a &=1 \\ -a-b &= 0 \,. \end{align*}\]jíž přísluší řešení \(a=-\frac{1}{2}\) a \(b=\frac{1}{2}\). Pro hledané partikulární řešení tak celkově získáváme
\[y_p=\mathrm{e}^x \left(-\frac{1}{2}\cos x +\frac{1}{2}\sin x\right)\]S přihlédnutím ke skutečnosti, že \(y=y_h+y_p\) tak pro hledané obecné řešení platí
\[ y=c_1+c_2\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x\left(-\frac{1}{2}\cos x +\frac{1}{2}\sin x\right) \,.\]
